概率习题答案3.doc

1、第三章 多维随机变量及其分布3.1 二维随机变量及其分布习题1设(X,Y)的分布律为XY1 2 311/6 1/9 1/1821/3a1/9求a.分析：dsfsd1f6d54654646解答：由分布律性质ijPij=1,可知1/6+1/9+1/18+1/3+a+1/9=1,解得a=2/9.习题2(1)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(1)PaXb,Yc;解答：PaXb,Yc=F(b,c)-F(a,c).习题2(2)2.设(X,Y)的分布函数为F(x,y)，试用F(x,y)表示：(2)P0Yb;解答：P0a,Yb.解答：PXa,Yb=F(+,b)-F(a,b).习

2、题3(1)3.设二维离散型随机变量的联合分布如下表：试求：(1)P12X32,0Y4;解答：P12X23,0YY=1，且由正态分布图形的对称性，知 PXY=PXY,故 PXY=12.习题7设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=k(6-x-y),0x2,2y40,其它,(1)确定常数k;(2)求PX1,Y3;(3)求PX1.5;(4)求PX+Y4.解答：如图所示(1)由-+-+f(x,y)dxdy=1,确定常数k.0224k(6-x-y)dydx=k02(6-2x)dx=8k=1,所以k=18.(2)PX1,Y3=01dx2318(6-x-y)dy=38.(3)PX1,有F(x,y)=P

3、X1,Yy=40xudu01ydy=x2.最后，设x1,0y1,有F(x,y)=PX1,Yy=401xdx0yvdv=y2.函数F(x,y)在平面各区域的表达式F(x,y)=0,x0或y0x2,0x1,y1x2y2,0x1,0y1.y2,x习题9设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=4.8y(2-x),0x1,xy10,其它,求边缘概率密度fY(y).解答：fX(x)=-+f(x,y)dy=0x4.8y(2-x)dy,0x10,其它=2.4x2(2-x),0x10,其它.fY(y)=-+f(x,y)dx=0y4.8y(2-x)dx,0y10,其它=2.4y(4y-y2),0y10,

4、其它.习题10设(X,Y)在曲线y=x2,y=x所围成的区域G里服从均匀分布，求联合分布密度和边缘分布密度.解答：区域G的面积A=01(x-x2)dx=16,由题设知(X,Y)的联合分布密度为f(x,y)=6,0x1,x2yx0,其它,从而fX(x)=-+f(x,y)dy=6x2xdy=6(x-x2),0x1,即fX(x)=6(x-x2),0x10,其它,fY(y)=-+f(x,y)dx=6yydx=6(y-y),0y1,即fY(y)=6(y-y),0y10,其它.3.2 条件分布与随机变量的独立性习题1二维随机变量(X,Y)的分布律为XY01017/157/307/301/15(1)求Y的边

5、缘分布律；(2)求PY=0X=0,PY=1X=0;(3)判定X与Y是否独立？解答：(1)由(x,y)的分布律知，y只取0及1两个值.Py=0=Px=0,y=0+Px=1,y=0=715+730=0.7Py=1=i=01Px=i,y=1=130+115=0.3.(2)Py=0x=0=Px=0,y=0Px=0=23,Py=1x=0=13.(3)已知Px=0,y=0=715,由(1)知Py=0=0.7,类似可得Px=0=0.7.因为Px=0,y=0Px=0Py=0,所以x与y不独立.习题2将某一医药公司9月份和8份的青霉素针剂的订货单分别记为X与Y. 据以往积累的资料知X和Y的联合分布律为XY515

6、253545551525354550.060.050.050.010.010.070.050.010.010.010.050.100.100.050.050.050.020.010.010.030.050.060.050.010.03(1)求边缘分布律;(2)求8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律.解答：(1)边缘分布律为X5152535455pk0.180.150.350.120.20对应X的值,将每行的概率相加,可得PX=i.对应Y的值(最上边的一行),将每列的概率相加，可得PY=j.Y5152535455pk0.280.280.220.090.13(2)当Y=51时,X的条件

7、分布律为PX=kY=51=PX=k,y=51PY=51=pk,510.28,k=51,52,53,54,55.列表如下:k5152535455PX=kY=516/287/285/285/285/28习题3已知(X,Y)的分布律如下表所示，试求：(1)在Y=1的条件下,X的条件分布律;(2)在X=2的条件下,Y的条件分布律.XY0120121/41/8001/301/601/8解答：由联合分布律得关于X,Y的两个边缘分布律为X012pk3/81/37/24Y012pk5/1211/241/8故(1)在Y=1条件下，X的条件分布律为X(Y=1)012pk3/118/110(2)在X=2的条件下，Y

8、的条件分布律为Y(X=2)012pk4/703/7习题4已知(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)=3x,0x1,0yx0,其它,求：(1)边缘概率密度函数；(2)条件概率密度函数.解答：(1)fX(x)=-+f(x,y)dy=3x2,0x10,其它,fY(y)=-+f(x,y)dx=32(1-y2),0y10,其它.(2)对y(0,1),fXY(xy)=f(x,y)fY(y)=2x1-y2,yx1,0,其它,对x(0,1),fYX(yx)=f(x,y)fX(x)=1x,0yx0,其它.习题5X与Y相互独立，其概率分布如表(a)及表(b)所示，求(X,Y)的联合概率分布，PX+Y=1,PX+Y0.X-2-101/2pi1/41/31/121/3表(a)Y-1/213pi1/21/41/4表(b)解答：由X与Y相互独立知