与圆有关的阴影面积的计算.docx
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与圆有关的阴影面积的计算
辅导材料：
与圆有关的阴影面积的计算
准备阶段：
1■圆的面积公式：
S二二r2.其中r为圆的半径.
1
2■半圆的面积公式：
S半圆=-二r2.
2
2
3■扇形的面积公式：
S扇形二nJ.其中r为扇形的半径,n为扇形的半径.
360
1
4.扇形的面积公式（另）:
S扇形寸.其中r为扇形的半径，l为扇形的弧长.
--S扇形
n二r1
r=lr.
1802
5■关于旋转：
（1）复习旋转的性质.
（2）会画出一个图形旋转后的图形
（3）旋转的作用：
通过旋转，有时候我们可以把分散的几何条件集中起来，使题目呈现出整体上的特点.
该作用也常用于与圆有关的阴影面积的计算.
6■重点介绍：
转化思想
在解决数学问题时，把复杂问题简单化，把一般问题特殊化，把抽象问题具体化等的思想方法，叫做转化思想.
7■怎样求与圆有关的阴影的面积？
（1）利用圆、半圆以及扇形的面积计算公式.
（2）利用整体与部分之间的关系.
（3）采用整体思想求不规则图形的面积，一般将其转化为规则图形的和差来解决，具体可以通过平移、旋转或割补的形式进行转化.
实战阶段：
★1.（2015河南）如图
（1）所示，在扇
形AOB中,/A0B=9°，点C为0A的中点,CE丄OA交弧AB于点E.以点0为圆心,0C的长为半径作弧CD交0B于点D.若0A=2,则阴影部分的面积为
•••在Rt△COE中,/CEO=30
•••/EOC=60
vZAOB=9°
•/BOE=30
在Rt△COE中,由勾股定理得：
CE»OE2—OC2=2212二3
S阴影二SCOE'S扇形OBE-S扇形OCD
图
（1）
图
（1）
解析：
图
（1）中阴影所在图形为不规则图形,可以利用整体与部分之间的关系的方法求解，即采用整体和差的方法.
解:
连结0E.
•••OA=OB=OE
vCE丄0A
•••△COE为直角三角形
v点C为0A的中点
•••OC」0A」0E-1
22
i212
1“c30：
：
290二1
13
2360360
3二
=—+——
212
★2.（2015.贵州遵义）如图
（2）所示,
在圆心角为90°的扇形OAB中，半径
OA=2cm,C为弧AB的中点,D、E分
别是OA、OB的中点，则图中阴影部分
的面积是.
解：
连结0C,并作CM丄OA于点M.
•••点C为弧AB的中点，/A0B=9°1
•••/AOC=/BOC=-/AOB=4°
2
•••△COM为等腰直角三角形
•••OM=CM
•/0C=2cm
-：
■2—
•ICM=OCsin45=22cm
2
vD、E分别是OA、OB的中点
•••OD=OE=1cm
•••DM=OM—OD=（2-1）cm
（1）三角形全等的判定定理有哪些？
（2）全等三角形具有怎样的性质？
对于第二个问题，全等三角形的面积相等，我们可以借助该性质将三角形的面积等量转化.
B
图（3）
S阴影二S扇形OBCSCOM-SCDM-SDOE
解:
连结CD.设DE与AC交于点M,DF与BC交于点N.
兀2-421
1--
222
江
1-1
2
-t）cm2
2
注意：
若题目对结果无特殊要求，则结果保留二，不取具体值.
★3.（2015■开封二模）如图（3）所示，在
△ABC中,CA=CB,/ACB=90,AB=2.
点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF,点C恰好在弧
EF上，则图中阴影部分的面积为
B
E
v/ACB=90
•/CDE+/仁90°
vCA=CB,点D为AB的中点
•CD丄AB（等腰三角形三线合一”
•/CDE+/2=90°
解析：
本题问题的解决要用到三角形
全等的知识，请复习：
1
•/DCN=ACB=45
2
:
丄DAM=/DCN
vZACB=90
1
二CDAB=AD=1
2
•••DE=CD=1
在厶ADM和厶CDN中
DAMDCN
v*AD=CD
N2=N1
•••△ADMCDN（ASA）
•••SaADM=s△CDN
VS四边形DMCN=SaCDM+SaDCN
SaACD=SaCDM+S^ADM
S四边形DMCN=SaACD
…S阴影=S扇形DEF-S四边形DMCN
-S扇形DEF-SACD
90：
/;1211
-3602
JT1
=——
42
B
在求扇形的面积时确定圆心角的
度数很重要
大多数扇形的圆心角题目会直接给出，但有时却需要我们自己求解■见第^5题.
★4.（2015.洛阳一模）如图（4）所示,在扇形OAB中,ZAOB=9°,半径
OA=6.将扇形AOB沿过点B的直线折叠.点0恰好落在弧AB上点D处，折痕交0A于点C,则图中阴影部分的面积为.
图（4）
解析•本题,S阴影二S扇形OAB-2SBOC,题目所给条件不难求出扇形OAB的面积，但△BOC的面积不易求得■如果连结0D,那么OB=OD,再根据对折，得OB=BD,从而OB=OD=BD,即厶BOD为等边三角形■至此，问题便很容易解决■
解：
连结0D.
OB
•OB=OD
•••△BOCBDC（由翻折可得）
•OB=BD,ZOBC=ZDBC
OB=OD=BD
•••△BOD为等边三角形
•••/OBD=6°
•••/OBC=ZDBC=30
在Rt△BOC中,•••/OBC=3°
。
OC…tan/OBC二tan30:
OB
.OC一3
..二
63
--OC=2：
3
…S阴影二S扇形OAB—^SBOC
90：
：
62a623
2
3602
=9二-123
★5.（2015■焦作一模）如图（5）所示,
在矩形ABCD中,AB=3,AD=1,把该
矩形绕点A顺时针旋转:
'得到矩形
ABCD点C'落在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积是.
C'
解：
在Rt△ABC中,由勾股定理得：
AC二AB2BC27（3）212=2
.AC=2BC
•••/BAC=30
由旋转的性质得：
〉=ZBAB'=30°
…S阴影二S.ABC一S扇形ABB'
=S.gBC-S扇形ABB'
3130：
：
（、3）2
=2~360
■-3二
=—
24
★6.（2014河南）如图，在菱形ABCD中,AB=1,ZDAB=60■把菱形ABCD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB'CD其中点C的运动路径为弧CC，则图中阴影部分的面积为.
DC
B'
图（6）
解：
由题意可知:
A、D'、C三点共线,A、
B、C三点共线，如图所示，设BC与
CDf目交于点E.
DC
B'
容易得知：
/BED'=ZCEE=0°
设D'E=x,则BE=x,CD'=2x（为什
么?
）
/.CE=4-x
在Rt△D'CE中,由勾股定理得：
D'E2CE-D'C2
222
x（4-x）=（2x）
解之得:
xi
3-1-3-1
2"2一2
（舍
扇形的面积之间的关系为
S阴影=S扇形OBD~'S扇形OAC
D
图（7）
去）
DE=q,CE=J
1
S.D'CE
3-13-323-3
XX=
2224
由菱形的性质并结合勾股定理不难求得:
AC=3
二S扇形ACC'一2SD'CE
30「（3）2一2
3604
二23-3
42
-3
★7.（2015■新乡一模）如图（7）所示,在Rt△AOB中，/AOB=3°，/A=90,
AB=1,将Rt△AOB绕点0顺时针旋转
90°得到Rt△COD,则在旋转过程中线段AB扫过的面积为.
解析：
本题中阴影部分是由相关图形的旋转形成的，阴影部分的面积与两个
解：
在Rt△AOB中，•••/AOB=3°
•••OB=2AB=2
由勾股定理得：
OA=OB2-AB2=2212八3
--S阴影=S扇形OBD-S扇形CAC
90：
:
2290：
:
（、3）2
=55
360360
3
=兀一一兀
4
兀
_4
★8.（2014.许昌一模）如图（8）所示,在平面直角坐标系中，已知。
D经过原点O,与x轴、y轴分别交于A、B两
点,B点的坐标为（0,2、..3）,OC与。
D相
交于点C,/OCA=3°,则图中阴影部分的面积为.
解析：
本题将圆的知识点与平面直角坐标系相结合，使得问题的解决更加灵活.实际上，平面直角坐标系是研究几
何或解析几何的有力工具.
…S阴影二S半圆一SAOB
图（8）
在求扇形的面积时确定扇形的半
解：
连结AB.
径很重要
★9■如图（9）所示,在扇形OAB中，
ZAOB=6°，扇形半径为4,点C在弧
AB上,CD丄OA,垂足为点。
当厶OCD
的面积最大时，图中阴影部分的面积为
vZA0B=9°
•••AB是。
D的直径
vZ0CA=3°
•••ZOBA=3°
vB（0,23）
•0B=23
设OA=x,则AB=2x
在Rt△AOB中,由勾股定理得：
OA2OB2二AB2
x2（23）2二（2x）2
解之得：
=2,x2--2（舍去）
ODA
图（9）
解析：
本题涉及到三角形面积最大的问题■当直角厶COD满足什么条件时，其面积最大，弄清楚这个问题是解决本题问题的关键.
解：
在Rt△COD中，由勾股定理得：
222
OD2CD=OC=16
v（OD-CD）2一0
显然，当OD=CD时，取=号，此时△COD
二OD-2ODCDCD-0
是等腰直角三角形，其面积最大，最大
1
值为SCODODCD二4
•••COD=4°
…S阴影=S扇形OAC-SCOD
◎2
45：
:
:
4
4
360
=2-4
★10.（2015.郑州外国语中学）如图
（10）所示，在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,△AOB绕点B逆时针旋转60°得到△BOB；AB与弧OO相交于点E,若AD=2,则图中阴影部分的面积是.
—2
15二
（2）
360
21
=_-一—-_1
312
-1
12
▲11.（2013.湖北潜江模拟）如图（11）,在Rt△ABC中，/C=90，/A=30,
AC=6cm,CD丄AB于D,以C为圆心,CD为半径画弧，交BC于E,则图中阴影部分的面积为【】
（A）\3朽一3兀icm2
124丿
（B）兀icm2
解：
由题意可知：
/ABB=0°/EBO=5°
在Rt△ABD中,由
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