根与系数的关系练习题.doc

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一元二次方程根与系数的关系习题

主编：

闫老师

[准备知识回顾]：

1、一元二次方程的求根公式为。

2、一元二次方程根的判别式为：

（1）当时，方程有两个不相等的实数根。

（2）当时，方程有两个相等的实数根。

（3）当时，方程没有实数根。

反之：

方程有两个不相等的实数根，则；方程有两个相等的实数根，则；方程没有实数根，则。

[韦达定理相关知识]

1若一元二次方程有两个实数根，那么，。

我们把这两个结论称为一元二次方程根与系数的关系，简称韦达定理。

2、如果一元二次方程的两个根是，则，。

3、以为根的一元二次方程（二次项系数为1）是

4、在一元二次方程中，有一根为0，则；有一根为1，则；有一根为，则；若两根互为倒数,则；若两根互为相反数，则。

5、二次三项式的因式分解（公式法）

在分解二次三项式的因式时，如果可用公式求出方程的两个根，那么．如果方程无根,则此二次三项式不能分解.

[基础运用]

例1：

已知方程的一个根是1，则另一个根是，。

解：

变式训练：

1、已知是方程的一个根，则另一根和的值分别是多少？

2、方程的两个根都是整数，则的值是多少？

例2：

设是方程，的两个根，利用根与系数关系求下列各式的值：

（1）

（2）（3）（4）

变式训练：

1、已知关于的方程有实数根，求满足下列条件的值：

（1）有两个实数根。

（2）有两个正实数根。

（3）有一个正数根和一个负数根。

（4）两个根都小于2。

2、已知关于的方程。

（1）求证：

方程必有两个不相等的实数根。

（2）取何值时，方程有两个正根。

（3）取何值时，方程有两异号根，且负根绝对值较大。

（4）取何值时，方程到少有一根为零？

选用例题：

例3：

已知方程的两根之比为1：

2，判别式的值为1，则是多少？

例4、已知关于的方程有两个实数根，并且这两个根的平方和比两个根的积大16，求的值。

例5、若方程与有一个根相同，求的值。

基础训练：

1．关于的方程中，如果，那么根的情况是（）

（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根

（C）没有实数根（D）不能确定

2．设是方程的两根，则的值是（）

（A）15（B）12（C）6（D）3

3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（）

（A）2y2+5=6y（B）x2+5=2x（C）x2－x+2=0（D）3x2－2x+1=0

4．以方程x2＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）

（A）y2+5y－6=0（B）y2+5y＋6=0（C）y2－5y＋6=0（D）y2－5y－6=0

5．如果x1，x2是两个不相等实数，且满足x12－2x1＝1，x22－2x2＝1，

那么x1·x2等于（）

（A）2（B）－2（C）1（D）－1

6.关于x的方程ax2－2x＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（）

（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根

（C）没有实数根（D）不能确定

7.设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值是（）

（A）15（B）12（C）6（D）3

8．如果一元二次方程x2＋4x＋k2＝0有两个相等的实数根，那么k＝

9．如果关于x的方程2x2－（4k+1）x＋2k2－1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是

10．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根，则x1＋x2＝，x1·x2＝，（x1－x2）2＝

11．若关于x的方程（m2－2）x2－（m－2）x＋1＝0的两个根互为倒数，则m＝.

二、能力训练：

1、不解方程，判别下列方程根的情况：

（1）x2－x=5

（2）9x2－6+2=0（3）x2－x+2=0

2、当m=时，方程x2+mx+4=0有两个相等的实数根；

当m=时，方程mx2+4x+1=0有两个不相等的实数根；

3、已知关于x的方程10x2－（m+3）x+m－7=0，若有一个根为0，则m=，这时方程的另一个根是；若两根之和为－，则m=，这时方程的两个根为.

4、已知3－是方程x2+mx+7=0的一个根，求另一个根及m的值。

5、求证：

方程（m2+1）x2－2mx+（m2+4）=0没有实数根。

6、求作一个一元二次方程使它的两根分别是1－和1+。

7、设x1,x2是方程2x2+4x－3=0的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：

（1）（x1+1）（x2+1）

（2）+　　　（3）x12+x1x2+2x1

8、如果x2－2（m+1）x+m2+5是一个完全平方式，则m=;

9、方程2x（mx－4）=x2－6没有实数根，则最小的整数m=;

10、已知方程2（x－1）（x－3m）=x（m－4）两根的和与两根的积相等，则m=;

11、设关于x的方程x2－6x+k=0的两根是m和n，且3m+2n=20，则k值为;

12、设方程4x2－7x+3=0的两根为x1,x2，不解方程，求下列各式的值:

（1）x12+x22

（2）x1－x2　　（3）　（4）x1x22＋x1

13、实数ｓ、ｔ分别满足方程19ｓ2＋99ｓ＋1＝0和且19＋99ｔ＋ｔ2＝0求代数式的值。

14、已知a是实数，且方程x2+2ax+1=0有两个不相等的实根，试判别方程x2+2ax+1－（a2x2－a2－1）=0有无实根？

15、求证：

不论k为何实数，关于x的式子（x－1）（x－2）－k2都可以分解成两个一次因式的积。

16、实数K在什么范围取值时，方程有实数正根？

训练

（一）

1、不解方程，请判别下列方程根的情况；

（1）2t2+3t－4=0,;

（2）16x2+9=24x,;

（3）5（u2+1）－7u=0,;

2、若方程x2－（2m－1）x+m2+1=0有实数根，则m的取值范围是;

3、一元二次方程x2+px+q=0两个根分别是2+和2－，则p=,q=;

4、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，那么它的另一个根是，m=;

5、若方程x2+mx－1=0的两个实数根互为相反数，那么m的值是;

6、m,n是关于x的方程x2-（2m-1）x+m2+1=0的两个实数根，则代数式mn=。

7、已知关于x的方程x2－（k+1）x+k+2=0的两根的平方和等于6，求k的值;

8、如果α和β是方程2x2+3x－1=0的两个根，利用根与系数关系，求作一个一元二次方程，使它的两个根分别等于α+和β+;

9、已知a,b,c是三角形的三边长，且方程（a2+b2+c2）x2+2（a+b+c）x+3=0有两个相等的实数根，求证：

这个三角形是正三角形

10.取什么实数时，二次三项式2x2－（4k+1）x+2k2－1可因式分解.

11.已知关于X的一元二次方程ｍ2ｘ2＋2（3－ｍ）ｘ＋1＝0的两实数根为α,β，若ｓ＝＋，求ｓ的取值范围。

训练

（二）

1、已知方程x2－3x+1=0的两个根为α,β，则α+β=,αβ=;

2、如果关于x的方程x2－4x+m=0与x2－x－2m=0有一个根相同，则m的值为　　　;

3、已知方程2x2－3x+k=0的两根之差为2，则k=;

4、若方程x2+（a2－2）x－3=0的两根是1和－3，则a=;

5、方程4x2－2（a-b）x－ab=0的根的判别式的值是;

6、若关于x的方程x2+2（m－1）x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为;

7、已知p<0,q<0，则一元二次方程x2+px+q=0的根的情况是;

8、以方程x2－3x－1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是;

9、设x1,x2是方程2x2－6x+3=0的两个根，求下列各式的值：

（1）x12x2+x1x22

（2）－

10．m取什么值时，方程2x2－（4m+1）x+2m2－1=0

（1）有两个不相等的实数根，

（2）有两个相等的实数根，（3）没有实数根；

11．设方程x2+px+q=0两根之比为1:

2，根的判别式Δ=1，求p,q的值。

12．是否存在实数，使关于的方程的两个实根，满足＝，如果存在，试求出所有满足条件的的值，如果不存在，请说明理由。

一元二次方程根与系数关系专题训练

主编：

闫老师

1、如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是x1、x2，

那么x1+x2=，x1·x2=。

2、已知x1、x2是方程2x2+3x－4=0的两个根，

那么：

x1+x2=；x1·x2=；；x21+x22=；（x1+1）（x2+1）=；｜x1－x2｜=。

3、以2和3为根的一元二次方程（二次项系数为1）是。

4、如果关于x的一元二次方程x2+x+a=0的一个根是1－，那么另一个根是，a的值为。

5、如果关于x的方程x2+6x+k=0的两根差为2，那么k=。

6、已知方程2x2+mx－4=0两根的绝对值相等，则m=。

7、一元二次方程px2+qx+r=0（p≠0）的两根为0和－1，则q∶p=。

8、已知方程x2－mx+2=0的两根互为相反数，则m=。

9、已知关于x的一元二次方程（a2－1）x2－（a+1）x+1=0两根互为倒数，则a=。

10、已知关于x的一元二次方程mx2－4x－6=0的两根为x1和x2，且x1+x2=－2，则m=，（x1+x2）=。

11、已知方程3x2+x－1=0，要使方程两根的平方和为，那么常数项应改为。

12、已知一元二次方程的两