手拉手模型Word文档格式.docx

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图②、图③同理可证.

（1）这个图形是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成.在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形.

（2）如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，所以把这个模型称为手拉手模型.

（3）手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现.

模型实例

如图，△ADC与厶EDG都为等腰直角三角形，连接AG、CE,相交于点H，问:

AG与CE是否相等？

AG与CE之间的夹角为多少度？

解答:

（1）AG=CE.理由如下：

•••/ADG=ZADC+ZCDG,/CDE=ZGDE+ZCDG,/ADC=ZEDG=90°

•••/ADG=ZCDE.

在厶ADG和厶CDE中，

AD二CD,

:

ZADGZCDE,

DG=DE,

•••AG=CE.

（2）v^ADG也厶CDE,

•••/DAG=ZDCE.

•••/COH=ZAOD,

•••/CHA=ZADC=90°

.

•AG与CE之间的夹角是90°

例2如图，在直线AB的同一侧作△ABD和厶BCE,AABD和厶BCE都是等边三角

形，连接AE、CD，二者交点为H.求证：

（1）△ABE◎△DBC;

（2）AE=DQ;

（3）/DHA=60°

（4）AAGB◎△DFB;

（5）AEGB◎△CFB;

（6）连接GF,GF//AC;

（7）连接HB,HB平分/AHC.

证明：

（1）/ABE=120°

/CBD=120°

在厶ABE和厶DBC中，

BA=BD,

—ABE=“DBC,

BE=BC,

•••△ABE◎△DBC.

（2）tAABE◎△DBC,•AE=DC.

（3）AABE◎△DBC,

•••/1=Z2.

•••/DGH=ZAGB.

•••/DHA=Z4=60°

（4）t/5=180°

—/4—/CBE=60°

•4=/5.

•/△ABE也厶DBC,

•/1=/2.

又•••AB=DB,

•△AGB◎△DFB（ASA）.

（5）同（4）可证△EGB也厶CFB（ASA）.

（6）

图①

如图①所示，连接GF.

由（4）得，△AGB◎△DFB.

•BG=BF.

又•••/5=60°

•△BGF是等边三角形.

•/3=60°

••/3=/4.

•GF//AC.

（7）如图②所示，过点B作BM丄DC于M，过点B作BN丄AE于点N.

•/△ABE◎△DBC,

•S^ABE=SaDBC.

11

•-XAEXBN=丄XCDXBM.

22

•/AE=CD,

•BM=BN.

•••点B在/AHC的平分线上.

•HB平分/AHC.

练习:

=CF.

（1）求证：

BE=BF;

（2）

若/CAE=30°

求/ACF度数.

答案：

（1）证明：

/ABC=90°

.

在Rt△ABE和Rt△CBF中，

CF=AE,

AB=CB,

•••Rt△ABE也Rt△CBF（HL）.

•••BE=BF.

（2）tAB=CB,ZABC=90°

•••/BAC=ZBCA=45°

•••/CAE=30°

•••/BAE=45°

—30°

=15°

•/Rt△ABE也Rt△CBF,

•••/BCF=ZBAE=15°

•••/ACF=ZBCF+ZBCA=15°

+45°

=60°

2.

如图，△ABD与厶BCE都为等边三角形，连接求证：

（1）AE=DC;

（2）ZAHD=60°

（3）连接HB,HB平分/AHC.

（1）vZABE=ZABD—ZEBD，/DBC=ZEBC—ZEBD，/ABD=ZEBC=60°

•••/ABE=ZDBC.

在厶ABE和厶DBC中，

AB=DB,

'

/ABE-•DBC,

•△ABE◎△DBC.

•AE=DC.

（2）v^ABE◎△DBC,

•ZEAB=ZCDB.

又tZOAB+ZOBA=ZODH+ZOHD,

•ZAHD=ZABD=60°

（3）过B作AH、DC的垂线，垂足分别为点M、N.

•/△ABEDBC,

•S^ABE=Sadbc.

即丄AE•BM=-CD•BN.22

又•••AE=CD,

•••BM=BN.

•••HB平分/AHC.

3.在线段AE同侧作等边△ABC和等边△CDE（/ACEv120°

点P与点M分别是线

段BE和AD的中点.

求证：

△CPM是等边三角形.

•••△ABC和厶CDE都是等边三角形,

•AC=BC,CD=CE.

•••/ACB=ZECD=60°

•••/BCE=ZACD.

•••△BCE◎△ACD.

•••/CBE=ZCAD,BE=AD.

又•••点P与点M分别是线段BE和AD的中点,

•BP=AM.

在厶BCP和厶ACM中，

BC二AC,

/CBE二■CAD,

BP=AM,

•••△BCP◎△ACM.

•PC=MC,ZBCP=ZACM.

•••/PCM=ZACB=60°

•△CPM是等边三角形.

4.将等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE按图①方式放置，/A=90°

AD边与AB边重合，AB=2AD=4.将厶ADE绕A点逆时针方向旋转一个角度«

（0°

vaV180°

BD的延长线交CE于P.

（1）如图②，求明：

BD=CE,BD丄CE;

（2）如图③，在旋转的过程中，当AD丄BD时，求CP长.

/K/A

（1）V等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE,

•••AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°

•••/DAB=90°

—/CAD，/CAE=90°

—/CAD,•••/DAB=/CAE.

•△ABD◎△ACE.

•BD=CE.

•/DBA=/ECA.

•/CPB=/CAB.（8字模型）

•BD丄CE.

（2）由

（1）得BP丄CE.

又•••AD丄BD，/DAE=90°

AD=AE,

•四边形ADPE为正方形.

AD=PE=2.

•/ADB=90°

AD=2,AB=4,BD=CE=23.

•CP=CE—PE=23-2.