根的判别式与根与系数的关系专题.docx

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第4周根的判别式与韦达定理

典型例题：

例1、若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是。

例2、关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（）

A.B.C.D.

例3、已知关于x的方程

（1）求证：

无论k取何值时，方程总有实数根；

（2）若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。

例4、已知二次三项式是一个完全平方式，试求的值.

说明：

若二次三项式为一个完全平方式，则其相应方程的判别式

即：

若，则二次三项式为完全平方式；反之，若

为完全平方式，则.

例5、为何值时，方程组

有两个不同的实数解？

有两个相同的实数解？

针对练习：

★1、当k时，关于x的二次三项式是完全平方式。

★2、当取何值时，多项式是一个完全平方式？

这个完全平方式是什么？

★3、已知方程有两个不相等的实数根，则m的值是.

★★4、为何值时，方程组★★★5、当取何值时，方程

（1）有两组相等的实数解，并求此解；

（2）有两组不相等的实数解；的根与均为有理数？

（3）没有实数解.

跟踪训练：

一、填空题：

1、下列方程①；②；③；④中，无实根的方程是。

2、已知关于的方程有两个相等的实数根，那么的值是。

3、如果二次三项式在实数范围内总能分解成两个一次因式的积，则的取值范围是。

4、在一元二次方程中，若系数、可在1、2、3、4、5中取值，则其中有实数解的方程的个数是。

二、选择题：

1、下列方程中，无实数根的是（）

A、B、[来源:

学科网]C、D、

2、若关于的一元二次方程有两个不相等的实根，则的取值范围是（）

A、B、≤C、且≠2D、≥且≠2

3、在方程（≠0）中，若与异号，则方程（）

A、有两个不等实根B、有两个相等实根C、没有实根D、无法确定

三、试证：

关于的方程必有实根。

四、已知关于的方程的根的判别式为零，方程的一个根为1，求、的值。

五、已知关于的方程有两个不等实根，试判断直线能否通过A（－2，4），并说明理由。

六、已知关于的方程，问：

是否存在实数，使方程的两个实数根的平方和等于56？

若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。

七、已知＞0，关于的方程有两个相等的正实根，求的值。

一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）专题

计算对称式的值

例若是方程的两个根，试求下列各式的值：

（1）；

（2）； （3）； （4）．

说明：

利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

，，，

，，

等等．韦达定理体现了整体思想．

【课堂练习】

1．设x1，x2是方程2x2－6x＋3＝0的两根，则x12＋x22的值为_________

2．已知x1，x2是方程2x2－7x＋4＝0的两根，则x1＋x2＝，x1·x2＝，（x1－x2）2＝

3．已知方程2x2－3x+k=0的两根之差为2，则k=;

4．若方程x2+（a2－2）x－3=0的两根是1和－3，则a=;

5．若关于x的方程x2+2（m－1）x+4m2=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为;

6．设x1,x2是方程2x2－6x+3=0的两个根，7．已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，

求下列各式的值：

利用根与系数的关系，求下列各式的值：

（1）x12x2+x1x22

（2）－

例1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程的两根，则这个直角三角形的斜边是（） A.B.3C.6D.

说明：

要能较好地理解、运用一元二次方程根与系数的关系，必须熟练掌握、、、之间的运算关系.

例2、解方程组：

例3、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，

（1）求k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？

若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。

例4、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为1）时，小明因看错常数项，而得到解为8和2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9和-1。

你知道原来的方程是什么吗？

其正确解应该是多少？

例5、已知，，，求

变式：

若，，则的值为。

例6、已知是方程的两个根，那么.

针对练习：

1、解方程组2．已知，，

求的值。

3、已知是方程的两实数根，求的值。

根与系数关系的三大用处

（1）计算对称式的值

（2）构造新方程

理论：

以两个数为根的一元二次方程是。

例解方程组  解：

显然，x，y是方程z2-5z+6＝0①的两根

由方程①解得z1=2,z2=3∴原方程组的解为x1=2,y1=3或x2=3,y2=2

显然，此法比代入法要简单得多。

（3）定性判断字母系数的取值范围

例一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k的取值范围。

一元二次方程根与系数的关系练习题

A组

1．一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

2．若是方程的两个根，则的值为（ ）

A． B． C． D．

3．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于（ ）

A． B． C． D．

4．若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是（ ）

A． B． C． D．大小关系不能确定

5．若实数，且满足，则代数式的值为（ ）

A． B． C． D．

6．如果方程的两根相等，则之间的关系是______

7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是_______．

8．若方程的两根之差为1，则的值是_____．

9．设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则=_____，=_____．

10．已知实数满足，则=_____，=_____，=_____．

11．对于二次三项式，小明得出如下结论：

无论取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？

请您说明理由．

12．若，关于的方程有两个相等的的正实数根，求的值．

13．已知关于的一元二次方程．

（1）求证：

不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若方程的两根为，且满足，求的值．

14．已知关于的方程的两根是一个矩形两边的长．

（1）取何值时，方程存在两个正实数根？

（2）当矩形的对角线长是时，求的值．

B组

1．已知关于的方程有两个不相等的实数根．

（1）求的取值范围；

（2）是否存在实数，使方程的两实根互为相反数？

如果存在，求出的值；如果不存在，请您说明理由．

2．已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11．

求证：

关于的方程有实数根．

3．若是关于的方程的两个实数根，且都大于1．

（1）求实数的取值范围；

（2）若，求的值．