二次函数专题.docx
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二次函数专题
专题训练（三） 与函数有关的最值问题
类型之一 由不等关系确定的最值问题
每吨加工费
每吨加工时间
成品每吨售价
粗加工
500元
天
4000元
精加工
900元
天
4500元
1．某工厂以每吨3000元的价格购进50吨原料进行加工，两种加工方式如下表：
现将这50吨原料全部加工完．（粗加工与精加工不能同时进行）
（1）设其中粗加工x吨，共获利y元，求y与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
（2）如果必须在20天内加工完，如何安排生产才能获得最大利润？
最大利润是多少？
类型之二 由一次函数确定的最值问题
2．某工厂计划为地震灾区生产A，B两种型号的学生桌椅500套，以解决1250名学生的学习问题，一套A型桌椅（一桌两椅）需木料0.5m3，一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m3，工厂现有库存木料302m3.
（1）有多少种生产方案？
（2）现要把生产的全部桌椅运往地震灾区，已知每套A型桌椅的生产成本为100元，运费为2元；每套B型桌椅的生产成本为120元，运费为4元，求总费用y（元）与生产A型桌椅x（套）之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用．（总费用＝生产成本＋运费）
类型之三 由二次函数确定的最值问题
3．一个边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图Z－3－1），其中AF＝2，BF＝1.试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．
图Z－3－1
4.[2015·青岛]如图Z－3－2，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝－x2＋bx＋c表示，且抛物线的点C到墙面OB的水平距离为3m时，到地面OA的距离为m.
（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
图Z－3－2
类型之四 用换元法求最值
5．求函数y＝x－的最值．
类型之五 用数形结合法求最值
6．函数y＝＋的最小值是________．
类型之六 自变量x在某一范围内的最值
7．求二次函数y＝－4x2＋8x－3在－2≤x≤2上的最大值和最小值．
8．阅读下面的材料：
小明在学习中遇到这样一个问题：
若1≤x≤m，求二次函数y＝x2－6x＋7的最大值．他画图研究后发现，x＝1和x＝5时的函数值相等，于是他认为需要对m进行分类讨论．
他的解答过程如下：
∵二次函数y＝x2－6x＋7的图象的对称轴为直线x＝3，∴由对称性可知，当x＝1和x＝5时的函数值相等．
∴若1≤m＜5，则当x＝1时，y的最大值为2；若m≥5，则当x＝m时，y的最大值为m2－6m＋7.
请你参考小明的思路，解答下列问题：
（1）当－2≤x≤4时，二次函数y＝2x2＋4x＋1的最大值为________；
（2）若p≤x≤2，求二次函数y＝2x2＋4x＋1的最大值；
（3）若t≤x≤t＋2时，二次函数y＝2x2＋4x＋1的最大值为31，则t的值为________．
图Z－3－3
专题训练（五） 巧用抛物线的对称性妙解题
类型之一 利用对称性比较函数值的大小
1．点A（－2，y1），B（3，y2）是二次函数y＝2（x－1）2－1的图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（ ）
A．y1＜y2B．y1＝y2
C．y1＞y2D．不能确定
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象过点A（1，n），B（3，n），若点M（－2，y1），N（－1，y2），K（8，y3）也在二次函数y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3
C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3＜y2
类型之二 利用对称性求交点坐标
3.如图5－ZT－1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为（ ）
图5－ZT－1
A．（2，3）B．（3，2）
C．（3，3）D．（4，3）
4．如图5－ZT－2，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a>0）的对称轴是直线x＝1，且经过点P（3，0），则a－b＋c的值为（ ）
图5－ZT－2
A．0B．－1
C．1D．2
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（－2，7），B（6，7），C（3，－8），求该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标．
类型之三 利用对称性求长度
6．如图5－ZT－3是一个抛物线形拱桥的示意图，桥的跨度AB为100m，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立柱间的水平距离为10m（不考虑立柱的粗细），其中距点A10m处的立柱FE的高度为3.6m.
（1）求正中间的立柱OC的高度；
（2）是否存在一根立柱，其高度恰好是OC高度的一半？
请说明理由．
图5－ZT－3
类型之四 巧用对称性求二次函数的表达式
7．已知二次函数的函数y有最大值4，且图象与x轴两交点间的距离是8，对称轴为直线x＝－3，此二次函数的表达式为________________．
8．已知二次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线x＝－1对称，且AB＝6，顶点在函数y＝2x的图象上，则这个二次函数的表达式为____________________．
9．二次函数的图象经过点A（0，0），B（12，0），且顶点P到x轴的距离为3，求该二次函数的表达式．
类型之五 利用对称性求面积
10．二次函数y＝－x2＋2（m－1）x＋2m－m2的图象关于y轴对称，顶点A和它的x轴的两个交点B，C所构成的△ABC的面积为（ ）A．1B．2C.D.
11．已知二次函数y＝2x2＋m（m为常数）．
（1）若点（2，y1）与（3，y2）在此二次函数的图象上，则y1________y2（填“＞”“＝”“＜”）；
（2）如图5－ZT－4，此二次函数y＝2x2＋m的图象经过点（0，－4），正方形ABCD的顶点A，B在抛物线上，顶点C，D在x轴上，求图中阴影部分的面积之和．
图5－ZT－4
类型六利用对称性求不等式的解集或字母的取值范围
12．如图5－ZT－5是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是______________．
图5－ZT－5
13．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象上部分点的对应值如下表：
x
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
y
6
0
－4
－6
－6
－4
0
6
则当y<0时，x的取值范围为____________．
类型之七 利用对称性解决线段和最短问题
14．如图5－ZT－6，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x＝－2，点C在抛物线上，且位于点A，B之间（C不与A，B重合）．若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为________（用含a的式子表示）．
图5－ZT－6
15．[2015·酒泉]如图5－ZT－7，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M.
（1）求抛物线的表达式和对称轴．
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？
若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）连接AC，在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？
若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
图5－ZT－7
专题训练（四） 二次函数图象信息专题
类型之一 根据抛物线的特征确定a，b，c及与其有关的代数式的符号
1．已知b＜0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列四个图象之一．试根据图象分析，a的值应等于（ ）
图4－ZT－1
A．－2 B．－1
C．1 D．2
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图4－ZT－2所示，则abc，b2－4ac，2a＋b，a＋b＋c这四个式子中，值为正数的有（ ）
图4－ZT－2
A．4个B．3个
C．2个D．1个
3．[2016·广安]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图4－ZT－3所示，并且关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－m＝0有两个不相等的实数根．下列结论：
①b2－4ac＜0；②
abc＞0；③a－b＋c＜0；④m＞－2.其中，正确的个数为（ ）
图4－ZT－3
A．1B．2C．3D．4
类型之二 利用二次函数的图象比较大小
4．[2016·兰州]点P1（－1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y3>y2>y1B．y3>y1＝y2
C．y1>y2>y3D．y1＝y2>y3
类型之三 利用二次函数的图象求方程或不等式的解
5．如图4－ZT－4，以（1，－4）为顶点的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴负半轴交于点A，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的正数解的范围是（ ）
图4－ZT－4
A．2＜x＜3B．3＜x＜4
C．4＜x＜5D．5＜x＜6
6．如图4－ZT－5，抛物线y＝x2＋1与双曲线y＝的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式x2＋1＜的解集是（ ）
图4－ZT－5
A．x＞1 B．x＜0
C．0＜x＜1 D．－1＜x＜0
7．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图4－Z－6所示，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是______________．
图4－ZT－6
8．如图4－ZT－7是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c<0的解集是______________．
图4－ZT－7
类型之四 根据抛物线的特征确定一次函数或反比例函数的图象
9．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图4－ZT－8所示，则一次函数y＝ax＋b与反比例函数y＝在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ）
图4－ZT－8
图4－ZT－9
10．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象如图4－Z－10所示，则一次函数y＝bx＋c的图象不经过第________象限．
图4－ZT－10
类型之五 有关二次函数的综合题
11．如图4－ZT－11，平行于x轴的直线AC分别交函数y1＝x2（x≥0）与y2＝（x≥0）的图象于B，C两点，过点C作y轴的平行线交y1的图象于点D，过点D作直线DE∥AC，交y2的图象于点E，则＝________．
图4－ZT－11
12.如图4－
ZT－12，A（－1，0），B（2，－3）两点在一次函数y1＝－x＋m与二次函数y2＝ax2＋bx－3的图象上．
（1）求m的值和二次函数的表达式；
（2）设二次函数的图象交y轴于点C，求△ABC的面积．
图4－ZT－12
13．已知抛物线y＝x2－（k＋2）x＋和直线y＝（k＋1）x＋（k＋1）2.
（1）求证：
无论k取何实数值，抛物线与x轴都有两个不同的交点；
（2）抛物线与x轴交于点A，B，直线与x轴交于点C，设A，B，C
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