圆有关的经典计算题型.doc

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2013年中考数学专题复习第二十五讲与圆有关的计算

【基础知识回顾】

一、正多边形和圆：

1、各边相等，也相等的多边形是正多边形

2、每一个正多边形都有一个外接圆，外接圆的圆心叫正多边形的外接圆的半径叫正多边形的一般用字母R表示，每边所对的圆心角叫用α表示，中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的用r表示

3、每一个正几边形都被它的半径分成一个全等的三角形，被它的半径和边心距分成一个全等的三角形

【名师提醒：

正多边形的有关计算，一般是放在一个等腰三角形或一个直角三角形中进行，根据半径、边心距、边长、中心角等之间的边角关系作计算，以正三角形、正方形和正方边形为主】

二、弧长与扇形面积计算：

Qo的半径为R，弧长为l，圆心角为n2，扇形的面积为s扇，则有如下公式：

L=

S扇==

【名师提醒：

1、以上几个公式都可进行变形，

2、原公式中涉及的角都不带学位

3、扇形的两个公式可根据已知条件灵活进行选择

4、圆中的面积计算常见的是求阴影部分的面积，常用的方法有：

⑴则图形面积的和与差⑵割补法⑶等积变形法⑷平移法⑸旋转法等】

三、圆柱和圆锥：

1、如图：

设圆柱的高为l,底面半径为R

则有：

⑴S圆柱侧=

⑵S圆柱全=

⑶V圆柱=

2、如图：

设圆锥的母线长为l，底面半径为R

高位h，则有：

⑴S圆柱侧=、

⑵S圆柱全=

⑶V圆柱=

【名师提醒：

1、圆柱的高有条，圆锥的高有条

2、圆锥的高h，母线长l，底高半径R满足关系

3、注意圆锥的侧面展开圆中扇形的半径l是圆锥的扇形的弧长是圆锥的

4、圆锥的母线为l，底面半径为R，侧面展开图扇形的圆心角度数为n若l=2r，则n=c=3r,则n=c=4r则n=】

【典型例题解析】

考点一：

正多边形和圆

例1（2012•咸宁）如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．B．C．D．

考点：

正多边形和圆．

分析：

由于六边形ABCDEF是正六边形，所以∠AOB=60°，故△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，OG=OA•sin60°，再根据S阴影=S△OAB-S扇形OMN，进而可得出结论．

解答：

解：

∵六边形ABCDEF是正六边形，

∴∠AOB=60°，

∴△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，

设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，

∴OG=OA•sin60°=2×=，

∴S阴影=S△OAB-S扇形OMN=×2×-．

故选A．

点评：

本题考查的是正多边形和圆，根据正六边形的性质求出△OAB是等边三角形是解答此题的关键．

对应训练

1．（2012•安徽）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为（　　）

A．2a2B．3a2C．4a2D．5a2

考点：

正多边形和圆；等腰直角三角形；正方形的性质．

分析：

根据正八边形的性质得出∠CAB=∠CBA=45°，进而得出AC=BC=a，再利用正八边形周围四个三角形的特殊性得出阴影部分面积即可．

解答：

解：

∵某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，

∴AB=a，且∠CAB=∠CBA=45°，

∴sin45°===，

∴AC=BC=a，

∴S△ABC=×a×a=，

∴正八边形周围是四个全等三角形，面积和为：

×4=a2．

正八边形中间是边长为a的正方形，

∴阴影部分的面积为：

a2+a2=2a2，

故选：

A．

点评：

此题主要考查了正八边形的性质以及等腰直角三角形的性质，根据已知得出S△ABC的值是解题关键．

考点二：

圆周长与弧长

例2（2012•北海）如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，则顶点A所经过的路径长为（　　）

A．10πB．C．D．π

考点：

弧长的计算；勾股定理．

专题：

网格型．

分析：

由题意可知点A所经过的路径为以C为圆心，CA长为半径，圆心角为60°的弧长，故在直角三角形ACD中，由AD及DC的长，利用勾股定理求出AC的长，然后利用弧长公式即可求出．

解答：

解：

如图所示：

在Rt△ACD中，AD=3，DC=1，

根据勾股定理得：

AC==，

又将△ABC绕点C顺时针旋转60°，

则顶点A所经过的路径长为l=π．

故选C

点评：

此题考查了弧长公式，以及勾股定理，解本题的关键是根据题意得到点A所经过的路径为以C为圆心，CA长为半径，圆心角为60°的弧长．

对应训练

3.（2012•广安）如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°．若Rt△ABC由现在的位置向右滑动地旋转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为

（结果用含有π的式子表示）

考点：

弧长的计算；旋转的性质．

分析：

根据含30度的直角三角形三边的关系得到BC=1，AB=2BC=2，∠ABC=60°；点A先是以B点为旋转中心，顺时针旋转120°到A1，再以点C1为旋转中心，顺时针旋转90°到A2，然后根据弧长公式计算两段弧长，从而得到点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长．

解答：

解：

∵Rt△ABC中，AC=，∠ACB=90°，∠A=30°，

∴BC=1，AB=2BC=2，∠ABC=60°；

∵Rt△ABC在直线l上无滑动的翻转，且点A第3次落在直线l上时，有3个的长，2个的长，

∴点A经过的路线长=×3+×2=（4+）π．

故答案为：

（4+）π．

点评：

本题考查了弧长公式：

l=（其中n为圆心角的度数，R为半径）；也考查了旋转的性质以及含30度的直角三角形三边的关系．

考点三：

扇形面积与阴影部分面积

例3（2012•毕节地区）如图，在正方形ABCD中，以A为顶点作等边△AEF，交BC边于E，交DC边于F；又以A为圆心，AE的长为半径作．若△AEF的边长为2，则阴影部分的面积约是（　　）

（参考数据：

≈1.414，≈1.732，π取3.14）

A．0.64B．1.64C．1.68D．0.36

考点：

扇形面积的计算；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形；正方形的性质．

专题：

探究型．

分析：

先根据直角边和斜边相等，证出△ABE≌△ADF，得到△ECF为等腰直角三角形，求出S△ECF、S扇形AEF、S△AEF的面积，S△ECF-S弓形EGF即可得到阴影部分面积．

解答：

解：

∵AE=AF，AB=AD，

∴△ABE≌△ADF（Hl），

∴BE=DF，

∴EC=CF，

又∵∠C=90°，

∴△ECF是等腰直角三角形，

∴EC=EFcos45°=2×=，

∴S△ECF=××=1，

又∵S扇形AEF=π22=π，S△AEF=×2×2sin60°=×2×2×=，

又∵S弓形EGF=S扇形AEF-S△AEF=π-，

∴S阴影=S△ECF-S弓形EGF=1-（π-）≈0.64．

故选A．

点评：

本题考查了扇形面积的计算，全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形、正方形的性质，将阴影部分面积转化为S△ECF-S弓形EGF是解题的关键．

对应训练

3.（2012•内江）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30°，CD=2，则阴影部分图形的面积为（　　）

A．4πB．2πC．πD．

考点：

扇形面积的计算；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形．

专题：

数形结合．

分析：

连接OD，则根据垂径定理可得出CE=DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，代入扇形的面积公式求解即可．

解答：

解：

连接OD．

∵CD⊥AB，

∴CE=DE=CD=（垂径定理），

故S△OCE=S△CDE，

即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，

又∵∠CDB=30°，

∴∠COB=60°（圆周角定理），

∴OC=2，

故S扇形OBD==，即阴影部分的面积为．

故选D．

点评：

此题考查了扇形的面积计算、垂径定理及圆周角定理，解答本题关键是根据图形得出阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，另外要熟记扇形的面积公式．

考点四：

圆柱、圆锥的侧面展开图

例4（2012•永州）如图，已知圆O的半径为4，∠A=45°，若一个圆锥的侧面展开图与扇形OBC能完全重合，则该圆锥的底面圆的半径为

．

考点：

圆锥的计算；圆周角定理．

分析：

首先求得扇形的圆心角BOC的度数，然后求得扇形的弧长，利用弧长等于圆的底面周长求得圆锥的底面圆的半径即可．

解答：

解：

∵∠A=45°，

∴∠BOC=90°

∴扇形BOC的弧长为=2π，

设圆锥的底面半径为r，则2πr=2π

解得r=1，

故答案为1．

点评：

本题考查了圆锥的计算，解题的关键是正确的进行圆锥的有关元素和扇形的有关元素之间的转化．

对应训练

7．（2012•襄阳）如图，从一个直径为4dm的圆形铁皮中剪出一个圆心角为60°的扇形ABC，并将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径为

dm．

考点：

圆锥的计算．

分析：

圆的半径为2，那么过圆心向AC引垂线，利用相应的三角函数可得AC的一半的长度，进而求得AC的长度，利用弧长公式可求得弧BC的长度，圆锥的底面圆的半径=圆锥的弧长÷2π．

解答：

解：

作OD⊥AC于点D，连接OA，

∴∠OAD=30°，AC=2AD，

∴AC=2OA×cos30°=6

∴=2π

∴圆锥的底面圆的半径=2π÷（2π）=1．

故答案为：

1．

点评：

考查圆锥的计算；用的知识点为：

圆锥的侧面展开图弧长等于圆锥的底面周长；难点是得到扇形的半径．

【聚焦山东中考】

1．（2012•日照）如图，在4×4的正方形网格中，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AB′C′，则的长为（　　）

A．πB．C．7πD．6π

考点：

弧长的计算；旋转的性质．

专题：

网格型．

分析：

根据图示知∠BAB′=45°，所以根据弧长公式l=求得的长．

解答：

解：

根据图示知，∠BAB′=45°，

∴的长为：

=π．

故选A．

点评：

本题考查了弧长的计算、旋转的性质．解答此题时采用了“数形结合”是数学思想．

2.（2012•临沂）如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为（　　）

A．1B．C．D．2

考点：

扇形面积的计算；等边三角形的判定与性质；三角形中位线定理．

专题：

探究型．

分析：

首先证明△ABC是等边三角形．则△EDC是等边三角形，边长是2．而和弦BE围成的部分的面积=和弦DE围成的部分的面积．据此即可求解．

解答：

解：

连接AE，

∵AB是直径，

∴∠AEB=90°，

又∵∠BED=120°，

∴∠AED=30°，

∴∠AOD=2∠AED=60°．

∵OA=OD

∴△AOD是等边三角形，

∴∠A=60°，

∵点E为BC的中点，∠AEB=90°，

∴AB=AC，

∴△ABC是等边三角形，边长是4．△EDC是等边三角形，边长是2．

∴∠BOE=∠EOD=60°，

∴和弦BE围成的部分的面积=和弦DE围成的部分的面积．

∴阴影部分的面积=S△EDC=×22=．

故选C．

点评：

本题考查了等边三角形的面积的计算，证明△EDC是等边三角形，边长是4．理解和弦BE围成的部分的面积=和弦DE围成的部分的面积是关键．

3．（2012•德州）如图，“凸轮”的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧