普通高等学校招生全国统一考试附答案文档格式.docx
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本题共4小题，每小题5分.
13.设向量a=（x,x+1）,b=（1,2）,且a丄b,贝Ux=.
14.已知0是第四象限角，且sin—=-，则tan-—=.
15.设直线y=x+2a与圆C:
x+y-2ay-2=0相交于A,B两点，若|AB|=2,则圆C的面积
为.
16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料
1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；
生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲
材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下，生产产品A产品B的利润之禾廿的最大值为元.
三、解答题：
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•
17.（本小题满分12分）
已知｛an｝是公差为3的等差数列，数列｛bn｝满足bl=1,b2d,anbn+l+bn+1=nbn.
（I）求｛an｝的通项公式；
（n）求｛bn｝的前n项和.
18.（本小题满分12分）
如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连结PE并延长交AB于点G.
（I）证明:
G是AB的中点；
（n）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由）,并求四面体PDEF的体积.
19.（本小题满分12分）
某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰•机器有一易损零件，在购进机器时可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机
器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上
所需的费用（单位：
元），n表示购机的同时购买的易损零件数.
（I）若n=19,求y与x的函数解析式；
（n）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值；
（川）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零
件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1
台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
20.（本小题满分12分）
在直角坐标系xOy中，直线l:
y=t（t丰0）交y轴于点M，交抛物线C:
y2=2px（p>
0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.
（I）求p-p;
（n）除H以外，直线MH与C是否有其他公共点？
说明理由.
21.（本小题满分12分）已知函数f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2.
（I）讨论f（x）的单调性；
（n）若f（x）有两个零点，求a的取值范围
请考生在第22~24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分
22.（本小题满分10分）选修4—1:
几何证明选讲
如图，△OAB是等腰三角形，/AOB=120.以0为圆心，-0A为半径作圆
（I）证明：
直线AB与。
0相切；
（n）点C，D在。
0上，且A,B,C,D四点共圆，证明:
AB//CD.
23.
（t为参数，a>
0）.在以坐标原点为
（本小题满分10分）选修4—4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：
p=4cos0.
（I）说明G是哪一种曲线，并将Ci的方程化为极坐标方程；
（n）直线C3的极坐标方程为0=a0,其中a0满足tana0=2,若曲线C与C2的公共点都在C3
上,求a.
24.（本小题满分10分）选修4—5:
不等式选讲已知函数f（x）=|x+1|-|2x-3|.
（I）画出y=f（x）的图象；
（n）求不等式|f（x）|>
1的解集.
yj
i
i,
*
2016年普通高等学校招生全国统一考试（课标全国卷I）
一、选择题
1.B•/A={1,3,5,7},B={x|2$韦},/-AB={3,5},故选B.
2.A•/（1+2i）（a+i）=（a-2）+（2a+1）i,
--a-2=2a+1,解得a=-3,故选A.
解后反思将复数化为x+yi（x,y€R）的形式，然后建立方程是解决问题的关键.
3.C从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法:
（红黄）、（红白）、（红紫卜（黄
白）、（黄紫）、（白紫），共6种,其中红色和紫色的花不在同一花坛（亦即黄色和白色的花不在同
一花坛）的选法有4种,所以所求事件的概率P=亠-,故选C.
解后反思从4种颜色的花中任选2种共有6种情况，不重不漏地列举出所有情况是解题关
键.
4.
D由余弦定理得5=22+b2-2X2bcosA,•/cosA=-,二3b-8b-3=0,ab=3--舍去.故选D.
易错警示椭圆中心到直线I的距离为x2b=,容易将短轴长误认为b.
6.D该函数的周期为n,将其图象向右平移-个单位后,得到的图象对应的函数为
y=2sin---=2sin--，故选D.
易错警示三角函数图象的平移变换中，左加右减”是对x而言的,将x变为x-,而不是将2x
变为2x-.
7.A由三视图知该几何体为球去掉了-所剩的几何体（如图）,设球的半径为R,贝U-XnR3=—,
故R=2,从而它的表面积S=-X4nR+-XnR=17n.故选A.
解后反思球的表面积公式和体积公式要记准、记牢；
在计算表面积时不重不漏”是关键所
8.B■/0<
c<
1,当a>
b>
1时,logac>
logbC,A项错误;
■/0<
1,•••y=locx在（0,+T上单调递减，又a>
0,
•••log）a<
logcb,B项正确;
•/0<
1,函数y=xc在（0,+T）单调递增，
又•/a>
0,•-•a>
bc,C项错误；
1,•-•y=x（在（0,+T）单调递减，
0,^e<
cb,D项错误.故选B.
易错警示不能熟练掌握幕函数、指数函数、对数函数的图象和性质是失分的主要原因.
9.D当x=2时,y=8-e2€（0,1）,排除A,B;
易知函数y=2x2Qx|为偶函数，当x€[0,2]时,y=2x2-ex,
求导得y'
=4x-ex,当x=0时,y'
<
0,当x=2时,y'
>
0,所以存在x°
€（0,2）,使得y'
=0,故选D.
10.C执行程序框图：
当n=1时,x=0,y=1,此时02+12為6不成立；
当n=2时,x=-,y=2，此时-+22為6不成立；
当n=3时,x=-,y=6，此时-+62為6成立，结束循环，输出x的值为-,y的值
为6,满足y=4x,故选C.
11.A设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a.将正方体ABCD-A1B1C1D1补成棱长为2a的正方体，如图所示.正六边形EFGPQR所在的平面即为平面a点A为这个大正方体的中心,直线GR为m,直线EP为n.显然m与n所成的角为60°
所以m,n所成角的正弦值为一.故选
A.
疑难突破通过补体，利用正方体的性质，再根据线面平行的判定和性质画出平面a,进而找到
直线m和n是解题的突破口.
12.Cf'
（x）=1--cos2x+acosx=1--（2cos2x-1）+acosx=--cos2x+acosx+-，f（x）在R上单调递增,则f'
（x）为在R上恒成立,令cosx=t,t€［-1,1］,则-_t2+at+-为在［-1,1］上恒成立,即4t2-3at-5切在［-1,1］上恒成立，
令g（t）=4t2-3at-5,贝U--解得一w,故选C.
疑难突破由函数的单调性求参数范围，利用导数将问题转化为恒成立问题，再利用二次函
数来解决•
二、填空题
13V答案-
亡解析因为a丄b,所以x+2（x+1）=0,解得x=--.
易错警示混淆两向量平行与垂直的条件是造成失分的主要原因
14•卡答案-
I解析解法一：
Tsin-=—x（sinB+cos0）=,•••sin0+cos0—①,
/•2sin0cos0=—.
T0是第四象限角,•sin0<
0,cos0>
由①②得sinO=_,cosO—，二tan
--tan—==—.
解法二：
-+--=-，
--sin_=cos_-=-，
又2kn~<
O<
2kn,lkZ,
2kn_<
0+<
2kn+-,k€Z,
•••cos-=-,•sin--=-,
•tan--==-,
--tan—=-tan--=--.
方法总结进行三角恒等变换时要注意角之间的差异，正余互变”是解决本题的关键•
15V答案4n
，解析把圆C的方程化为x2+（y-a）2=2+a2,则圆心为（0,a）,半径r=.圆心到直线
x-y+2a=0的距离d==由r2=d2+一，得a2+2=—+3,解得a2=2,则r2=4,所以圆的面积S=nr2=4n.
16上答案216000
I解析设生产产品Ax件，生产产品By件，利润之和为z元，则z=2100x+900y.
根据题意得
作出可行域（如图）.
当直线2100x+900y-z=0过点A（60,100）时,z取得最大值，Zmax=2100X60+900X100=216000.
故所求的最大值为216000元.
三、解答题
17.£
解析（I由已知，aib2+b2=bi,bi=1,b2=-，得ai=2,（3分）
所以数列｛an｝是首项为2,公差为3的等差数列，通项公式为an=3n-1.（5分）
（fl由（和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=—,（7分）
因此｛bn｝是首项为1,公比为-的等比数列.（9分）
记｛bn｝的前n项和为Sn,
则Sn=：
=——.（12分）
方法总结本题考查了等差、等比数列的问题，重点在于转化递推公式，并且紧紧围绕等差、等比数列的定义进行求解•
I
18上解析（！
证明：
因为P在平面ABC内的正投影为D,所以AB丄PD.
因为D在平面PAB内的正投影为E,所以AB丄DE.（2分）
又PDQDE=D,所以AB丄平面PED,故AB丄PG.
又由已知可得,PA=PB,从而G是AB的中点.（4分）
（n在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.（5
理由如下：
由已知可得PB丄PA,PB丄PC,
又EF//PB,所以EF丄PA,EF丄PC,又PAAPC=P,因此EF丄平面PAC,即点F为E在平面
PAC内的正投影.（7分）
连结CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心,由（1知,G是
AB的中点，所以D在CG上，故CD=_CG.（9分）
由题设可得PC丄平面PAB,DE丄平面PAB,所以DE//PC,因此PE=-PG,DE=-PC.
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=2一.
在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2,（11分）
所以四面体PDEF的体积V=-^X2X2X2=12分）
易错警示推理不严谨，书写不规范是造成失分的主要原因.
19.建解析（I当xO9时,y=3800;
当x>
19时,y=3800+500（x-19）=500x-5700,
所以y与x的函数解析式为
y=（x€N）.（4分）
（n由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最
小值为19.（5分）
（川若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损零
件上的费用为3800元,20台的费用为4300元,10台的费用为4800元,因此这100台机器
在购买易损零件上所需费用的平均数为一（3800X70+4300X20+4800X10）=4000（元）.（7分）
若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000元,10台的费用为4500元,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的
平均数为一（4000X90+4500X10）=4050（元）.（10分）
比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.（12分）
思路分析先写出y与x的函数关系式（分段函数），然后分别求所需费用的平均数，通过比较
两个平均数的大小可得所求结果.
20.*解析（I由已知得M（0,t）,P—.（1分）
又N为M关于点P的对称点，故N-，ON的方程为y=-x,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得X1=0,X2=—.
因此H—.（4分）
所以N为OH的中点，即一=2.（6分）
（n直线MH与C除H以外没有其他公共点.（7分）
直线MH的方程为y-t=-x,即x=-（y-t）.（9分）代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外
直线MH与C没有其他公共点.（12分）
方法总结将直线与抛物线的交点坐标问题归结为直线方程与抛物线方程组成的方程组的解的问题.
21.*解析（I）x）=（x-1）ex+2a（x-1）=（x-1）（ex+2a）.
（i）设a%,则当x€（-a,1时,f'
（x）<
0;
当x€（1,+凶时,f'
（x）>
0.所以f（x）在（-,1单调递减,在（1,+单调递增.（2分）
（ii）设a<
0,由f'
（x）=0得x=1或x=ln（-2a）.
1若a=--,则f'
（x）=（x-1）（ex-e）,所以f（x）在（-a，+q单调递增.
2若a>
--，则In（-2a）<
1,故当x€（-,ln-2a））U（1,+胡），f'
当x€（In（-2a）,1）时,f'
0.所以f（x）在（-a,ln（-2a））,（1,+。
单调递增，在（In（-2a）,1）单调递减.（4分）
3若a<
--，则In（-2a）>
1,故当x€（-a,iu（ln（-2a）,+a时，f'
当x€（1,In（-2a））时，f'
0.所以f（x）在（-a,1）,（In（-2a）,+a单调递增，在（1,In（-2a））单调递减.（6分）
（n）（设a>
0,则由（知f（x）在（-a,1单调递减，在（1,+a单调递增.
又f
（1）=-e,f
（2）=a,取b满足b<
0且b<
In_,
则f（b）>
-（b-2）+a（b-1）2=a-->
所以f（x）有两个零点.（8分）
（ii）设a=0,则f（x）=（x-2）ex,所以f（x）只有一个零点.（9分）
（iii）设a<
0,若a>
-,则由（知,f（x）在（1,+*单调递增，又当x<
1时f（x）<
0,故f（x）不存在两个零点;
（10分）
若av--,则由（W,f（x）在（1,In（-2a））单调递减，在（ln（-2a）,+a单调递增，又当x<
时f（x）<
0,故f（x）不存在两个零点.（11分）
综上,a的取值范围为（0,+a）.（12分）
疑难突破（I）分类讨论时临界点的选取是关键，易忽略a=-的情形.（n）在讨论a>
0时函数零
点的个数时，注意利用不等式的放缩.
22•童证明（I设E是AB的中点，连结0E.
因为OA=OB,/AOB=120,所以0E丄AB,/AOE=60.（2分）
在Rt△AOE中,OE=-AO,即O到直线AB的距离等于。
O半径,所以直线AB与。
O相切.（5分）
（n因为0A=20D,所以O不是A,B,C,D四点所在圆的圆心•设O'
是A,B,C,D四点所在圆的圆
心,作直线00'
.（7分）
由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O'
在线段AB的垂直平分线上，所以00'
丄AB.
同理可证,00'
丄CD.所以AB//CD.（10分）
23.g解析（I消去参数t得到Ci的普通方程：
x2+（y-1）2=a2.Ci是以（0,1）为圆心,a为半径的圆.（2分）
将x=pcos0,y=psinQ代入Ci的普通方程中，得到Ci的极坐标方程为p2-2psin0+1a2=0.（4
分）
（n曲线Ci,C2的公共点的极坐标满足方程组
--（6分）
若p电由方程组得16cos20-8sin0cos0+1a2=0,（8分）
由已知tan0=2可得16cos20-8sin0cos0=0从而1-a2=0,
解得a=-1（舍去）或a=1.
a=1时，极点也为C1,C2的公共点，在C3上.
所以a=1.（10分）
易错警示对互化”过程不熟悉，对参数和极坐标的几何意义理解不透彻是失分的主要原因.
24.•解析（I）f（x）=--y=f（x）的图象如图所示
（6分）
（n由f（x）的表达式及图象知，当f（x）=1时，可得x=1或x=3;
当f（x）=-1时，可得x=-或x=5,（8分）
故f（x）>
1的解集为{x|1<
x<
3};
f（x）<
-1的解集为-或.（9分）
所以|f（x）|>
1的解集为-或或.（10分）
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