初中函数知识点总复习.docx
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初中函数知识点总复习
（一）平面直角坐标系知识点归纳
1、在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系；
2、坐标平面上的任意一点P的坐标，都和惟一的一对有序实数对（）
-3-2-101a
b
1
-1
-2
-3
P（a,b）
Y
x
一一对应；其中，为横坐标，为纵坐标坐标；
3、轴上的点，纵坐标等于0；轴上的点，横坐标等于0；
坐标轴上的点不属于任何象限；
4、四个象限的点的坐标具有如下特征：
象限
横坐标
纵坐标
第一象限
正
正
第二象限
负
正
第三象限
负
负
第四象限
正
负
小结：
（1）点P（）所在的象限横、纵坐标、的取值的正负性；
（2）点P（）所在的数轴横、纵坐标、中必有一数为零；
P（）
5、在平面直角坐标系中，已知点P，则
（1）点P到轴的距离为；
（2）点P到轴的距离为；
（3）点P到原点O的距离为PO＝
6、平行直线上的点的坐标特征：
a）在与轴平行的直线上，所有点的纵坐标相等；
Y
A
B
B
点A、B的纵坐标都等于；
X
Y
X
b）在与轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；
C
D
点C、D的横坐标都等于；
7、对称点的坐标特征：
a）点P关于轴的对称点为，即横坐标不变，纵坐标互为相反数；
b）点P关于轴的对称点为，即纵坐标不变，横坐标互为相反数；
X
y
P
O
X
y
P
O
X
y
P
O
c）点P关于原点的对称点为，即横、纵坐标都互为相反数；
关于x轴对称关于y轴对称关于原点对称
8、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：
a）若点P（）在第一、三象限的角平分线上，则，即横、纵坐标相等；
b）若点P（）在第二、四象限的角平分线上，则，即横、纵坐标互为相反数；
y
P
O
X
X
y
P
O
在第一、三象限的角平分线上在第二、四象限的角平分线上
（二）一次函数知识点归纳
【基本要点】
1、变量：
在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：
在一个变化过程中只能取同一数值的量。
2、函数：
一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。
注：
这是课本对于函数的定义，在理解与实际运用中我们要注意以下几点：
1、函数只能描述两个变量之间的关系，多一个少一个变量都是不对的；如：
y=xz中有三个变量，就不是函数；y=0中只有一个变量，也不是函数；而y=0（x＞0）却是函数，因为括号中标明了自变量的取值范围；
2、当自变量去每一个确定的值时因变量只能取唯一确定的值相对应，反之，当因变量取每一个确定的值时自变量可以去若干个值相对应；因为这两个变量有先变与后变的问题，让后变的先取一个值，先变的就不一定只取一个值；
3、我们只能说函数值是自变量的函数，或用自变量来表示函数值，如：
a是b的函数就说明a是函数值，b是自变量；用y表示x就说明y是自变量，x是函数值；任何函数都要标明谁是谁的函数，不能随便说一个解析式是不是函数，如：
Y=x，只能说y是x的函数，就不能说x是y的函数；
4、函数解析式的表示：
只有函数值写在等号左边，含有自变量的式子写在等号右边；注意不能写成2y=3x-3或y=3x-3的形式；
5、任何函数都包含自变量的取值范围，如果没指明说明自变量的取值范围是任意实数。
自变量的取值范围从以下几个方面把握：
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
3、函数的图像
一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
4、函数解析式：
用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
5、描点法画函数图形的一般步骤
第一步：
列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；
第二步：
描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：
连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。
6、函数的表示方法
列表法：
一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。
解析式法：
简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。
图象法：
形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。
7、正比例函数及性质
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
注：
正比例函数一般形式y=kx（k不为零）①k不为零②x指数为1③b取零
当k>0时，直线y=kx经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．
（1）解析式：
y=kx（k是常数，k≠0）
（2）必过点：
（0，0）、（1，k）
（3）走向：
k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，图像经过二、四象限
（4）增减性：
k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小
（5）倾斜度：
|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
8、一次函数及性质
一般地，形如y=kx＋b（k,b是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注：
一次函数一般形式y=kx+b（k不为零）①k不为零②x指数为1③b取任意实数
一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）
（1）解析式：
y=kx+b（k、b是常数，k0）
（2）必过点：
（0，b）和（-，0）
（3）走向：
k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限
b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限
直线经过第一、二、三象限直线经过第一、三、四象限
直线经过第一、二、四象限直线经过第二、三、四象限
（4）增减性：
k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.
（5）倾斜度：
|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.
（6）图像的平移：
当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；
当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位.
9、一次函数y=kx＋b的图象的画法.
根据几何知识：
经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：
是先选取它与两坐标轴的交点：
（0，b），（-，0）.即横坐标或纵坐标为0的点.
10、正比例函数与一次函数图象之间的关系
一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.
11、一元一次方程与一次函数的关系
任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：
当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.
12、一次函数与一元一次不等式的关系
任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：
当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.
13、一次函数与二元一次方程组
（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=的图象相同.
（2）二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数y=和y=的图象交点.
【考点指要】
一次函数常与反比例函数、二次函数及方程、方程组、不等式综合在一起，以选择题、填空题、解答题等题型出现在中考题中，解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法；为方便大家计算以及分析题目，现介绍一些解题过程中可以运用的公式与性质，希望大家能反复揣摩、理解、运用以期熟练地掌握，这样可以化繁为简！
这里要强调的是以下这些公式。
1、一次函数解析式的几种类型
①ax+by+c=0[一般式]
②y=kx+b[斜截式]（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）
③y-=k（x-）[点斜式]（k为直线斜率,（,）为该直线所过的一个点）
④=[两点式]（（,）与（,）为直线上的两点）
⑤=0[截距式]（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）
2.求函数图像的k值：
（（,）与（,）为直线上的两点）
3.求任意线段长（（,）与（,）为直角坐标系任意两点）
4、求任意两点所连线段的中点坐标：
（，）
5、若两条直线y=kx+b与y=kx+b互相平行，那么k=k，b≠b
6、若两条直线y=kx+b与y=kx+b互相垂直，那么k×k=-1
7、将y=kx+b向上平移n个单位后变成y=kx+b+n；向下平移n个单位变成y=kx+b-n
8、将y=kx+b向左平移n个单位后变成y=k（x+n）+b；将y=kx+b向右平移n个单位后变成y=k（x-n）+b（任何图像的平移都遵循上加下减，左加右减的规则）
9、若y=kx+b与y=kx+b关于x轴对称，那么k+k=0、b+b=0
10、若y=kx+b与y=kx+b关于y轴对称，那么k+k=0、b=b
11、同理，y=kx与y=kx关于平行、垂直、平移、对称也满足以上性质
12、y=kx+b与坐标轴围成的三角形面积为
13、y=kx（k是常数，k≠0）必过点：
（0，0）、（1，k）
14、y=kx+b必过点：
（0，b）和（-，0）
（三）反比例函数知识点归纳
知识点1反比例函数的定义
一般地，形如（k为常数，）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解：
⑴x是自变量，y是x的反比例函数；
⑵自变量x的取值范围是的一切实数，函数值的取值范围是；
⑶比例系数是反比例函数定义的一个重要组成部分；
⑷反比例函数有三种表达式：
①（），②（），③（定值）（）；
⑸函数（）与（）是等价的，所以当y是x的反比例函数时，x也是y的反比例函数。
（k为常数，）是反比例函数的一部分，当k=0时，，就不是反比例函数了，由于反比例函数（）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。
知识点2用待定系
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