概率习题答案3.doc

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第三章多维随机变量及其分布

 3.1二维随机变量及其分布

习题1

设（X,Y）的分布律为

X\Y

123 

 1

1/61/91/18

 2

 1/3a1/9

求a.

分析：

dsfsd1f6d54654646

解答：

由分布律性质∑i⋅jPij=1, 可知

               1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,

解得

                          a=2/9.

习题2

（1）

2.设（X,Y）的分布函数为F（x,y），试用F（x,y）表示：

（1）P{a

解答：

P{a

习题2

（2）

2.设（X,Y）的分布函数为F（x,y），试用F（x,y）表示：

（2）P{0

解答：

P{0

习题2（3）

2.设（X,Y）的分布函数为F（x,y），试用F（x,y）表示：

  （3）P{X>a,Y≤b}.

解答：

P{X>a,Y≤b}=F（+∞,b）-F（a,b）.

习题3

（1）

3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：

试求：

（1）P{12

解答：

P{12

   P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}

=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1,Y=3}

=14+0+0=14.

习题3

（2）

3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：

试求：

（2）P{1≤X≤2,3≤Y≤4};

解答：

P{1≤X≤2,3≤Y≤4}

=P{X=1,Y=3}+P{X=1,Y=4}+P{X=2,Y=3}+P{X=2,Y=4}

=0+116+0+14=516.

习题3（3）

3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：

试求：

  （3）F（2,3）.

解答：

F（2,3）=P（1,1）+P（1,2）+P（1,3）+P（2,1）+P（2,2）+P（2,3）

=14+0+0+116+14+0=916.

习题4

设X,Y为随机变量，且

      P{X≥0,Y≥0}=37, P{X≥0}=P{Y≥0}=47,

求P{max{X,Y}≥0}.

解答：

P{max{X,Y}≥0}=P{X,Y至少一个大于等于0}

                  =P{X≥0}+P{Y≥0}-P{X≥0,Y≥0}

                 =47+47-37=57.

习题5

（X,Y）只取下列数值中的值：

                 （0,0）,（-1,1）,（-1,13）,（2,0）

且相应概率依次为16,13,112,512, 请列出（X,Y）的概率分布表，并写出关于Y的边缘分布.

解答：

（1）因为所给的一组概率实数显然均大于零，且有16+13+112+512=1, 故所给的一组实数必是某二维随机变量（X,Y）的联合概率分布.因（X,Y）只取上述四组可能值，故事件：

    {X=-1,Y=0},  {X=0,Y=13,

    {X=0,Y=1},{X=2,Y=13,{X=2,Y=1}

均为不可能事件，其概率必为零.因而得到下表：

 X\Y

  01/31 

 -1

  01/121/3

 0

 1/600

 2

 5/1200

（2）P{Y=0}=P{X=-1,Y=0}+P{X=0,Y=0}+P{X=2,Y=0}

            =0+16+512=712,

同样可求得

       P{Y=13=112,P{Y=1}=13,

关于的Y边缘分布见下表：

Y 

   01/31 

 pk

 7/121/121/3

习题6

设随机向量（X,Y）服从二维正态分布N（0,0,102,102,0）, 其概率密度为

                     f（x,y）=1200πex2+y2200,

求P{X≤Y}.

解答：

由于P{X≤Y}+P{X>Y}=1，且由正态分布图形的对称性，知

         P{X≤Y}=P{X>Y}, 

故      P{X≤Y}=12.

习题7

设随机变量（X,Y）的概率密度为

f（x,y）={k（6-x-y）,0

（1）确定常数k;             

（2）求P{X<1,Y<3};  

（3）求P{X<1.5};          （4）求P{X+Y≤4}.

解答：

如图所示

（1）由∫-∞+∞∫-∞+∞f（x,y）dxdy=1, 确定常数k.

∫02∫24k（6-x-y）dydx=k∫02（6-2x）dx=8k=1,

所以k=18.

（2）P{X<1,Y<3}=∫01dx∫2318（6-x-y）dy=38.

（3）P{X<1.5}=∫01.5dx∫2418（6-x-y）dy=2732.

（4）P{X+Y≤4}=∫02dx∫24-x18（6-x-y）dy=23.

习题8

已知X和Y的联合密度为

                 f（x,y）={cxy,0≤x≤1,0≤y≤10,其它,

试求：

（1）常数c;  

（2）X和Y的联合分布函数F（x,y）.

解答：

（1）由于1=∫-∞+∞∫-∞+∞f（x,y）dxdy=c∫01∫01xydxdy=c4,c=4.

（2）当x≤0或y≤0时，显然F（x,y）=0;

当x≥1,y≥1时，显然F（x,y）=1;

设0≤x≤1,0≤y≤1, 有

           F（x,y）=∫-∞x∫-∞yf（u,v）dudv=4∫0xudu∫0yvdv=x2y2.

设0≤x≤1,y>1, 有

          F（x,y）=P{X≤1,Y≤y}=4∫0xudu∫01ydy=x2.

最后，设x>1,0≤y≤1, 有

          F（x,y）=P{X≤1,Y≤y}=4∫01xdx∫0yvdv=y2.

函数F（x,y）在平面各区域的表达式

              F（x,y）={0,x≤0或y≤0x2,0≤x≤1,y>1x2y2,0≤x≤1,0≤y≤1.y2,x>

习题9

设二维随机变量（X,Y）的概率密度为

              f（x,y）={4.8y（2-x）,0≤x≤1,x≤y≤10,其它,

求边缘概率密度fY（y）.

解答：

fX（x）=∫-∞+∞f（x,y）dy

      ={∫0x4.8y（2-x）dy,0≤x≤10,其它={2.4x2（2-x）,0≤x≤10,其它.

fY（y）=∫-∞+∞f（x,y）dx

      ={∫0y4.8y（2-x）dx,0≤y≤10,其它={2.4y（4y-y2）,0≤y≤10,其它.

习题10

设（X,Y）在曲线y=x2,y=x所围成的区域G里服从均匀分布，求联合分布密度和边缘分布密度.

解答：

区域G的面积A=∫01（x-x2）dx=16, 由题设知（X,Y）的联合分布密度为

                  f（x,y）={6,0≤x≤1,x2≤y≤x0,其它,

从而fX（x）=∫-∞+∞f（x,y）dy=6∫x2xdy=6（x-x2）,0≤x≤1, 即

                  fX（x）={6（x-x2）,0≤x≤10,其它,

         fY（y）=∫-∞+∞f（x,y）dx=6∫yydx=6（y-y）,0≤y≤1,

即fY（y）={6（y-y）,0≤y≤10,其它.

3.2条件分布与随机变量的独立性

习题1

二维随机变量（X,Y）的分布律为

X\Y 

   01 

 01

 7/157/307/301/15

（1）求Y的边缘分布律；

（2）求P{Y=0∣X=0},P{Y=1∣X=0};

（3）判定X与Y是否独立？

解答：

（1）由（x,y）的分布律知，y只取0及1两个值.

   P{y=0}=P{x=0,y=0}+P{x=1,y=0}=715+730=0.7

   P{y=1}=∑i=01P{x=i,y=1}=130+115=0.3.

（2）P{y=0∣x=0}=P{x=0,y=0}P{x=0}=23,

   P{y=1∣x=0}=13.

（3）已知P{x=0,y=0}=715, 由

（1）知P{y=0}=0.7, 类似可得

              P{x=0}=0.7.

因为P{x=0,y=0}≠P{x=0}⋅P{y=0}, 所以x与y不独立.

习题2

将某一医药公司9月份和8份的青霉素针剂的订货单分别记为X与Y.据以往积累的资料知X和Y的联合分布律为

 X\Y

  5152535455 

 5152535455

 0.060.050.050.010.010.070.050.010.010.010.050.100.100.050.050.050.020.010.010.030.050.060.050.010.03

（1）求边缘分布律;

（2）求8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律.

解答：

（1）边缘分布律为

X 

  5152535455

pk 

 0.180.150.350.120.20

对应X的值,将每行的概率相加,可得P{X=i}.

对应Y的值（最上边的一行）, 将每列的概率相加，可得P{Y=j}.

Y

  5152535455

pk 

 0.280.280.220.090.13

（2）当Y=51时,X的条件分布律为

   P{X=k∣Y=51}=P{X=k,y=51}P{Y=51}=pk,510.28, k=51,52,53,54,55.

列表如下:

k

  5152535455

 P{X=k∣Y=51}

 6/287/285/285/285/28

习题3

已知（X,Y）的分布律如下表所示，试求：

（1）在Y=1的条件下,X的条件分布律;

（2）在X=2的条件下,Y的条件分布律.

X\Y 

   012 

 012

 1/41/8001/301/601/8

解答：

由联合分布律得关于X,Y的两个边缘分布律为

X 

  012 

pk 

 3/81/37/24

 Y

   012 

 pk

 5/1211/241/8

故

（1）在Y=1条件下，X的条件分布律为

X∣（Y=1） 

   012

 pk

 3/118/110

（2）在X=2的条件下，Y的条件分布律为

Y∣（X=2） 

  012

 pk

 4/703/7

习题4

 已知（X,Y）的概率密度函数为f（x,y）={3x,0

（1）边缘概率密度函数；

（2）条件概率密度函数.

解答：

（1）fX（x）=∫-∞+∞f（x,y）dy={3x2,0

  fY（y）=∫-∞+∞f（x,y）dx={32（1-y2）,0

（2）对∀y∈（0,1）,

  fX∣Y（x∣y）=f（x,y）fY（y）={2x1-y2,y

对∀x∈（0,1）,

  fY∣X（y∣x）=f（x,y）fX（x）={1x,0

习题5

X与Y相互独立，其概率分布如表（a）及表（b）所示，求（X,Y）的联合概率分布，P{X+Y=1}, P{X+Y≠0}.

X

-2-101/2 

 pi

 1/41/31/121/3

表（a）

 Y

-1/213 

 pi

 1/21/41/4

表（b）

解答：

由X与Y相互独立知