推理与证明教案.docx

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推理与证明教案

第一课时2.1.1合情推理

（一）

教学要求：

结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.

教学重点：

能利用归纳进行简单的推理.

教学难点：

用归纳进行推理，作出猜想.

教学过程：

一、新课引入：

1.哥德巴赫猜想：

观察4=2+2,6=3+3,8=5+3,10=5+5,12=5+7,12=7+7,16=13+3,18=11+7,20=13+7,……,50=13+37,……,100=3+97，猜测：

任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和.1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想.1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”.

二、讲授新课：

1.教学概念：

①概念：

由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.

②归纳推理的几个特点;

1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围.

2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.

3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上

归纳推理的一般步骤：

⑴对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；

⑵提出带有规律性的结论，即猜想；

⑶检验猜想。

归纳练习：

（i）由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？

（ii）由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出什么结论？

（iii）观察等式：

，能得出怎样的结论？

③讨论：

（i）统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？

（ii）归纳推理有何作用？

（发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段）

（iii）归纳推理的结果是否正确？

（不一定）

2.教学例题：

1[例1]观察图，可以发现：

1=12,1+3=4=22,1+3+5=9=32,1+3+5+7=16=42,1+3+5+7+9=25=52,…

由上述具体事实能得出怎样的结论？

2出示例题：

已知数列的第1项，且，试归纳出通项公式.

（分析思路：

试值n=1，2，3，4→猜想→如何证明：

将递推公式变形，再构造新数列）

3.小结：

①归纳推理的药店：

由部分到整体、由个别到一般；②典型例子：

哥德巴赫猜想的提出；数列通项公式的归纳.

三、巩固练习：

第二课时2.1.1合情推理

（二）

教学要求：

结合已学过的数学实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.

教学重点：

了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理.

教学难点：

用归纳和类比进行推理，作出猜想.

教学过程：

一、复习准备：

导入：

鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理，发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、扰轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：

火星上有生命存在.以上都是类比思维，即类比推理.

二、讲授新课：

1.教学概念：

①概念：

由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理.简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.

类比推理的几个特点;

1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.

2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.

3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,单它却有发现的功能

2.教学例题：

①出示例1：

类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.（得到如下表格）

类比角度

实数的加法

实数的乘法

运算结果

若则

若则

运算律

逆运算

加法的逆运算是减法，使得方程有唯一解

乘法的逆运算是除法，使得方程有唯一解

单位元

②出示例2：

类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.

思维：

直角三角形中，，3条边的长度，2条直角边和1条斜边；

→3个面两两垂直的四面体中，，4个面的面积和

3个“直角面”和1个“斜面”.→拓展：

三角形到四面体的类比.

3.小结：

类比推理的一般步骤:

1.找出两类对象之间可以确切表述的相似特征

2.用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想

3.检测猜想

第三课时2.1.2演绎推理

教学要求：

结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理。

.

教学重点：

了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理.

教学难点：

分析证明过程中包含的“三段论”形式.

教学过程：

一、复习准备：

复习:

合情推理

归纳推理的一般步骤：

类比推理的一般步骤：

二、讲授新课：

观察与思考

1.所有的金属都能导电,因为铜是金属,所以铜能够导电.

2.一切奇数都不能被2整除因为（2100+1）是奇数,所以（2100+1）不能被2整除.

3.三角函数都是周期函数,因为tan三角函数,所以是tan周期函数

1.教学概念：

①概念：

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。

要点：

由一般到特殊的推理。

②讨论：

演绎推理与合情推理有什么区别？

合情推理；演绎推理：

由一般到特殊.

“三段论”是演绎推理的一般模式：

第一段：

大前提——已知的一般原理；第二段：

小前提——所研究的特殊情况；第三段：

结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.

④举例：

举出一些用“三段论”推理的例子.

2.教学例题：

练习

3.比较：

合情推理与演绎推理的区别与联系？

（从推理形式、结论正确性等角度比较；演绎推理可以验证合情推理的结论，合情推理为演绎推理提供方向和思路.）

•①归纳是由特殊到一般的推理;②类比是由特殊到特殊的推理;③演绎推理是由一般到特殊的推理.

•从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明;演绎推理得到的结论一定正确.

演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.

三、巩固练习：

第一课时2.2.1综合法和分析法

（一）

教学要求：

结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：

分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.

教学重点：

会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.

教学难点：

根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.

教学过程：

一、复习准备：

1.已知“若，且，则”，试请此结论推广猜想.

（答案：

若，且，则）

2.已知，，求证：

.

先完成证明→讨论：

证明过程有什么特点？

二、讲授新课：

1.教学例题：

①出示例1：

已知a,b,c是不全相等的正数，求证：

a（b2+c2）+b（c2+a2）≥4abc

②提出综合法：

利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.

框图表示：

要点：

顺推证法；由因导果.

3.例2：

④出示例3：

在△ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列.求证：

为△ABC等边三角形.

2.练习：

、

1.已知a，b，c是全不相等的正实数，求证

2为锐角，且，求证：

.（提示：

算）

3.小结：

综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论，直到最后的结论是Q.运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.

三、巩固练习：

1.求证：

对于任意角θ，.（教材P44练习1题）

2.的三个内角成等差数列，求证：

.

3.作业：

教材P46A组1题.

第二课时2.2.1综合法和分析法

（二）

教学要求：

结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：

分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.

教学重点：

会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.

教学难点：

根据问题的特点，选择适当的证明方法.

教学过程：

一、复习准备：

1.提问：

基本不等式的形式？

2.讨论：

如何证明基本不等式.

（讨论→板演→分析思维特点：

从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）

二、讲授新课：

1.教学例题：

①出示例1：

求证.

讨论：

能用综合法证明吗？

→如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？

→板演证明过程（注意格式）

→再讨论：

能用综合法证明吗？

→比较：

两种证法

②提出分析法：

从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.

框图表示：

要点：

逆推证法；执果索因.

例3:

如图,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,过A作SB的垂线,垂足为E,过E作SC的垂线,垂足为F,求证AF⊥SC

③练习：

设x>0，y>0，证明不等式：

.

先讨论方法→分别运用分析法、综合法证明.

④出示例4：

见教材P48.讨论：

如何寻找证明思路？

（从结论出发，逐步反推）

⑤出示例5：

见教材P49.讨论：

如何寻找证明思路？

（从结论与已知出发，逐步探求）

2.练习：

3.小结：

分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知，直到所有的已知P都成立；

比较好的证法是：

用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”（分析），从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.（框图示意）

三、巩固练习：

1.设a,b,c是的△ABC三边，S是三角形的面积，求证：

.

略证：

正弦、余弦定理代入得：

，

即证：

，即：

，即证：

（成立）.

2.作业：

教材P46练习2、3题.

第三课时2.2.2反证法

教学要求：

结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.

教学重点：

会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程.

教学难点：

根据问题的特点，选择适当的证明方法.

教学过程：

一、复习准备：

A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。

则C必定是在撒谎，为什么？

分析：

假设C没有撒谎，则C真.——那么A假且B假;由A假，知B真.这与B假矛盾.那么假设C没有撒谎不成立;则C必定是在撒谎.

二、讲授新课：

1.教学反证法概念及步骤：

提出反证法：

一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.

证明基本步骤：

假设原命题的结论不成立→从假设出发，经推理论证得到矛盾→矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立

应用关键：

在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.

方法实质：

反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.

注：

结合准备题分析以上知识.

2.教学例题：