特殊平行四边形拔高复习.doc
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第一章特殊平行四边形拔高复习
一特殊平行四边形知识汇总
矩形
1.定义：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
2.性质：
（1）矩形的四个角都是直角
（2）矩形的对角线相等
（3）具备平行四边形的性质
3.判定：
（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）
（2）对角线相等的平行四边形是矩形
（3）有三个角是直角的四边形是矩形
菱形
1.定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
2.性质：
（1）菱形的四条边都相等
（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
（3）具备平行四边形的性质
3.判定：
（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形
（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形
（3）四边相等的四边形是菱形
正方形
1.定义：
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
2.性质：
（1）边：
两组对边分别平行；四条边都相等；相邻边互相垂直
（2）内角：
四个角都是90°；
（3）对角线：
对角线互相垂直；对角线相等且互相平分；每条对角线平分一组对角；
（4）对称性：
既是中心对称图形，又是轴对称图形（有四条对称轴）。
（5）形状：
正方形也属于长方形的一种。
（6）正方形具有平行四边形、菱形、矩形的一切性质。
3.判定：
（1）对角线相等的菱形是正方形。
（2）有一个角为直角的菱形是正方形。
（3）对角线互相垂直的矩形是正方形。
（4）一组邻边相等的矩形是正方形。
（5）一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。
（6）对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。
（7）对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形。
（8）一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。
（9）既是菱形又是矩形的四边形是正方形。
二专题整合与拔高
专题一特殊四边形的综合应用
1、（2013•白银）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？
并说明理由．
考点：
矩形的判定；全等三角形的判定与性质．
专题：
证明题．
分析：
（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；
（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．
解答：
解：
（1）BD=CD．
理由如下：
∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEF和△DEC中，，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴BD=CD；
（2）当△ABC满足：
AB=AC时，四边形AFBD是矩形．
理由如下：
∵AF∥BD，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴∠ADB=90°，
∴▱AFBD是矩形．
点评：
本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．
2、（13年山东青岛、21）已知：
如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点
（1）求证：
△ABM≌△DCM
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD：
AB=____________时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）
解析：
（1）因为四边形ABCD是矩形，所以，∠A＝∠D＝90°，AB＝DC，又MA＝MD，
所以，△ABM≌△DCM
（2）四边形MENF是菱形；
理由：
因为CE＝EM，CN＝NB，
所以，FN∥MB，同理可得：
EN∥MC，
所以，四边形MENF为平行四边形，
又△ABM≌△DCM
（3）2：
1
3.（2012珠海，18，7分）如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A’B’CD’（此时，点B’落在对角线AC上，点A’落在CD的延长线上），A’B’交AD于点E，连结AA’、CE.
求证：
（1）△ADA’≌△CDE；
（2）直线CE是线段AA’的垂直平分线.
【解析】
（1）由题设可得AD＝DC,∠ADA′＝∠CDE＝90°,DA′＝DE.
∴△ADA′≌△CDE.
（2）证CE是∠ACA′的角平分线,由等腰三角形的“三线合一”可得CE是线段AA’的垂直平分线.
【答案】
（1）由正方形的性质及旋转,得AD＝DC,∠ADC=90°,AC＝A′C,∠DA′E＝45°,
∠ADA′＝∠CDE＝90°,
∴∠DEA′＝∠DA′E＝45°.∴DA′＝DE.
∴△ADA′≌△CDE.
（2）由正方形的性质及旋转,得CD＝CB′,∠CB′E＝∠CDE＝90°,CE＝CE,
∴Rt△CB′E≌Rt△CDE.∵AC＝A′C,∴直线CE是线段AA’的垂直平分线.
【点评】本题要求综合应用正方形的性质,旋转变换,三角形全等的判定,等腰三角形的“三线合一”,线段垂直平分线的判定等知识解决问题,是一道证线段垂直平分线的典型范例.
专题二构造特殊四边形解决问题
1.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC的长为 7 ．
考点：
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．菁优网版权所有
专题：
计算题；压轴题．
分析：
过O作OF垂直于BC，再过A作AM垂直于OF，由四边形ABDE为正方形，得到OA=OB，∠AOB为直角，可得出两个角互余，再由AM垂直于MO，得到△AOM为直角三角形，其两个锐角互余，利用同角的余角相等可得出一对角相等，再由一对直角相等，OA=OB，利用AAS可得出△AOM与△BOF全等，由全等三角形的对应边相等可得出AM=OF，OM=FB，由三个角为直角的四边形为矩形得到ACFM为矩形，根据矩形的对边相等可得出AC=MF，AM=CF，等量代换可得出CF=OF，即△COF为等腰直角三角形，由斜边OC的长，利用勾股定理求出OF与CF的长，根据OF﹣MF求出OM的长，即为FB的长，由CF+FB即可求出BC的长．
解答：
解法一：
如图1所示，过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，
∵四边形ABDE为正方形，
∴∠AOB=90°，OA=OB，
∴∠AOM+∠BOF=90°，
又∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，
∴∠BOF=∠OAM，
在△AOM和△BOF中，
，
∴△AOM≌△BOF（AAS），
∴AM=OF，OM=FB，
又∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，
∴四边形ACFM为矩形，
∴AM=CF，AC=MF=5，
∴OF=CF，
∴△OCF为等腰直角三角形，
∵OC=6，
∴根据勾股定理得：
CF2+OF2=OC2，
解得：
CF=OF=6，
∴FB=OM=OF﹣FM=6﹣5=1，
则BC=CF+BF=6+1=7．
故答案为：
7．
解法二：
如图2所示，
过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M；过点O作ON⊥BC于点N．
易证△OMA≌△ONB，∴OM=ON，MA=NB．
∴O点在∠ACB的平分线上，
∴△OCM为等腰直角三角形．
∵OC=6，
∴CM=ON=6．
∴MA=CM﹣AC=6﹣5=1，
∴BC=CN+NB=6+1=7．
故答案为：
7．
2、（2013聊城）如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：
AE=CE．
考点：
全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质．
专题：
证明题．
分析：
过点B作BF⊥CE于F，根据同角的余角相等求出∠BCF=∠D，再利用“角角边”证明△BCF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=CE，再证明四边形AEFB是矩形，根据矩形的对边相等可得AE=BF，从而得证，
解答：
证明：
如图，过点B作BF⊥CE于F，
∵CE⊥AD，
∴∠D+∠DCE=90°，
∵∠BCD=90°，
∴∠BCF+∠DCE=90°，
∴∠BCF=∠D，
在△BCF和△CDE中，，
∴△BCF≌△CDE（AAS），
∴BF=CE，
又∵∠A=90°，CE⊥AD，BF⊥CE，
∴四边形AEFB是矩形，
∴AE=BF，
∴AE=CE．
点评：
本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，难度中等，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键．
专题三特殊四边形中的动态与变换
1、（2013•内江）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值= 5 ．
考点：
轴对称-最短路线问题；菱形的性质．
分析：
作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出OC、OB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．
解答：
解：
作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，
即Q在AB上，
∵MQ⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M为BC中点，
∴Q为AB中点，
∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ=CN，
∴四边形BQNC是平行四边形，
∴NQ=BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CO=AC=3，BO=BD=4，
在Rt△BOC中，由勾股定理得：
BC=5，
即NQ=5，
∴MP+NP=QP+NP=QN=5，
故答案为：
5．
点评：
本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．
2.（2014•襄阳，第12题3分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：
①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是（ ）
A．
①②
B．
②③
C．
①③
D．
①④
考点：
翻折变换（折叠问题）；矩形的性质
分析：
求出BE=2AE，根据翻折的性质可得PE=BE，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠APE=30°，然后求出∠AEP=60°，再根据翻折的性质求出∠BEF=60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠EFB=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=2BE，判断出①正确；利用30°角的正切值求出PF=PE，判断出②错误；求出BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判断出③错误；求出∠PBF=∠PFB=60°，然后得到△PBF是等边三角形，判断出④正确．
解答：
解：
∵AE=AB，
∴BE=2AE，
由翻折的性质得，PE=BE，
∴∠APE=30°，
∴∠A
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