沪科版八年级上命题与证明教案.doc
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命题与证明
一、证明
（1）概念：
从已知的概念和条件出发，依据已被确认的事实和公认的逻辑规则，推导出某结论正确与否的过程。
（由于证明的需要，可以在原来的图形上添加一些线，这样的线叫辅助线）。
推导证明的条件除了已知条件外，还有公认的事实、公理和学过的定理。
例：
（1）证明“对顶角相等”
分析：
第一步的因是∠1与∠2，∠2与∠3分别是邻补角，果是∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°。
确立因果关系的依据是——邻补角的意义.
第二步的因是∠1+∠2=180°，∠2+∠3=180°，果是∠1+∠2=∠2+∠3，依据是——等量代换。
第三步的因是∠1+∠2=∠2+∠3，果是∠1=∠3。
依据是——等量减等量，差相等。
整体来看，前一步的果为后一步的证明提供了因，这样一连串连贯、有序的因果关系组成了完整的证明过程。
证明一般采用的分析方法是：
从“要证什么”着眼，探寻“需要知道什么”，由此考虑“只要证什么”，一直追寻到“已知”。
而证明的表述一般是从“已知”开始，推导出“可知”，直到求证的“结论”。
例：
（学生做）已知，如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，EF交AB于G，交CA延长线于E，且∠1=∠2.求证：
AD平分∠BAC，填写“分析”和“证明”中的空白．
分析：
要证明AD平分∠BAC，只要证明∠=∠，而已知∠1=∠2，所以应联想这两个角分别和∠1、∠2的关系，由已知BC的两条垂线可推出∥，这时再观察这两对角的关系已不难得到结论．
证明：
∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知）
∴∥（）
∴=（两直线平行，内错角相等．）
=（两直线平行，同位角相等．）
∵（已知）
∴，即AD平分∠BAC（）
例：
已知，如图，AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，EF交AB于G，交CA延长线于E，且∠1=∠2.
求证：
AD平分∠BAC
二、命题
（1）概念：
对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子。
例：
下列句子中，哪些是命题？
哪些不是命题？
1、将27开立方；2、任意三角形的三条中线相交于一点吗？
3、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；
4、|a|＜0（a为实数）；5、鸟是动物会飞的动物是鸟吗？
（2）其中判断为正确的命题叫真命题，例如：
两条平行线被第三条直线所截，内错角平分线平行。
判断为错误的命题叫假命题，例如：
互为补角的两个角都是锐角。
确认一个命题是真命题要经过证明。
而确认一个命题是假命题，只要举一个反例。
例：
下列命题中，哪些是真命题？
哪些是假命题？
请说明理由。
1、三角形的任何一个外角大于和它不相邻的内角；
2、一条直线截另外两条直线所得到的同位角相等；
3、两个锐角的和还是锐角；
4、如果一个数能被2整除，那么这个数也能被4整除。
5、素数是奇数；
6、一个图形经过旋转变换后原图形全等。
7、有两个角是锐角的三角形是锐角三角形
（3）数学命题通常由题设、结论两部分组成，题设是已知事项是判断的根据，结论是由已知事项推出的事项是判断的结果。
这样的命题可以写成“如果……，那么……”的形式。
例：
“同角的余角相等”可以改写为“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”。
例：
指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果······那么······”的形式：
1、在直角三角形中，斜边大于直角边。
2、内错角相等，两直线平行。
3、角平分线上的点到角的两边的距离相等。
4、三条边对应相等的两个三角形全等。
5、在同一个三角形中，等角对等边。
6、对顶角相等。
7、全等三角形对应边相等。
三、公理和定理
（1）概念：
从长期的实践中周总结出来的真命题叫公理。
例如：
两点之间线段最短；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等。
有些命题是从公理或其他真命题出发，用推理的方法证明为正确，并进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫定理。
例如:
依据公理“两点之间线段最短”可以推导出“三角形两边之和大于第三边”，而“三角形两边之和大于第三边”还是判断其他一些命题真假的依据，所以它是定理。
四、证明举例
例1：
已知：
如图，AB∥CD，AB=CD，BF=CE，点B，E，C，F同在一直线上。
求证：
AE∥DF。
:
例1例2例3
例2：
如图，在△ABC中，∠A=70°，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，求∠BOC的度数．
A
例3：
已知：
如图，AC与BD相交于点O，AO=CO，BO=DO。
求证：
AB∥CD
例4：
已知：
如图，AD是∠BAC的角平分线，BC⊥AD于点O，AC⊥DC于点C．
求证：
（1）⊿ABC是等腰三角形；
（2）∠D=∠B．O
C
B
D
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