电大离散数学形考作业标准答案357合集文档格式.docx
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5.设集合A={a,b,c,d},A上的二元关系R={<
a,b>
<
b,a>
b,c>
c,d>
},
则R具有的性质是没有任何性质
6.设集合A={a,b,c,d},A上的二元关系R={<
a,a>
b,b>
若在R中再增加两个元素{<
c,b>
d,c>
},则新得到的关系就
具有对称性.
7.如果R1和R2是A上的自反关系,则R1UR2,R1AR2,R1-R2中自反关
系有2个.
8.设A={1,2}上的二元关系为R={<
x,y>
|xA,yA,x+y=10},则R的自反闭包为—{<
}.
9.设R是集合A上的等价关系,且1,2,3是A中的元素,则R中至少包含<
等元素.
10.设A={1,2},B={a,b},C={3,4,5},从A到B的函数f={<
1,a>
2,b>
},从B到C的函数g={<
a,4>
b,3>
},则Ran(gf)={3,4}.
二、判断说明题(判断下列各题,并说明理由.)
1.若集合A={1,2,3}上的二元关系R={<
1,1>
<
},则
(1)R是自反的关系;
(2)R是对称的关系.
(1)错误。
R不具有自反的关系,因为<
不属于R。
(2)错误。
R不具有对称的关系,因为<
2.设A={1,2,3},R={<
1,1>
1,2>
2,1>
},则R是等价关系.
3.
对A中任意元素a,R含〈a,a〉
错误。
因为3是A的一个元素,但〈3,3〉不在关系R中。
等价关系R必须有:
4.若偏序集<
A,R>
的哈斯图如图一所示,则集合A的最大元为a,最小元不存在.解:
错误.
集合A的最大元不存在,a是极大元.
5.设集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},,判断下列关系f是否构成函数f:
A>
B,并说明理由.
(1)f={<
1,4>
2,2,>
4,6>
1,8>
};
(2)f={<
1,6>
3,4>
};
(3)f={<
1,8>
2,6>
4,2,>
(1)不构成函数。
因为对于3属于A,在B中没有元素与之对应。
(2)不构成函数。
因为对于4属于A,在B中没有元素与之对应。
(3)构成函数。
因为A中任意一个元素都有A中唯一的元素相对应。
三、计算题
1.
(4)A-B.
设E={1,2,3,4,5},A二{1,4},B二{1,2,5},C={2,4},求:
(1)(A'
B)_~C;
(2)(A_B)-(B-A)(3)P(A)—P(C);
解:
(1)(A汨)_~C={1}一{1,3,5}={1,3,5}
(3)P(A)-P(C)珂,{1},{4},{1,4}}-{,{2},{4},{2,4}}
={{1},{1,4}}
(4)A二B=(A_B)—(A「B)={1,2,4,5}-{1}二{2,4,5}
(2)={1,2,4,5}-{1}={2,4,5}
2•设A={{1},{2},1,2},B={1,2,{1,2}},试计算
(1)(A-B);
(2)(AAB);
(3)AXB.
(1)A-B={{1},{2}}
(2)AAB={1,2}
(3)AXB={v{1},1>
{1},2>
{1},{1,2}>
{2},1>
{2},2>
<
{2},{1,2}>
1,{1,2}>
2,{1,2}>
3.设A={1,2,3,4,5},R={<
x,y>
|xA,yA且x+y_4},S={<
|xA,yA且x+y<
0},试求R,S,R・S,S・R,R-1,S-1,r(S),s(R).
解:
R={<
1,3>
S=空集R*S=空集S*R=空集
-1={<
R
S-1二空集
r(S)={<
4,4>
5,5>
s(R)={<
4.设A={1,2,3,4,5,6,7,8},R是A上的整除关系,B={2,4,6}.
(1)写出关系R的表示式;
(2)画出关系R的哈斯图;
(3)求出集合B的最大元、最小元.
(1)R={<
1,5>
1,7>
2,4>
2,6>
2,8>
3,3>
3,6>
4,8>
6,6>
7,7>
8,8>
⑵哈斯图如下:
(3)集合B没有最大元,最小元是2
四、证明题
1.试证明集合等式:
A-(B-C)=(A一B)-(A一C).
1.证明:
设,若x€A-(B「C),贝Ux€A或x€B「C,即x€A或x€B且x€A或x€C.
即x€AB且x€A_C,
即x€T=(A一B)-(A_.C),
所以A_.(B-C)(A_.B)-(A_.C).
反之,若x€(A一B)-(AC),贝Ux€A_.B且x€A_C,
即x€A或x€B且x€A或x€C,
即x€A或x€B'
C,
即x€A一(B-C),
所以(A_.B)-(A_.C)A_.(B-C).
因此.A_.(B-C)=(AB)-(A_.C).
2.试证明集合等式A'
(BC)=(A「B)(A-C).
2.证明:
设S=AA(BUC),T=(AAB)U(AAC),若x€S,则x€A且x€BUC,g卩x€A且x€B或x€A且x€C,
也即x€AAB或x€AAC,即x€T,所以ST.
反之,若x€T,贝Ux€AAB或x€AAC,
即x€A且x€B或x€A且x€C
也即x€A且x€BUC,g卩x€S,所以T二S.
因此T=S.
3.对任意三个集合A,B和C,试证明:
若AB=AC,且A=._,则B=C.
(1)对于任意<
€AXB,其中a€A,b€B,因为AXB=AXC,必有<
a,b>
€AXC,其中b€C因此BC
(2)同理,对于任意<
a,c>
€AXC,其中,a€A,c€C,因为AXB=AXC必有<
€AXB,其中c€B,因此CB
有
(1)
(2)得B=C
4.试证明:
若R与S是集合A上的自反关系,则RAS也是集合A上的自反关系.
若R与S是集合A上的自反关系,则任意x€A,Vx,x>
€R,vx,x>
€S,
从而Vx,x>
€RAS,注意x是A的任意元素,所以RAS也是集合A上的自反关系.
离散数学作业5
离散数学图论部分形成性考核书面作业
本次形考书面作业是第二次作业,大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业。
将此作业用A4纸打印出来,手工书写答题,字迹工整,解答题要有解答过程,要求2010年12月5日前完成并上交任课教师(不收电子稿)。
并在05任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮,以便教师评分。
1•已知图G中有1个1度结点,2个2度结点,3个3度结点,4个4度结
点,贝UG的边数是15.
2•设给定图G(如右由图所示),则图G的点割集是d
3•设G是一个图,结点集合为V,边集合为E,则G的结点度数之和等于边数的两倍.
4•无向图G存在欧拉回路,当且仅当G连通且等于出度•
5•设G=<
V,E>
是具有n个结点的简单图,若在G中每一对结点度数之和大于等于n-1,则在G中存在一条汉密尔顿路.
6•若图G=<
V,E>
中具有一条汉密尔顿回路,则对于结点集V的每个非空子集S,在G中删除S中的所有结点得到的连通分支数为W,则S中结点数|S|与W满足的关系式为W(G-V1MV1.
7.设完全图Kn有n个结点(n_2),m条边,当n为奇数时,Kn中存在欧拉回路.
8.结点数v与边数e满足e=v-1关系的无向连通图就是树.
9.设图G是有6个结点的连通图,结点的总度数为18,则可从G中删去
4条边后使之变成树.
10.设正则5叉树的树叶数为17,则分支数为i=5.
1.如果图G是无向图,且其结点度数均为偶数,则图G存在一条欧拉回路.
(1)不正确,缺了一个条件,图G应该是连通图,可以找出一个反例,比如
图G是一个有孤立结点的图
2.如下图所示的图G存在一条欧拉回路.
(2)不正确,图中有奇数度结点,所以不存在是欧拉回路
如下图所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图.
正确
因为图中结点a,b,d,f的度数都为奇数,所以不是欧拉图。
如果我们沿着(a,d,g,f,e,b,c,a),这样除起点和终点是a外,我们经过每个点一次仅一次,所以存在一条汉密尔顿回路,是汉密尔顿图
4.设G是一个有7个结点16条边的连通图,则G为平面图.解:
⑴错误
假设图G是连通的平面图,根据定理,结点数v,边数为e,应满足e小于等于3v-6,但现在16小于等于3*7-6,显示不成立。
所以假设错误。
5.设G是一个连通平面图,且有6个结点11条边,则G有7个面.
(2)正确
根据欧拉定理,有v-e+r=2,边数v=11,结点数e=6,代入公式求出面数r=7
1.设G=<
V={V1,V2,V3,V4,V5},E={(V1,V3),(V2,V3),(V2,V4),(V3,V4),(V3,V5),(V4,V5)},试
(2)写出其邻接矩阵;
(4)画出其补图的图形.
(1)给出G的图形表示;
(3)求出每个结点的度数;
(1)
(2)
邻?
接矩阵为
10
1
0、
0」
(3)vi结点度数为1,V结点度数为2,v结点度数为3,V4结点度数为2,v结点度数为2
(4)补图图形为
2•图G=<
,其中V={a,b,c,d,e},E={(a,b),(a,c),(a,e),(b,d),(b,e),(c,e),(c,d),(d,e)},对应边的权值依次为2、1、2、3、6、1、4及5,试
(1)画出G的图形;
(2)写出G的邻接矩阵;
(3)求出G权最小的生成树及其权值.
(1)G的图形如下:
(2)写出G的邻接矩阵
02102
20036
10042
03405
26250
(3)G权最小的生成树及其权值
ac
3.已知带权图G如右图所示.
⑴求图G的最小生成树;
⑵计算该生成树的权值.
(1)最小生成树为
⑵该生成树的权值为(1+2+3+5+7)=18
4.设有一组权为2,3,5,7,17,31,试画出相应的最优二叉树,计算该最优
二叉树的权.
权为2*5+3*5+5*4+7*3+17*2+31=131
1.设G是一个n阶无向简单图,n是大于等于3的奇数.证明图G与它的补图G中的奇数度顶点个数相等.
证明:
设G=:
V,E■,G=:
:
VE•.则E•是由n阶无向完全图心的边删去E所得到的.所以对于任意结点V,u在G和G中的度数之和等于u在Kn中的度数.由于n是大于等于3的奇数,从而Kn的每个结点都是偶数度的(n-1(一2)度),于是若“V在G中是奇数度结点,则它在G中也是奇数度结点.故图G与它的补图G中的奇数度结点个数相等.
2•设连通图G有k个奇数度的结点,证明在图G中至少要添加-条边才能
使其成为欧拉图.
由定理3.1.2,任何图中度数为奇数的结点必是偶数,可知k是偶数.
又根据定理4.1.1的推论,图G是欧拉图的充分必要条件是图G不含奇数度结点•因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边,使图G的所有结点的度数变
为偶数,成为欧拉图.
故最少要加2条边到图G才能使其成为欧拉图.
离散数学作业7
离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业
本次形考书面作业是第三次作业,大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。
将此作业用A4纸打印出来,手工书写答题,字迹工整,解答题要有解答过程,要求本学期第17周末前完成并上交任课教师(不收电子稿)。
并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮,以便教师评分。
1.命题公式P>
(QP)的真值是.
2•设P:
他生病了,Q:
他出差了.R:
我同意他不参加学习.则命题“如果他生病或出差了,我就同意他不参加学习”符号化的结果为(P_Q)丄R
3.含有三个命题变项P,Q,R的命题公式PQ的主析取范式是
(PQR)(PQ-R)
4.设P(x):
x是人,Q(x):
x去上课,则命题“有人去上课.”可符号化为
三x(P(x)卜、.
5.设个体域D={a,b},那么谓词公式xA(x)-yB(y)消去量词后的等值式为
(A(a)A(b))((B(a)B(b)).
6•设个体域D={1,2,3},A(x)为“x大于3”,则谓词公式(x)A(x)的真值为0(F).
7.谓词命题公式(-x)((A(x)B(x))C(y))中的自由变元为__y.
8•谓词命题公式(-x)(P(x)>
Q(x)R(x,y))中的约束变元为x.
二、公式翻译题
1•请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式设P:
今天是晴天。
则P
2•请将语句“小王去旅游,小李也去旅游•”翻译成命题公式.
设P:
小王去旅游。
Q:
小李去旅游。
则PQ
3•请将语句“他去旅游,仅当他有时间•”翻译成命题公式.
他去旅游。
他有时间。
则P>
Q
4•将语句“41次列车下午五点开或者六点开”翻译成命题公式。
5•请将语句“有人不去工作”翻译成谓词公式•
设A(x):
x是人
B(x):
去工作
x(A(x)-B(x))
6•请将语句“所有人都努力工作•”翻译成谓词公式.
努力工作
-x(A(x)B(x))
四、判断说明题(判断下列各题,并说明理由•)
1.命题公式—PP的真值是1.
错。
因为P和P的否不能同时为真。
2.(x)(P(x)—Q(y)AR⑵)中的约束变元为y.
(x)(P(x)—Q(y)AR⑵)中的约束变元为。
3.谓词公式(x)P(x,y)—;
(-z)Q(x,y,z)中x量词的辖域为
P(x,y)r(-z)Q(x,y,z).
因为紧接于量词之后最小的子公式称为量词的辖域,所以x的辖域
p(x,y)。
4•下面的推理是否正确,请给予说明.
(1)(-x)A(x)》B(x)前提引入
⑵A(y)>
B(y)US
(1)
答:
(2)应为A(y)>
B(x),换名时,约束变元与自由变元不能混淆。
四.计算题
1.求P>
QR的析取范式,合取范式、主析取范式,主合取范式.P》QR=-PQR(析取范式)
=(—PQR)(合取范式)
真值表:
P
Q
原式
极小项
及大项
「Pa「Pa「P
「「QaR
「PaQa「R
「P层QaR
-1IP/Q/R
Pa「QaR
PaQ入「R
PaQaR
主析取范式(一P-P一P)(-P-QR)(一PQ-R)
(-PQR)(P-QR)(PQ-R)(PQR)
主合取范式(-PQR)
2.求命题公式(PQ)>
(RQ)的主析取范式、主合取范式.真值表:
「(pg
RvQ
「P找「「P
「Pa
「「R
「R
「QaR
Qa「R
P^QaR
主析取范式(一P-P-P)(—P—QR)(—PQ-R)
(_PQR)(P-QR)(PQ_R)(PQR)
3.设谓词公式(Tx)(P(x,y)-;
(-z)Q(y,x,z))(-y)R(y,z).
(1)试写出量词的辖域;
(2)指出该公式的自由变元和约束变元.
(1)lx的辖域为P(x,y)―;
'
.zQ(x,y,z)
-z的辖域为Q(x,y,z)
-y的辖域为R(y,z)
(2)约束变元为
P(x,y)rzQ(x,y,z)中的x
Q(x,y,z)中的z
R(y,z)中的y
自由变元为
P(x,y)r•zQ(x,y,z)中的y
R(y,z)中的z
4.设个体域为D={ai,a2},求谓词公式-yTxP(x,y)消去量词后的等值式;
谓词公式-yxP(x,y)消去量词后的等值式为
(R(a,a)R(a,b))(R(b,a)R(b,b))
五、证明题
1.试证明(P>
(Q-R))-PQ与—(P-Q)等价.
(P>
(Q-R))-PQ
u—P(Q—R))—PQ
二一PQ
二_(P_Q)