经典解析几何题型方法.doc
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高考专题：
解析几何常规题型及方法
高考核心考点
1、准确理解基本概念（如直线的倾斜角、斜率、距离、截距等）
2、熟练掌握基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式等）
3、熟练掌握求直线方程的方法（如根据条件灵活选用各种形式、讨论斜率存在和不存在的各种情况、截距是否为0等等）
4、在解决直线与圆的位置关系问题中，要善于运用圆的几何性质以减少运算
5、了解线性规划的意义及简单应用
6、熟悉圆锥曲线中基本量的计算
7、掌握与圆锥曲线有关的轨迹方程的求解方法（如：
定义法、直接法、相关点法、参数法、交轨法、几何法、待定系数法等）
8、掌握直线与圆锥曲线的位置关系的常见判定方法，能应用直线与圆锥曲线的位置关系解决一些常见问题
常规题型及解题的技巧方法
A:
常规题型方面
（1）中点弦问题
具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：
设曲线上两点为，，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。
典型例题给定双曲线。
过A（2，1）的直线与双曲线交于两点及，求线段的中点P的轨迹方程。
分析：
设，代入方程得，。
两式相减得
。
又设中点P（x,y），将，代入，当时得
。
又，
代入得。
当弦斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。
因此所求轨迹方程是
说明：
本题要注意思维的严密性，必须单独考虑斜率不存在时的情况。
变式练习：
给定双曲线2x2-y2=2，过点B（1,1）能否作直线L,使L与所给双曲线交于两点Q1、Q2两点，且点B是线段Q1Q2的中点？
如果直线L存在，求出它的方程;如果不存在,说明理由.
（2）焦点三角形问题
椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点、构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。
典型例题设P（x,y）为椭圆上任一点，，为焦点，，。
（1）求证离心率；
（2）求的最值。
分析：
（1）设，，由正弦定理得。
得，
（2）。
当时，最小值是；
当时，最大值是。
变式练习：
设、分别是双曲线（a>0,b>0）的左、右两个焦点，P是双曲线上的一点，若∠P=θ,求证：
S△=bcot
（3）直线与圆锥曲线位置关系问题
直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法
典型例题
（1）求证：
直线与抛物线总有两个不同交点
（2）设直线与抛物线的交点为A、B，且OA⊥OB，求p关于t的函数f（t）的表达式。
（1）证明：
抛物线的准线为
由直线x+y=t与x轴的交点（t，0）在准线右边，得
故直线与抛物线总有两个交点。
（2）解：
设点A（x1，y1），点B（x2，y2）
变式练习：
直线y=ax+1与双曲线3x2－y2=1交于两点A、B两点
（1）若A、B都位于双曲线的左支上，求a的取值范围
（2）当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？
（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题
圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。
<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。
<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。
典型例题
已知抛物线y2=2px（p>0），过M（a,0）且斜率为1的直线L与抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p
（1）求a的取值范围；
（2）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值。
分析：
这是一道直线与圆锥曲线位置关系的问题，对于
（1），可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：
“求范围，找不等式”。
或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于
（2）首先要把△NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：
“最值问题，函数思想”。
解：
（1）直线L的方程为：
y=x-a,将y=x-a代入抛物线方程y2=2px,得：
设直线L与抛物线两交点的坐标分别为A（x1,y1）,B（x2,y2），则,又y1=x1-a,y2=x2-a,
解得:
（2）设AB的垂直平分线交AB与点Q，令其坐标为（x3,y3），则由中点坐标公式得：
所以|QM|2=（a+p-a）2+（p-0）2=2p2.又△MNQ为等腰直角三角形，所以|QM|=|QN|=，所以S△NAB=,即△NAB面积的最大值为2。
变式练习：
双曲线（a>0,b>0）的两条准线间的距离为3，右焦点到直线x+y-1=0的距离为
（1）求双曲线的方程
（2）设直线y=kx+m（k且m）与双曲线交于两个不同的点C、D，若A（0,-1）且=，求实数m的取值范围
（5）求曲线的方程问题
1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。
典型例题
已知直线L过原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上。
若点A（-1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程。
分析：
曲线的形状已知，可以用待定系数法。
设出它们的方程，L：
y=kx（k≠0）,C:
y2=2px（p>0）
设A、B关于L的对称点分别为A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：
A/（），B（）。
因为A、B均在抛物线上，代入，消去p，得：
k2-k-1=0.解得：
k=,p=.
所以直线L的方程为：
y=x,抛物线C的方程为y2=x.
变式练习：
在面积为1的△PMN中，tanM=,tanN=-2,建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过点P的椭圆方程。
2．曲线的形状未知-----求轨迹方程
典型例题
M
N
Q
O
已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：
x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数（>0）,求动点M的轨迹方程，并说明它是什么曲线。
分析：
如图，设MN切圆C于点N，则动点M组成的集合是：
P={M||MN|=|MQ|}，由平面几何知识可知：
|MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1，将M点坐标代入，可得：
（2-1）（x2+y2）-42x+（1+42）=0.
当=1时它表示一条直线；当≠1时，它表示圆。
这种方法叫做直接法。
变式练习：
过抛物线y=4x的焦点F作斜率为k的弦AB，且≤8，此外，直线AB和椭圆3x+2y=2交于不同的两点。
（1）求直线AB的斜率k的取值范围
（2）设直线AB与椭圆相交于C、D两点，求CD中点M的轨迹方程
（6）存在两点关于直线对称问题
在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：
求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。
（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）
典型例题已知椭圆C的方程，试确定m的取值范围，使得对于直线，椭圆C上有不同两点关于直线对称。
分析：
椭圆上两点，，代入方程，相减得
。
又，，，代入得。
又由解得交点。
交点在椭圆内，则有，得。
变式练习：
为了使抛物线上存在两点关于直线对称，求m的取值范围。
（7）两线段垂直问题
圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用来处理或用向量的坐标运算来处理。
典型例题已知直线的斜率为，且过点，抛物线，直线与抛物线C有两个不同的交点（如图）。
（1）求的取值范围；
（2）直线的倾斜角为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。
分析：
（1）直线代入抛物线方程得，
由，得。
（2）由上面方程得，
，焦点为。
由，得，或
变式练习：
经过坐标原点的直线与椭圆相交于A、B两点，若以AB为直径的圆恰好通过椭圆左焦点F，求直线的倾斜角。
B:
解题的技巧方面
在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。
事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。
下面举例说明：
（1）充分利用几何图形
解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。
典型例题设直线与圆相交于P、Q两点，O为坐标原点，若，求的值。
解：
圆过原点，并且，
是圆的直径，圆心的坐标为
又在直线上，
即为所求。
评注：
此题若不充分利用一系列几何条件：
该圆过原点并且，PQ是圆的直径，圆心在直线上，而是设再由和韦达定理求，将会增大运算量。
变式练习：
已知点P（5，0）和圆O：
，过P作直线与圆O交于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方程。
评注：
此题若不能挖掘利用几何条件，点M是在以OP为直径的圆周上，而利用参数方程等方法，计算量将很大，并且比较麻烦。
二.充分利用韦达定理及“设而不求”的策略
我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。
典型例题已知中心在原点O，焦点在轴上的椭圆与直线相交于P、Q两点，且，，求此椭圆方程。
解：
设椭圆方程为，直线与椭圆相交于P、两点。
由方程组消去后得
由，得
（1）
又P、Q在直线上，
把
（1）代入，得，
即
化简后，得
（4）
由，得
把
（2）代入，得，解得或
代入（4）后，解得或
由，得。
所求椭圆方程为
评注：
此题充分利用了韦达定理及“设而不求”的策略，简化了计算。
变式练习：
若双曲线方程为，AB为不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB中点，设AB、OM的斜率分别为，则
三.充分利用曲线系方程
利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。
典型例题求经过两已知圆和0的交点，且圆心在直线：
上的圆的方程。
解：
设所求圆的方程为：
即，
其圆心为C（）
又C在直线上，，解得，代入所设圆的方程得为所求。
评注：
此题因利用曲线系方程而避免求曲线的交点，故简化了计算。
变式练习：
某直线l过直线L1：
４x-３y-12=0和L2：
7x-y+28=0的交点，且倾斜角为直线L1的倾斜角的一半，求此直线l的方程
四、充分利用椭圆的参数方程
椭圆的参数方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性，可以解决相关的求最值的问题．这也是我们常说的三角代换法。
典型例题P为椭圆上一动点，A为长轴的右端点，B为短轴的上端点，求四边形OAPB面积的最大值及此时点P的坐标。
变式练习：
已知P（x，y）是椭圆x2＋4y2=1上任一点，试求P到直线x+y–2=0的最小值及此时P的坐标。
五、线段长的几种简便计算方法
①充分利用现成结果，减少运算过程
一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：
把直线方程代入圆锥曲线方程中，得到型如的方程，方程的两根设为，，判别式为△，则，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。
例求直线被椭圆所截得的线段AB的长。
②结合图形的特殊位置关系，减少运
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