命题与证明教案.docx

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命题与证明教案

命题与证明教案（九年级上册）

第二章　命题与证明

主要内容：

定义与命题、公理与定理以及证明。

本章是学生用逻辑推理的方法对命题进行研究的开始，是今后学习证明的基础。

通过本章的学习应了解定义与命题的含义，会判断真假命题，能改写命题的形式，理解公理与定理，理解证明的必要性，掌握证明的书写格式，能灵活运用公理、定理、定义进行田径逻辑推理，提高演绎推理的能力。

重点：

命题、公理与定理以及证明。

难点：

命题的证明。

课时安排：

本章约为10课时

定义与命题

（1）

【教学目标】

　1．了解定义的含义．

2．了解命题的含义．

3．了解命题的结构，会把一个命题写成“如果……那么……”的形式．

【教学重点、难点】

Ø重点：

命题的定义．

Ø难点：

象范例中第（3）题，这类命题的条件和结论不十分明显，改写成“如果…那么…”形式学生会感到困难，是本节课的难点．

【教学过程】

一、创设情景，导入新课

一、

（1）阅读新华社酒泉2005年10月11日这篇报导：

神舟六号载人飞船将于10月12日上午发射，……神舟六号飞船搭乘两名航天员，执行多天飞行任务．按计划，飞船将从中国酒泉卫星发射中心发射升空，运行在轨道倾角42.4°、近地点高度为200千米、远地点高度为347千米的椭圆轨道上，实施变轨后，进入343千米的圆轨道．

要读懂这段报导，你认为要知道哪些名称和术语的含义?

（2）什么叫做平行线？

（在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线）．

什么叫做物质的密度？

（单位体积内所含某一物质的质量叫做密度）．

二、合作交流，探求新知

1．定义概念的教学

从以上两个问题中引入定义这个概念：

对一个概念的特征性质的描述叫做该概念的定义．

象问题

（1）中的轨道倾角、近地点高度、远地点高度、变轨的含义必须有明确的规定，即需要给出定义．

请说出下列名词的定义：

（1）无理数；

（2）直角三角形；（3）矩形

学生阅读教材P35---36

2．命题概念的教学

教师提出问题：

判断下列语句在表述形式上，哪些对事情作了判断？

哪些没有对事情作出判断？

（1）对顶角相等；

（2）画一个角等于已知角；（3）两直线平行，同位角相等；

（4）

，

两条直线平行吗?

（5）鸟是动物；（6）若

，求

的值；（7）若

，则

．

答案：

句子

（1）（3）（5）（7）对事情作了判断，句子

（2）（4）（6）没有对事情作出判断．其中

（1）（3）（5）判断是正确的（真），（7）判断是错误的（假）．

在此基础上归纳出命题的概念：

叙述一件事情的句子（陈述句），如果要么是真的，要么是假的，那么称这个陈述句是一个命题．

如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题，如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它是假命题。

象句子

（1）（3）（5）（7）都是命题；句子

（2）（4）（6）都不是命题．

说明：

讲解定义、命题的含义时，要突出语句的作用．命题属于判断句或陈述句，且都对一件事情作出判断．与判断的正确与否没有关系．

3．命题的结构的教学

告诉学生现阶段我们在数学上学习的命题可看做由条件（或题设）和结论两部分组成．条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．这样的命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果”连接的部分是条件，“那么”连接的部分是结论．如“两直线平行，

同位角相等”可以改写成“如果两条直线平行，那么同位角相等”．

三、师生互动运用新知

下面通过书本中的范例介绍如何找出一个命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式．

例1指出下列命题的条件和结论，并改写成“如果……那么……”的形式：

（1）三条边对应相等的两个三角形全等；

（2）在同一个三角形中，等角对等边；

（3）对顶角相等；

（4）同角的余角相等；

（5）三角形的内角和等于180°；

（6）角平分线上的点到角的两边距离相等．

分析：

找出命题的条件和结论是本节课的难点，因为命题在叙述时要求通顺和简练，把命题中的有些词或句子省略了，在改写是注意把时要把省略的词或句子添加上去．

（1）“三条边对应相等”是对两个三角形来说的，因此写条件时最好把“两个三角形”这句话添加上去，即命题的条件是“两个三角形的三条边对应相等”，结论是“这两个三角形全等”．可以改写成“如果两个三角形有三条边对应相等，那么这两个三角形全等”．

（2）学生可能会说条件是“在同一个三角形中”，结论是“等角对等边”．教学时可作这样引导：

“等角对等边含义”是指有两个角相等所对的两条边相等，`然后提问学生，一个三角形满足什么条件时，有两条边相等？

这个命题的条件是什么？

结论是什么？

值得注意的是，命题中包含了一个前提条件：

“在一个三角形中”，在改写时不能遗漏．

（3）可作如下启发：

对顶角指两个角的关系，相等指两个角相等．把“两个角”添补上去，写成“是对顶角的两个角相等”，这样学生不难得出这个命题的条件是“两个角是对顶角”，结论是“两个角相等”．这个命题可以改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．

（4）条件是“两个角是同一个角的余角”，结论是“这两个角相等”．这个命题可以改写成“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”．

（5）条件是“三个角是一个三角形的三个内角”，结论是“这三个角的和等于180°”．这个命题可以改写如果“三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个角的和等于180°”；

（6）如果“一个点在一个角的平分线上，那么这个点到这个角的两边距离相等”．

例2下列语句中，哪些是命题，哪些不是命题?

（1）若a

；

（2）三角形的三条高交于一点；

（3）在ΔABC中，若AB>AC，则∠C>∠B吗?

（4）两点之间线段最短；

（5）解方程

；

（6）1＋2≠3．

答案：

（1）

（2）（4）（6）是命题，（3）（5）不是命题．

四、应用新知体验成功

（1）书P39做一做部分

（2）P361，2P401

五、总结回顾，反思内化

学生自由发言，这节课学了什么？

教师做补充．

三个内容：

教学后记：

定义与命题

（2）

【教学目标】

Ø知识目标：

理解真命题、假命题的定义，了解什么是证明与举反例；

Ø能力目标：

会判断一个命题的真假，了解什么是互逆的命题和逆命题。

Ø情感目标：

通过对真假命题的判断，培养学生树立科学严谨的学习方法。

【教学重点、难点】

Ø重点：

判断一个命题的真假是本节的重点。

Ø难点：

公理、命题和定义的区别。

【教学过程】

（一）：

合作学习：

１：

复习命题的定义，思考下列命题的条件是什么？

结论是什么？

（1）边长为a（a＞0）的等边三角形的面积为√3/4ａ２　．

（2）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．

（3）对于任何实数ｘ，ｘ２　＜０．　

提问：

上述命题中，哪些正确？

哪些不正确？

　２：

得出真命题、假命题的概念：

正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。

　３：

把学生分成两组，一组负责说命题，然后指定第二组中某一个人来回答是真命题还是假命题

（二）：

举例：

判断下列命题是真命题还是假命题

（1）x=1是方程x2-2x-3=0的解。

（2）一个图形经过旋转变化，像和原图形全等。

（3）如果a是有理数，那么a是实数

（4）如果a是实数，那么a是有理数

（三）讲述证明与举反例

由上述习题引出：

从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫做证明。

找出一个例子，它符合命题的条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题为假，这个过程叫做举反例。

观察（3）与（4）两题的条件与结论的位置，这样的两个命题称为互逆的命题，其中一个叫做另一个的逆命题。

思考：

命题为真，则逆命题一定为真吗？

　例题、判断下列命题的真假，并给出证明

（1）若2x+y=0，则x=y=0

（2）

有一条边、两个角相等的两个三角形全等

解

（1）是假命题。

取x=-1,y=2，

则2x+y=2×（-1）+2=0

但x≠0且y≠0。

即x=-1，y=2具备2x+y=0的条件，

但不具备命题的结论，

所以此命题为假命题

（2）假命题。

如图：

△ABC和△A’B’C’中，

∠A=∠B’

∠B=∠C’

AB=A’B’

但很明显△ABC和△A’B’C’不全等，

所以此命题为假命题

例题小结：

如果要证明或判断一个命题是假命题，那么我们只要举出一个符合题设而不符合结论的例子就可以了。

这称为举“反例”。

（四）：

课内练习：

见书本P40练习部分

（五）：

作业：

练习册P19—20

小结：

学生自由发言，这节课学了什么？

教师做补充．

教学后记：

2．3公理与定理

【教学目标】

１、了解公理和定理的含义

２、初步体会公理化思想，并了解教材中所采用的公理。

３、会判断一个定理有没有逆定理，能说出一个定理的逆定理。

４、通过了解公理和定理的含义，使学生能用数学的眼光观察、分析生活中的实际问题。

【教学重点、难点】

重点：

公理和定理的含义

难点：

互逆定理和互逆命题的区别。

【教学方法】自学辅导法

【教学过程】

一、复习

定义、命题、真命题、假命题、互逆命题等有关概念的定义

二、新授：

学生自学教材Ｐ４２――４４

回答下列问题：

１、什么是公理？

什么是定理？

二者有何区别？

公理：

人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，作为证明的原始依据。

称这些真命题叫做公理。

定理：

以基本定义和公理作为推理的出发点，去判断其他命题的真假，已经判断为真的命题叫做定理。

定理也可以作为判断其他命题真假的依据。

２、到目前为止，我们所学的公理有哪些？

３、什么是互逆定理？

它和互逆命题有区别吗？

三、请学习书本附录部分（Ｐ１４６――１５２的所有已学的公理和定理　

四、小结：

学生自由发言，这节课学了什么？

教师做补充．

公理：

人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，作为证明的原始依据。

称这些真命题叫做公理。

定理：

以基本定义和公理作为推理的出发点，去判断其他命题的真假，已经判断为真的命题叫做定理。

互逆定理

五、作业：

１、练习册Ｐ２１－２２

　　　　　２、继续学习书本附录部分（Ｐ１４６――１５２的所有已学的公理和定理

教学后记：

证明

（1）

【教学目标】

1．了解证明的含义,经历探索命题证明的过程，能进行简单的证明。

2．掌握证明是从已知条件出发，根据推理得出结论的过程。

3．了解证明的表达格式，会按规定格式证明简单命题，注意证明的每一步都要有理有据。

【教学重点、难点】

Ø重点：

证明的含义和表述格式。

Ø难点：

如何把文字语言转化成几何语言及按规定格式表述证明的过程。

【教学过程】

一、知识回顾

1、什么是证明？

从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫做证明。

我们在证明一个命题时，首先要分清命题的条件是什么？

结论是什么？

把条件作为已知内容，把结论作为求证的内容；其次已知条件出发，运用概念的定义、公理和已经证明过的定理，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，这个推理的过程就是证明的过程。

注意：

证明的每一步都要有理有据。

二、新课教学

1、合作学习

参考教科书P45

证明：

两条直线被第三条直线所截，如果有一对同位角相等，那么其他几对同位角也相等，并且内错角也相等，同旁内角互补。

问：

这个命题的条件是什么，结论是什么？

如何把文字语言转化成几何语言（符号语言）？

2、证明的引入

（1）步骤：

1、根据需要画出图形

2、用几何