教师版2013周矶中学专题复习二次函数与平行四边形.doc
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2013年中考数学专题复习二次函数与平行四边形
例１．（2012山西）综合与实践：
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A．B两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求直线AC的解析式及B．D两点的坐标；
（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：
随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点A．P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．
考点：
二次函数综合题。
解答：
解：
（1）当y=0时，﹣x2+2x+3=0，解得x1=﹣1，x2=3．
∵点A在点B的左侧，
∴A．B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）．
当x=0时，y=3．
∴C点的坐标为（0，3）
设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k1≠0），
则，
解得，
∴直线AC的解析式为y=3x+3．
∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）．
（2）抛物线上有三个这样的点Q，
①当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；
②当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1+，﹣3）；
③当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1﹣，﹣3）；
综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：
Q1（2，3），Q2（1+，﹣3），Q3（1﹣，﹣3）．
（3）点B作BB′⊥AC于点F，使B′F=BF，则B′为点B关于直线AC的对称点．连接B′D交直线AC与点M，则点M为所求，
过点B′作B′E⊥x轴于点E．
∵∠1和∠2都是∠3的余角，
∴∠1=∠2．
∴Rt△AOC～Rt△AFB，
∴，
由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，
∴AC=，AB=4．
∴，
∴BF=，
∴BB′=2BF=，
由∠1=∠2可得Rt△AOC∽Rt△B′EB，
∴，
∴，即．
∴B′E=，BE=，
∴OE=BE﹣OB=﹣3=．
∴B′点的坐标为（﹣，）．
设直线B′D的解析式为y=k2x+b2（k2≠0）．
∴，
解得，
∴直线B'D的解析式为：
y=x+，
联立B'D与AC的直线解析式可得：
，
解得，
∴M点的坐标为（，）．
22．（2012宜宾）如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：
y=x﹣5上．
（1）求抛物线顶点A的坐标；
（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C．D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；
（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A．B．D为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：
二次函数综合题。
解答：
解：
（1）∵顶点A的横坐标为x==1，且顶点A在y=x﹣5上，
∴当x=1时，y=1﹣5=﹣4，
∴A（1，﹣4）．
（2）△ABD是直角三角形．
将A（1，﹣4）代入y=x2﹣2x+c，可得，1﹣2+c=﹣4，∴c=﹣3，
∴y=x2﹣2x﹣3，∴B（0，﹣3）
当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，x1=﹣1，x2=3
∴C（﹣1，0），D（3，0），
BD2=OB2+OD2=18，AB2=（4﹣3）2+12=2，AD2=（3﹣1）2+42=20，
BD2+AB2=AD2，
∴∠ABD=90°，即△ABD是直角三角形．
（3）存在．
由题意知：
直线y=x﹣5交y轴于点A（0，﹣5），交x轴于点F（5，0）
∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3
∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形
∴BD∥l，即PA∥BD
则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，
过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线并交于点C
设P（x1，x1﹣5），则G（1，x1﹣5）
则PC=|1﹣x1|，AG=|5﹣x1﹣4|=|1﹣x1|
PA=BD=3
由勾股定理得：
（1﹣x1）2+（1﹣x1）2=18，x12﹣2x1﹣8=0，x1=﹣2，4
∴P（﹣2，﹣7），P（4，﹣1）
存在点P（﹣2，﹣7）或P（4，﹣1）使以点A．B．D．P为顶点的四边形是平行四边形．
25．（2012年四川省绵阳市）如图14所示，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax2++c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（-3，0），M（0，-1）。
已知AM=BC。
图14
图15
[1]求二次函数的解析式；
[2]证明：
在抛物线F上存
在点D，使A、B、C、D四
点连接而成的四边形恰好
是平行四边形，并请求出
直线BD的解析式；
[3]在[2]的条件下，设直
线l过D且分别交直线BA、
BC于不同的P、Q两点，
AC、BD相交于N。
①若直线l⊥BD，如图14所
示，试求[1/BP]+[1/BQ]的值；
②若l为满足条件的任意直线。
如图15所示，①中的结论还成立吗？
若成立，证明你的猜想；若不成立，请举出反例。
25．解：
[1]∵二次函数y=ax2+16x+c的图象经过点B[-3，0]，M[0，-1]，
∴，
解得a=1/6，c=-1。
∴二次函数的解析式为：
y=[x2/6]+[x/6]-1。
[2]由二次函数的解析式为：
y=[x2/6]+[x/6]-1，
令y=0，得[x2/6]+[x/6]-1=0，
解得x1=-3，x2=2，∴C[2，0），∴BC=5；
令x=0，得y=-1，∴M[0，-1]，OM=1。
又AM=BC，∴OA=AM-OM=4，∴A[0，4]。
设AD∥x轴，交抛物线于点D，如图1所示，
则yD=[x2/6]+[x/6]-1=OA=4，
解得x1=5，x2=-6[位于第二象限，舍去]
∴D点坐标为[5，4]。
∴AD=BC=5，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形。
即在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形。
设直线BD解析式为：
y=kx+b，∵B[-3，0]，D[5，4]，
∴，
解得：
k=1/2，b=3/2，
∴直线BD解析式为：
y=[x/2]+[3/2]。
[3]在Rt△AOB中，AB==5，又AD=BC=5，∴▱ABCD是菱形。
①若直线l⊥BD，如图14所示.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴AC∥直线l，
∴BA/BP=BC/BQ=BN/BD=1/2，
∵BA=BC=5，
∴BP=BQ=10，
∴1/BP+1/BQ=[1/10]+[1/10]=1/5；
②若l为满足条件的任意直线，如图15所示，此时①中的结论依然成立，理由如下：
∵AD∥BC，CD∥AB，
∴△PAD∽△DCQ，
∴AP/CD=AD/CQ，
∴AP•CQ=AD•CD=5×5=25。
∴[1/BP]+[1/BQ]=（1/[AB+AP]）+（1/[BC+CQ]）
=（1/[5+AP]）+（1/[5+CQ]）
=（[5+AP]+[5+CQ]）/（[5+AP][5+CQ]）
=10+AP+CQ25+5（AP+CQ）+AP•CQ
=[10+AP+CQ]/（50+5[AP+CQ]）
=1/5。
28．（四川成都2012年本小题满分l2分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（为常数）的图象与x轴交于点A（，0），与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线（为常数，且≠0）经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．
（1）求的值及抛物线的函数表达式；
（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由；
（3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于，两点，试探究是否为定值，并写出探究过程．
解：
（1）m=,
（2）.
（3）定值1
24．（二0一二年东营市本题满分11分）已知抛物线经过
A（2，0）．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．
（1）求b的值，求出点P、点B的坐标；
（2）如图，在直线y=x上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？
若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
A
P
B
x
y
O
（第24题图）
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB？
如果存在,试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由．
24．解：
（1）由于抛物线经过A（2，0），
所以，
解得.…………………………1分
所以抛物线的解析式为.（*）
将（*）配方，得，
所以顶点P的坐标为（4，-2）…………………………2分
令y=0，得，
解得.所以点B的坐标是（6，0）.………………3分
（2）在直线y=x上存在点D，使四边形OPBD为平行四边形.……4分
理由如下：
设直线PB的解析式为+b，把B（6,0）,P（4,-2）分别代入，得解得
A
P
B
x
y
O
第24题答案图
C
M
D
所以直线PB的解析式为.…………………………5分
又直线OD的解析式为
所以直线PB∥OD.…………………………6分
设设直线OP的解析式为，把P（4,-2）代入，得
解得.如果OP∥BD，那么四边形OPBD为平行四边形.…………7分
设直线BD的解析式为，将B（6,0）代入，得0=，所以
所以直线BD的解析式为，
解方程组得所以D点的坐标为（2,2）…………………8分
（3）符合条件的点M存在.验证如下：
过点P作x轴的垂线，垂足为为C，则PC=2，AC=2，由勾股定理，可得AP=4，PB=4，又AB=4，所以△APB是等边三角形，只要作∠PAB的平分线交抛物线于M点，连接PM,BM,由于AM=AM,∠PAM=∠BAM,AB=AP，可得△AMP≌△AMB.因此即存在这样的点M,使△AMP≌△AMB.…………………………11分
26.（2012丹东）已知抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（-1,0），O是坐标原点，且．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）直接写出直线BC的函数表达式；
（3）如图1，D为y轴的负半轴上的一点，且OD=2，以OD为边作正方形ODEF.将正方形ODEF以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向移动，在运动过程中，设正方形ODEF与△OBC重叠部分的面积为s，运动的时间为t秒（0＜t≤2）.
求：
①s与t之间的函数关系式；
②在运动过程中，s是否存在最大值？
如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由．
A
B
C
D
E
F
O
x
y
（4）如图2，点P（1，k）在直线BC上，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、N、P为顶点的平行四边形？
若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由.
y
x
O
B
A
P
C
图1
图2
第26题图
G
D1
E1
F1
O1
H
A
B
C
D
E
F
O
x
y
26.解
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