用导数方法解决参数和函数零点技巧专题Word文档下载推荐.docx

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3.不到万不得已不要取无穷远端

注：

一旦定义域完全为开区间，要么丢失此法，要么洛必达开始论述，要么证明函数严格单调并证函数值大于（小于）端点值

【例1】

方法1：

参变分离

方法2：

端点效应

解：

（我们可以看到函数要非负一定要增，也可能又增又减出现极小值）

（这就是函数增的一个条件）

（这就是函数值非负的必要条件，我们仅考虑的是函数严格递增的条件）

（现在我们论证一下函数是否在此条件下单调增）

显然我们应有此方法成立的充要条件是函数严格单调，我们考虑的端点并不是整个定义域的增减趋势，但是从0开始函数值一定要单调增，否则恒成立失效。

于是才有导函数在0处也非负，我们就得到a的一个大致范围，通过这个大致范围作为已知条件验证其充分性。

【注】：

充分性验证时一旦出现导函数有小于0的情况，表示函数不单调，则在必要性的条件下研究函数的最值。

【思考1】

三：

极值点偏移

我们分析一下二次函数：

我们把

1）.构造：

判断函数单调性确定两对称点的区间，分析法（传统艺能，不在论述）

2）对数均值不等式

【例2】

【分析】这是一个极值点左偏的例题，并且含参，欲证不等式中不含参，我们需将参数消掉。

【思考2】

1.一旦出现对数指数极值点偏移能用此不等式

2.注：

一旦还有三角函数法失效！

要么回到构造，要么对三角函数放缩

3.三角放缩

4.出现参数尝试作差消参，代换消参

四．不等式证明

1）关于函数值恒成立问题不再论述

2）作差比较法不再论述

3）关于

问题

1.题目所给函数赋值放缩（传统艺能不再论述）

2.数学归纳法

①第一数学归纳法：

当

。

归纳时加强命题

②第二数学归纳法：

【例3】

【思考3】

【思考4】此题可以通过函数赋值放缩，请读者自行尝试

3.定积分几何意义

①两侧有参数则是黎曼和。

此时构造函数必然单调通过宽为1的矩形面积放缩

证明提示就到这里，希望读者能够自行动笔思考。

此外对于两边都是含n的依旧可以采用数学归纳法证明，请读者进行尝试

②单有一侧有参数，则是广义黎曼。

此时这是

为宽的矩形面积。

【注】此时的矩形面积不再是以1为宽

【思考6】依旧可以采用数学归纳法证明，请读者自行尝试（对命题加强）

4.积分还原法：

先对欲证不等式微分，在通过变上限积分还原原不等式

5.中值定理&

泰勒展开

【注】对不等式各个求导，根据积分的保号性和变上限积分的性质可以进行证明。

【思考7】读者可以根据自身条件采用积分中值定理，柯西中值定理证明或者泰勒展开证明

五．零点问题

1.零点个数问题：

彻底参变分离转化交点问题

2.隐零点：

设而不求，整体替换，分析走势，取点试探。

采用零点存在性定理试点找到隐零点范围。

①

；

②

是易解的；

③当自变量

趋向于定义域某端点（哪个端点，视具体题目而定）时，两函数

，

有相同的变化趋势（极限）

3.两个零点：

，其中。

超越不等式放缩找解，解即试点。

一般优先通过式中超越项进行单调性放缩。

6．切线放缩

1.指数放缩

2.指数放缩

3.指数放缩

4.对数放缩

5.对数放缩

6.伪对勾放缩