新人教版七年级数学培优训练辅导.doc

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新人教版七年级数学：

相交线与平行线培优训练

（一）

平行线是我们日常生活中非常常见的图形．练习本每一页中的横线直尺的上下两边、人行横道上的“斑马线”以及黑板框的对边、桌面的对边、教室墙壁的对边等等均是互相平行的线段．正因为平行线在生活中的广泛应用，因此有关它的基本知识及性质，为中学几何的基本知识．正因为平行线在几何理论中的基础性，平行线成为古往今来很多数学家非常重视的研究对象．历史上关于平行公理的三种假设，产生了三种不同的几何（罗巴切夫斯基几何、黎曼几何及欧几里得几何），它们在使人们认识宇宙空间中起着非常重要的作用．现行中学中所学的几何是属于欧几里得几何，它是建立在这样一个公理基础之上的：

“在平面中，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”．在此基础上，我们学习了两条平行线的判定定理及性质定理．下面我们举例说明这些知识的应用．

一、知识要点：

1.平面上两条不重合的直线，位置关系只有两种：

相交和平行。

2.两条不同的直线，若它们只有一个公共点，就说它们相交。

即，两条直线相交有且只有一个交点。

3.垂直是相交的特殊情况。

有关两直线垂直，有两个重要的结论：

（1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

（2）直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短。

4．两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，⑴如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做___________；⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做____________；⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_______________.

5．平行公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______.

推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________.

6．平行线的判定：

⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成：

_______________________.⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：

___________________________.⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：

_______________________.

7．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_______.

8．平行线的性质：

⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：

　＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：

__________

.⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：

__________________。

.

方法指导：

平行线中要理解平行公理，能熟练地找出“三线八角”图形中的同位角、内错角、同旁内角，并会运用与“三线八角”有关的平行线的判定定理和性质定理，利用平行公理及其推论证明或求解。

二、例题精讲

例1．如图

（1），直线a与b平行，∠1＝（3x+70）°,∠2=（5x+22）°,

求∠3的度数。

图

（1）

例2．已知：

如图

（2），AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°，

∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数。

图

（2）

图

（2）

例3．如图（3），已知AB∥CD，且∠B=40°，∠D=70°，求∠DEB的度数。

图（3）

例4．已知锐角三角形ABC的三边长为a，b，c，而ha，hb，hc分别为对应边上的高线长，

求证：

ha+hb+hc＜a+b+c

图（4）

例5．如图（4），直线AB与CD相交于O，EF^AB于F，GH^CD于H，

求证EF与GH必相交。

例6．平面上n条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点，有多少个不同交点？

例7．6个不同的点，其中只有3点在同一条直线上，2点确定一条直线，问能确定多少条直线？

例8．10条直线两两相交，最多将平面分成多少块不同的区域？

图（6）

例9．平面上n条直线两两相交，求证所成得的角中至少有一个角不大于

图（7）

例10．（a）请你在平面上画出6条直线（没有三条共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，并简单说明画法。

（b）能否在平面上画出7条直线（任意3条都不共点），使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交，如果能请画出一例，如果不能请简述理由。

图（8）

三、巩固练习

1．平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线（　　）条

A．6　B．7　　C．8　　D．9

2．平面上三条直线相互间的交点个数是　　　（　　）

A．3　　B．1或3　　C．1或2或3　　　D．不一定是1，2，3

3．平面上6条直线两两相交，其中仅有3条直线过一点，则截得不重叠线段共有（　　）

A．36条　　B．33条　　C．24条　　D．21条

4．已知平面中有个点三个点在一条直线上，四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这个点作一条直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时等于（）

（A）9（B）10（C）11（D）12

5．若平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交成如图示的图形，则共得同旁内角（　　）

A．4对　　B．8对　　C．12对　　D．16对

6．如图，已知FD∥BE，则∠1+∠2-∠3=（）

A．90°　　B．135°　　C．150°　　D．180°

第7题

7．如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，则∠E与∠F的大小关系；

8．平面上有5个点，每两点都连一条直线，问除了原有的5点之外这些直线最多还

有交点

9．平面上3条直线最多可分平面为个部分。

10．如图，已知AB∥CD∥EF，PS^GH于P，∠FRG=110°，则∠PSQ＝。

11．已知A、B是直线L外的两点，则线段AB的垂直平分线与直线的交点个数是。

12．平面内有4条直线，无论其关系如何，它们的交点个数不会超过个。

13．已知：

如图，DE∥CB，求证：

∠AED=∠A+∠B

14．已知：

如图，AB∥CD，求证：

∠B+∠D+∠F=∠E+∠G

15．如图，已知CB^AB，CE平分∠BCD，DE平分∠CDA，

∠EDC+∠ECD=90°，

求证：

DA^AB

七年级数学竞赛讲座平行线与相交线问题

（二）

一、例题精讲

例1：

如图1－18，直线a∥b，直线AB交a与b于A，B，

CA平分∠1，CB平分∠2，求证：

∠C=90°

．

例2：

如图1－21所示，AA1∥BA2求∠A1-∠B1+∠A2．

（2）这个问题也可以将条件与结论对换一下，变成一个新问题．

　问题1：

如图1－24所示．∠A1+∠A2=∠B1，问AA1与BA2是否平行？

　问题2：

如图1－25所示．若

∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn-1，问AA1与BAn是否平行？

这两个问题请同学加以思考．

例3：

如图1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C．

例4：

求证：

三角形内角之和等于180°．

例5：

求证：

四边形内角和等于360°．

发散思维：

人们不禁会猜想：

五边形内角和=（5-2）×180°=540°，

…………………………

n边形内角和=（n-2）×180°．

　　这个猜想是正确的，它们的证明在学过三角形内角和之后，证明将非常简单．

　　（3）在解题过程中，将一些表面并不相同的问题，从形式上加以适当变形，找到它们本质上的共同之处，将问题加以推广或一般化，这是发展人的思维能力的一种重要方法．

　　例6：

如图1－29所示．直线l的同侧有三点A，B，C，且AB∥l，BC∥l．求证：

A，B，C三点在同一条直线上．

发散思维：

若将问题加以推广：

在l的同侧有n个点A1，A2，…，An-1，An，且有AiAi+1∥l（i=1，2，…，n-1）．是否还有同样的结论？

例7：

如图1－30所示．∠1=∠2，∠D=90°，EF⊥CD．　求证：

∠3=∠B．

巩固练习：

　　1．如图1－31所示．已知AB∥CD，∠B=100°，EF平分∠BEC，EG⊥EF．求∠BEG和∠DEG．

　2．如图1－32所示．CD是∠ACB的平分线，∠ACB=40°，∠B=70°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度数．

3．如图1－33所示．AB∥CD，∠BAE=30°，∠DCE=60°，EF，EG三等分∠AEC．问：

EF与EG中有没有与AB平行的直线，为什么？

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