新人教版七年级下册数学平方根教案.doc

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如皋市江安镇滨江初级中学七年级数学备课组主备人：

张剑峰

课题6.1平方根（第1课时）

【教学目标】1．通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念；

2．会求非负数的算术平方根并会用符号表示．

【教学重点】算术平方根的概念和求法

【教学难点】算术平方根的求法

集体智慧

【活动方案】

个性调整

情境引入：

问题：

学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为的正方形画布，画上自己得意的作品参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？

活动一认识算术平方根

1.探索：

学生能根据已有的知识即正方形的面积公式：

边长的平方等于面积，求出正方形画布的边长为。

接下来教师可以再深入地引导此问题：

如果正方形的面积分别是1、9、16、36、，那么正方形的边长分别是多少呢？

学生会求出边长分别是1、3、4、6、，接下来教师可以引导性地提问：

上面的问题它们有共同点吗？

它们的本质是什么呢？

这个问题学生可能总结不出来，教师需加以引导。

上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题。

2.归纳：

⑴算术平方根的概念：

一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a那么这个正数x叫做a的算术平方根。

⑵算术平方根的表示方法：

a的算术平方根记为，读作“根号a”或“二次很号a”，a叫做被开方数。

活动二求非负数的算术平方根

例1、求下列各数的算术平方根：

⑴⑵⑶⑷⑸

解：

⑴因为所以的算术平方根是，即；

⑵因为，所以的算术平方根是，

即；

⑶因为，所以的算术平方根是，即；

⑷因为，所以的算术平方根是，即；

⑸因为，所以的算术平方根是，

即。

注：

①根据算术平方根的定义解题，明确平方与开平方互为逆运算；

②求带分数的算术平方根，需要先把带分数化成假分数，然后根据定义去求解；

③0的算术平方根是0.

由此例题教师可以引导学生思考如下问题：

你能求出－1,－36,－100的算术平方根吗？

任意一个负数有算术平方根吗？

归纳：

一个正数的算术平方根有1个；

0的算术平方根是0；

负数没有算术平方根.

即：

只有非负数有算术平方根，如果有意义，那么.

注：

且这一点对于初学者不太容易理解，教师不要强求，可以在以后的教学中慢慢渗透。

例2、求下列各式的值：

（1）

（2）（3）（4）

分析：

此题本质还是求几个非负数的算术平方根。

解：

（1）

（2）

（3）

（4）

例3、求下列各数的算术平方根：

⑴⑵⑶⑷

解：

（1）因为，所以；

⑵因为，所以；

⑶因为，

所以；

⑷因为，所以。

根据学生的学习能力和理解能力可进行如下总结：

1、由，，可得

2、由，，可得

教师需强调时对两种情况都成立.

课堂小结:

1、这节课学习了什么呢？

2、算术平方根的具体意义是怎么样的？

3、怎样求一个正数的算术平方根？

【课堂检测】

1．算术平方根等于本身的数有＿＿＿＿＿.

2．求下列各式的值.

，，，

3．求下列各数的算术平方根.

，，，，

4．已知求的值.

课题6.1平方根（第2课时）

【教学目标】1.了解无限不循环小数的特点；会用算术平方根的知识解决实际问题;

2.通过探究的大小，培养学生的估算意识，了解两个方向无限逼近的数

学思想.

【教学重点】认识无限不循环小数的特点，会估算一些数的算术平方根。

【教学难点】认识无限不循环小数的特点，会估算一些数的算术平方根。

集体智慧

【活动方案】

个性调整

活动一讨论的大小

怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？

如图，把两个小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形。

你知道这个大正方形的边长是多少吗？

设大正方形的边长为，则，由算术平方根的意义可知，

所以大正方形的边长为。

由上面的实验我们认识了，它的大小是多少呢？

它所表示的数有什么特征呢？

下面我们讨论的大小。

因为＜＜，所以＜＜.

因为，，所以＜＜。

因为，，所以＜＜

因为，，所以＜＜

……

如此进行下去，我们发现它的小数位数无限，且小数部分不循环，像这样的数我们成为无限不循环小数。

=……

注：

这种估算体现了两个方向向中间无限逼近的数学思想，学生第一次接触，不好理解，教师在讲解时速度要放慢，可能需要讲两遍。

=……，是个无限不循环小数，但是很抽象，没有办法全部表示出来它的大小，类似这样的数还有很多，比如等，圆周率π也是一个无限不循环小数。

活动二探索规律

大多数计算器都有“”键，用它可以求出一个有理数的算术平方根或近似值。

例1、用计算器求下列各式的值：

；（精确到

解：

（1）依次按键，显示：

56.所以

（2）依次按键2=，显示：

，这是一个近似值。

所以

注：

不同品牌的计算器，按键的顺序可能有所不同。

例2用计算器计算，，，的近似值.写出你发现的规律.你能利用发现的规律写出的值吗？

学生通过计算器可求出

（1）的答案，依次是：

。

从运算结果可以发现，被开方数扩大或缩小100倍时，它的算术平方根就扩大或缩小10倍。

由可得，由的值不能求出的值，因为规律是被开方数扩大或缩小100倍时，它的算术平方根才扩大或缩小10倍，而3到30扩大的是10倍，所以不能由此规律求出。

此题学生可独立完成。

活动三实际应用：

例1小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为：

，不知道能否裁出来，正在发愁，小明见了说：

“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片。

”你同意小明的说法吗？

小丽能否用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？

分析：

学生一般认为一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片。

通过计算和讲解纠正这种错误的认识。

解：

设长方形纸片的长为，宽为。

根据边长与面积的关系可得：

，，，

∴长方形纸片的长为。

因为﹥，所以﹥，从而﹥

即长方形纸片的长应该大于，而已知正方形纸片的边长只有，这样长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长。

答：

不能同意小明的说法。

小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片。

课堂小结：

1．被开方数增大或缩小时，其相应的算术平方根也相应地增大或缩小，因此我们可以利用夹值的方法来求出算术平方根的近似值；

2．利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的近似值；

3．被开方数扩大（或缩小）与它的算术平方根扩大（或缩小）的规律是怎样的呢？

4．怎样的数是无限不循环小数？

课堂检测

1.估计大小：

（1）与

（2）与

2.已知，求，，，的值。

课题6.1平方根（第3课时）

【教学目标】1.了解平方根的概念，会用根号表示正数的平方根；

2.了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根

【教学重点】了解开方和乘方互为逆运算，弄懂平方根与算术平方根的区别和联系.

【教学难点】平方根与算术平方根的区别和联系.

集体智慧

【活动方案】

个性调整

活动一思考归纳，引入概念

　　如果一个数的平方等于9，这个数是多少？

学生思考并讨论，使学生明白这样的数有两个，它们是3和－3。

受前面知识的影响学生可能不易想到－3这个数，这时可提醒学生，这里的这个数可以是负数。

注意（－3）2＝9中括号的作用。

　　又如：

x2＝，则x等于多少呢？

使学生完成课本165页的填表练习。

填表：

1

16

36

49

　　给出平方根的概念：

如果一个数的平方等于ａ，那么这个数就叫做ａ的平方根．即：

如果x2＝a，那么x叫做ａ的平方根。

　　求一个数的平方根的运算，叫做开平方。

　　例如：

±3的平方等于9，9的平方根是±3，所以平方与开平方互为逆运算。

　　观察：

课本45页中的图6．1－2。

　　图6．1－2中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程，揭示了开平方运算的本质。

　　让学生体验平方和开平方的互逆关系，并根据这个关系说出1，4，9的平方根。

　　注意：

这阶段主要是让学生建立平方根的概念，先不引入平方根的符号，给出的数是完全平方数。

　　例1（课本45页的例4）求下列各数的平方根：

（1）100；

（2）；（3）0．25.

　　建议：

教师要规范书写格式。

活动二讨论归纳，深化概念

按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题：

正数的平方根有什么特点？

0的平方根是多少？

负数有平方根吗？

　　建议：

可引导学生通过观察x2＝a中的a和x的取值范围和取值个数得出。

　注：

学生刚开始接触平方根时，有两点可能不太习惯，一个是正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，这与学生过去遇到的运算结果惟一的情况有所不同，另一个是负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算，这种某数不能进行某种运算的情况在有理数的加、减、乘、除、乘方五种运算中一般不会遇到（0作除数的情况除外）。

教学时，可以通过较多实例说明这两点，并在本节以后的教学中继续强化这两点。

引入符号：

正数a的算术平方根可用表示；正数a的负的平方根可用表示。

例如……

思考：

表示什么意思，这里的x可取什么样的数呢？

而对于－又该怎样理解呢？

这里的x又可取什么样的数呢？

活动三应用知识

例2下列各式是否有意义，为什么？

（1）；

（2）；（3）；（4）.

例3下列各数有平方根吗？

如果有，求出它的平方根；如果没有，说明理由。

　　－64，0，（－4）2，10－2

如果有要用平方根的符号来表示。

例4求下列各式的值：

（1）；

（2）；（3）.

建议：

要让学生明白各式所表示的意义；根据平方关系和平方根概念的格式书写解题格式．平方根和算术平方根的概念是本章重点内容，两者既有区别又有联系。

区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根，因此我们可以利用算术平方根来研究平方根。

小结：

　　什么叫做一个数的平方根？

正数，0，负数的平方根有什么规律？

怎样求出一个数的平方根？

数ａ的平方根怎样表示？

【课堂反馈】

1.判断下列说法是否正确:

（1）0的平方根是0；

（2）1的平方根是1；

（3）-1的平方根是-1；

（4）0.01的平方根是0.1的一个平方根.

2.填表：

8

-8

16

0.36

3.计算下列各式的值：

（1）；

（2）；（3）.

4.平方根概念的起源与几何中的正方形有关.如果一个正方形的面积为A，那么这个正方形的边长是多少？

课题6.2立方根

【教学目标】1.了解立方根的概念和表示方法；

2.会求一个数的立方根；

3.通过探讨一个数的立方根与它的相反数的立方根的关系，可以将求负数的立方根转化为求正数的立方根的问题，培养学生的转化思想.

【教学重点】立方根的概念和求法

【教学难点】立方根的求法。

集体智慧

【活动方案】

个性调整

情景引入：

要制作一种容积为的正方体形