教师版2013周矶中学专题复习二次函数与平行四边形.doc

1、2013年中考数学专题复习二次函数与平行四边形例（2012山西）综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x+3与x轴交于AB两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点（1）求直线AC的解析式及BD两点的坐标；（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线lAC交抛物线于点Q，试探究：随着P点的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以点AP、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）请在直线AC上找一点M，使BDM的周长最小，求出M点的坐标考点：二次函数综合题。解答：解：（1）当y=0时，x2+2x+3=0，解得x1=1，x2=3点A在

2、点B的左侧，AB的坐标分别为（1，0），（3，0）当x=0时，y=3C点的坐标为（0，3）设直线AC的解析式为y=k1x+b1（k10），则，解得，直线AC的解析式为y=3x+3y=x2+2x+3=（x1）2+4，顶点D的坐标为（1，4） （2）抛物线上有三个这样的点Q，当点Q在Q1位置时，Q1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q1的坐标为（2，3）；当点Q在点Q2位置时，点Q2的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q2坐标为（1+，3）；当点Q在Q3位置时，点Q3的纵坐标为3，代入抛物线解析式可得，点Q3的坐标为（1，3）；综上可得满足题意的点Q有三个，分别为：Q1（2，3），Q2（1+，3），Q3（1

3、，3） （3）点B作BBAC于点F，使BF=BF，则B为点B关于直线AC 的对称点连接BD交直线AC与点M，则点M为所求，过点B作BEx轴于点E1和2都是3的余角，1=2RtAOCRtAFB，由A（1，0），B（3，0），C（0，3）得OA=1，OB=3，OC=3，AC=，AB=4，BF=，BB=2BF=，由1=2可得RtAOCRtBEB，即BE=，BE=，OE=BEOB=3=B点的坐标为（，）设直线BD的解析式为y=k2x+b2（k20），解得，直线BD的解析式为：y=x+，联立BD与AC的直线解析式可得：，解得，M点的坐标为（，）22（2012宜宾）如图，抛物线y=x22x+c的顶点A在直

4、线l：y=x5上（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点CD（C点在D点的左侧），试判断ABD的形状；（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、ABD为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题。解答：解：（1）顶点A的横坐标为x=1，且顶点A在y=x5上，当x=1时，y=15=4，A（1，4）（2）ABD是直角三角形将A（1，4）代入y=x22x+c，可得，12+c=4，c=3，y=x22x3，B（0，3）当y=0时，x22x3=0，x1=1，x2=3C（1，0），D（3，0），BD2=OB2+OD2=18，AB2=

5、（43）2+12=2，AD2=（31）2+42=20，BD2+AB2=AD2，ABD=90，即ABD是直角三角形（3）存在由题意知：直线y=x5交y轴于点A（0，5），交x轴于点F（5，0）OE=OF=5，又OB=OD=3OEF与OBD都是等腰直角三角形BDl，即PABD则构成平行四边形只能是PADB或PABD，如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线并交于点C设P（x1，x15），则G（1，x15）则PC=|1x1|，AG=|5x14|=|1x1|PA=BD=3由勾股定理得：（1x1）2+（1x1）2=18，x122x18=0，x1=2，4P（2，7），P（4，1）存在点P（2，7）或P

6、（4，1）使以点ABDP为顶点的四边形是平行四边形25(2012年四川省绵阳市)如图14所示，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax2+c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（-3，0），M（0，-1）。已知AM=BC。图14图151求二次函数的解析式；2证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式；3在2的条件下，设直线l过D且分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N。若直线lBD，如图14所示，试求1/BP+1/BQ的值；若l为满足条件的任意直线。如图15所示，中的结论还

7、成立吗？若成立，证明你的猜想；若不成立，请举出反例。25解：1二次函数y=ax2+1 6 x+c的图象经过点B-3，0，M0，-1，解得a=1/6 ，c=-1。二次函数的解析式为：y=x2/6+x/6-1。2由二次函数的解析式为：y=x2/6+x/6-1，令y=0，得x2/6+x/6-1=0，解得x1=-3，x2=2，C2，0），BC=5；令x=0，得y=-1，M0，-1，OM=1。又AM=BC，OA=AM-OM=4，A0，4。设ADx轴，交抛物线于点D，如图1所示，则yD=x2/6+x/6-1=OA=4，解得x1=5，x2=-6位于第二象限，舍去D点坐标为5，4。AD=BC=5，又ADBC，

8、四边形ABCD为平行四边形。即在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形。设直线BD解析式为：y=kx+b，B-3，0，D5，4，解得：k=1/2 ，b=3/2，直线BD解析式为：y=x/2+3/2。3在RtAOB中，AB=5，又AD=BC=5，ABCD是菱形。若直线lBD，如图14所示.四边形ABCD是菱形，ACBD，AC直线l，BA/BP=BC/BQ=BN/BD=1/2，BA=BC=5，BP=BQ=10，1/BP+1/BQ=1/10+1/10=1/5；若l为满足条件的任意直线，如图15所示，此时中的结论依然成立，理由如下：ADBC，CDAB，PADDCQ，A

9、P/CD=AD/CQ，APCQ=ADCD=55=25。1/BP+1/BQ=（1/AB+AP）+（1/BC+CQ）=（1/5+AP）+（1/5+CQ）=（5+AP+5+CQ）/（5+AP5+CQ）=10+AP+CQ 25+5(AP+CQ)+APCQ =10+AP+CQ/（50+5AP+CQ）=1/5。28(四川成都2012年本小题满分l2分) 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 (为常数)的图象与x轴交于点A(，0)，与y轴交于点C以直线x=1为对称轴的抛物线 ( 为常数，且0)经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B （1）求的值及抛物线的函数表达式； （2）设E是y轴右侧抛物线上一点，

10、过点E作直线AC的平行线交x轴于点F是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在，请说明理由； （3）若P是抛物线对称轴上使ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于 ，两点，试探究 是否为定值，并写出探究过程解：（1）m=,(2).(3)定值124（二0一二年东营市本题满分11分）已知抛物线经过A（2，0） 设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B（1）求b的值，求出点P、点B的坐标；（2）如图，在直线 y=x上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在

11、，请说明理由；APBxyO（第24题图）（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使AMPAMB？如果存在,试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由 24解：（1）由于抛物线经过A（2，0），所以，解得.1分所以抛物线的解析式为. （*）将（*）配方，得，所以顶点P的坐标为（4，-2）2分令y=0，得，解得. 所以点B的坐标是（6，0）. 3分（2）在直线 y=x上存在点D，使四边形OPBD为平行四边形. 4分理由如下：设直线PB的解析式为+b，把B（6,0）,P(4,-2)分别代入，得 解得APBxyO第24题答案图CMD 所以直线PB的解析式为.5分 又直线OD的解析式为 所以直线PBOD

12、. 6分 设设直线OP的解析式为，把P(4,-2)代入，得 解得.如果OPBD，那么四边形OPBD为平行四边形.7分设直线BD的解析式为，将B(6,0)代入，得0=，所以所以直线BD的解析式为，解方程组得所以D点的坐标为（2,2）8分 （3）符合条件的点M存在.验证如下：过点P作x轴的垂线，垂足为为C，则PC=2，AC=2，由勾股定理，可得AP=4，PB=4，又AB=4，所以APB是等边三角形，只要作PAB的平分线交抛物线于M点，连接PM,BM,由于AM=AM, PAM=BAM,AB=AP，可得AMPAMB.因此即存在这样的点M,使AMPAMB.11分26.(2012丹东)已知抛物线 与y轴交

13、于C点，与x轴交于A、B两点，点A的坐标是（-1,0），O是坐标原点，且（1）求抛物线的函数表达式； （2）直接写出直线BC的函数表达式；（3）如图1，D为y轴的负半轴上的一点，且OD=2，以OD为边作正方形ODEF.将正方形ODEF以每秒1个单位的速度沿x轴的正方向移动，在运动过程中，设正方形ODEF与OBC重叠部分的面积为s，运动的时间为t秒（0t2）.求：s与t之间的函数关系式； 在运动过程中，s是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由ABCDEFOxy（4）如图2，点P（1，k）在直线BC上，点M在x轴上，点N在抛物线上，是否存在以A、M、N、P为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M点坐标；若不存在，请说明理由.yxOBAPC 图1图2第26题图GD1E1F1O1HABCDEFOxy26.解