相交线与平行线知识点整理与练习.doc

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相交线与平行线知识点整理

一、相交线

1、邻补角与对顶角

图形

顶点

边的关系

大小关系

对顶角

有公共顶点

∠1的两边与∠2的两边互为反方向延长线

对顶角相等

∠1=∠2

邻补角

有公共顶点

∠3与∠4有一条边共有，另一边互为反向延长线

领补角互补

∠3+∠4=180°

注：

⑴对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角；

⑵如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角

⑶如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻补角。

⑷两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个。

例1.如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有。

例2.如图，直线ABCDEF都经过点O，图中有对对顶角。

例3.如图，若∠AOB与∠BOC是一对邻补角，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内部，并且∠BOE=∠COE，∠DOE=72°

求∠COE的度数。

2、垂线

⑴定义：

当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，

其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

符号语言记作：

如图所示：

AB⊥CD，垂足为O

⑵垂线性质1：

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（与平行公理相比较记）

⑶垂线性质2：

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

简称：

垂线段最短。

3、垂线的画法：

⑴过直线上一点画已知直线的垂线；

⑵过直线外一点画已知直线的垂线。

注：

①画一条线段或射线的垂线，就是画它们所在直线的垂线；

②过一点作线段的垂线，垂足可在线段上，也可以在线段的延长线上。

画法：

⑴一靠：

用三角尺一条直角边靠在已知直线上；

⑵二移：

移动三角尺使一点落在它的另一边直角边上；

⑶三画：

沿着这条直角边画线，不要画成给人的印象是线段的线。

4、点到直线的距离

⑴定义：

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

记得时候应该结合图形进行记忆。

如图，PO⊥AB，同P到直线AB的距离是PO的长。

PO是垂线段。

PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。

⑵现实生活中开沟引水，牵牛喝水都是“垂线段最短”性质的应用。

5、如何理解“垂线”、“垂线段”、“两点间距离”、“点到直线的距离”这些相近而又相异的概念

⑴垂线与垂线段

区别：

垂线是一条直线，不可度量长度；垂线段是一条线段，可以度量长度。

联系：

具有垂直于已知直线的共同特征。

（垂直的性质）

⑵两点间距离与点到直线的距离

区别：

两点间的距离是点与点之间；点到直线的距离是点与直线之间。

联系：

都是线段的长度；点到直线的距离是特殊的两点（即已知点与垂足）间距离。

⑶线段与距离

区别：

距离是线段的长度，是一个量；线段是一种图形，它们之间不能等同。

例4.已知：

如图，在一条公路的两侧有A、B两个村庄。

<1>现在乡政府为民服务，沿公路开通公交汽车，并在路边修建一个公共汽车站P，同时修建车站P到A、B两个村庄的道路，并要求修建的道路之和最短，请你设计出车站的位置，在图中画出点P的位置，（保留作图的痕迹）．并在后面的横线上用一句话说明道理．.

<2>为方便机动车出行，A村计划自己出资修建一条由本村直达公路的机动车专用道路，你能帮助A村节省资金，设计出最短的道路吗？

请在图中画出你设计修建的最短道路，并在后面的横线上用一句话说明道理．.

二、平行线

1、平行线的概念：

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，直线与直线互相平行，记作∥。

2、两条直线的位置关系

⑴在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：

⑴相交；⑵平行。

因此当我们得知在同一平面内两直线不相交时，就可以肯定它们平行；反过来也一样（这里，我们把重合的两直线看成一条直线）

⑵判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定：

①有且只有一个公共点，两直线相交；

②无公共点，则两直线平行；

③两个或两个以上公共点，则两直线重合（因为两点确定一条直线）

3、平行公理（平行线的存在性与惟一性）：

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

4、平行公理的推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（即若则有。

）

5、三线八角

　两条直线被第三条直线所截形成八个角，它们构成了同位角、内错角与同旁内角。

如图，直线被直线所截，

　①∠1与∠5在截线的同侧，同在被截直线的上方，叫做同位角（位置相同）

　②∠5与∠3在截线的两旁（交错），在被截直线之间（内），叫做内错角

（位置在内且交错）

　③∠5与∠4在截线的同侧，在被截直线之间（内），叫做同旁内角。

6、如何判别三线八角

　判别同位角、内错角或同旁内角的关键是找到构成这两个角的“三线”，有时需要将有关的部分“抽出”或把无关的线略去不看，有时又需要把图形补全。

例5.如图，判断下列各对角的位置关系：

⑴∠1与∠2；⑵∠1与∠7；⑶∠1与∠BAD；⑷∠2与∠6；⑸∠5与∠8。

解：

我们将各对角从图形中抽出来（或者说略去与有关角无关的线），得到下列各图。

　如图所示，不难看出∠1与∠2是同旁内角；∠1与∠7是同位角；∠1与∠BAD是同旁内角；∠2与∠6是内错角；∠5与∠8对顶角。

注意：

图中∠2与∠9，它们是同位角吗？

不是，因为∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上，不是两直线被第三条直线所截而成。

（1）

（2）（3）

（4）（5）

例6.如图，按各角的位置，下列判断错误的是（）

（A）∠1与∠2是同旁内角（B）∠3与∠4是内错角

（C）∠5与∠6是同旁内角（D）∠5与∠8是同位角

例7.如图3-2，与∠EFB构成内错角的是____,与∠FEB构成同旁内角的是____.

7、两直线平行的判定方法

⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行

　　简称：

同位角相等，两直线平行

⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行

　　简称：

内错角相等，两直线平行

⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行

　　简称：

同旁内角互补，两直线平行

注意：

⑴几何中，图形之间的“位置关系”一般都与某种“数量关系”有着内在的联系，常由“位置关系”决定其“数量关系”，反之也可从“数量关系”去确定“位置关系”。

上述平行线的判定方法就是根据同位角或内错角“相等”或同旁内角“互补”这种“数量关系”，判定两直线“平行”这种“位置关系”。

⑵根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有两种：

①如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行。

②如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。

例8.判断下列说法是否正确，如果不正确，请给予改正：

　⑴不相交的两条直线必定平行线。

　⑵在同一平面内不相重合的两条直线，如果它们不平行，那么这两条直线一定相交。

⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行

解答：

⑴错误，平行线是“在同一平面内不相交的两条直线”。

“在同一平面内”是一项重要条件，不能遗漏。

　　　⑵正确

　　　⑶不正确，正确的说法是“过直线外一点”而不是“过一点”。

因为如果这一点不在已知直线上，是作不出这条直线的平行线的。

例9.如图，根据下列条件，可以判定哪两条直线平行，并说明判定的根据是什么？

⑴由∠2＝∠B可判定，根据；

⑵由∠1＝∠D可判定，根据；

⑶由∠3＋∠F＝180°可判定，根据。

三、平行线的性质

1、平行线的性质：

　性质1：

两直线平行，同位角相等；

　性质2：

两直线平行，内错角相等；

　性质3：

两直线平行，同旁内角互补。

2、两条平行线的距离

　如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，EF⊥CD于F，则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离。

　注意：

直线AB∥CD，在直线AB上任取一点G，过点G作CD的垂线段GH，

则垂线段GH的长度也就是直线AB与CD间的距离。

3、命题：

⑴命题的概念：

判断一件事情的语句，叫做命题。

⑵命题的组成：

每个命题都是题设、结论两部分组成。

题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项。

①命题常写成“如果……，那么……”的形式。

具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论。

　②有些命题，没有写成“如果……，那么……”的形式，题设和结论不明显。

对于这样的命题，要经过分析才能找出题设和结论，也可以将它们改写成“如果……，那么……”的形式。

注意：

命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；

命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述。

4、平行线的性质与判定

⑴平行线的性质与判定是互逆的关系

　①两直线平行同位角相等；②两直线平行内错角相等；③两直线平行同旁内角互补。

其中，由角的相等或互补（数量关系）的条件，得到两条直线平行（位置关系）这是平行线的判定；由平行线（位置关系）得到有关角相等或互补（数量关系）的结论是平行线的性质。

综合演练

一、选择题

1、到直线L的距离等于2cm的点有（）

A.0个B.1个C.无数个D.无法确定

2、过一点画已知直线的平行线,则（）

A.有且只有一条B.有两条C.不存在或只有一条D.不存在

3、如图所示,直线相较于一点，交点为O,∠1=∠2,∠3:

∠1=8:

1,则∠4=（）

A.36°B.72C.40°D.45°

第3题第4题第5题

4、如图所示,直线AB和CD相交于点O,若∠AOD与∠BOC的和为236°，则∠AOC的度数为（）

A.62°B.118°C.72°D.59°

5、如图所示，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D，C分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′=（）

A.70°B.65°C.50°D.25°

6、如图所示，AB∥EF∥DC，EG∥DB，则图中与∠1相等的角（∠1除外）共有（　　）

A．6个 B．5个 C．4个 D．2个

7、如图，BE平分∠ABC，DE∥BC，图中相等的角共有（　　）

A．3对 B．4对