图形的相似复习.doc

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图形的相似

知识梳理

一、比例线段

1．比例线段的定义

在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即__________________，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称__________．

2．比例线段的基本性质

＝⇔ad＝bc.

3．黄金分割

把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的__________，叫做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点.

二、相似多边形

1．定义

对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做________，相似比为1的两个多边形全等．

2．性质

（1）相似多边形的对应角________，对应边成________；

（2）相似多边形周长的比等于________；（3）相似多边形面积的比等于__________．

三、相似三角形

1．定义

各角对应________，各边对应成________的两个三角形叫做相似三角形．

2．判定

（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与________相似；

（2）两角对应________，两三角形相似；

（3）两边对应成________且夹角________，两三角形相似；

（4）三边对应成________，两三角形相似；

（5）斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．

3．性质

（1）相似三角形的对应角________，对应边成________；

（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于________；

（3）相似三角形周长的比等于________；

（4）相似三角形面积的比等于____________．

四、位似变换与位似图形

1．定义

取定一点O，把图形上任意一点P对应到射线OP（或它的反向延长线）上一点P′，使得线段OP′与OP的______等于常数k（k＞0），点O对应到它自身，这种变换叫做位似变换，点O叫做________，常数k叫做________，一个图形经过位似变换得到的图形叫做与原图形位似的图形．

2．性质

两个位似的图形上每一对对应点都与位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上对应点到位似中心的距离之比等于________．

3．画位似图形的步骤

（1）确定位似________；

（2）连接图形各顶点与位似中心的线段（或延长线）；（3）按位似比进行取点；（4）顺次连接各点，所得的图形就是所求图形．

命题点1　比例线段

1.若＝，则＝__________．

2.如图，直线a∥b∥c，点B是线段AC的中点，若DE＝2，则EF＝________．

第2题图第3题图第4题图

命题点2　

3.如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　）

A.∠ABD＝∠ACBB.∠ADB＝∠ABC.AB2＝AD·ACD.＝

4.如图，在△ABC中，DE∥BC，DB＝2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为（　　）A.3B.5C.6D.8

5.如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是（　　）

A.B.C.D.

第5题图第6题图

6.如图，已知∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是________________________．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）

7.若△ABC与△DEF相似且面积之比为25∶16，则△ABC与△DEF的周长之比为________．

8.如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD.已知∠ABD＝∠C，AB＝6，AD＝4.求线段CD的长．

9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．

（1）求证：

△BDE∽△BAC；

（2）已知AC＝6，BC＝8，求线段AD的长度．

命题点3　相似三角形的实际应用

10.如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点O，此时O点与竹竿的距离OD＝6m，竹竿与旗杆的距离DB＝12m，则旗杆AB的高为________m.

第10题图图1）　　　,图2）

11．已知，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4.点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P.

（1）当点P在线段AB上时，求证：

△APQ∽△ACB.

（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．

12．如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，

下列结论：

①=；②=；③=；④=

其中正确的个数有个

13．如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP＝BM，连接NP，BP.

（1）求证：

四边形BMNP是平行四边形．

（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？

请说明理由．

相似三角形的基本类型

知识点1.“A”型、“X”型、“反A”型、“反X”型：

例1.如图，在中，，点从点出发，以每秒的速度向运动，点从点出发，以每秒的速度向运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也停止运动，设运动时间为.

（1）用含的代数式表示的长度；

（2）当为何值时，以为顶点的三角形与相似.

知识点2.“M”型：

例2.如图，点在一条直线上，，求证：

.

知识点3.“母子”型、“射影”型：

例3.如图，在中，，若，求的长.

基础训练：

一、解答题：

1.如图，点为□边延长线上的一点，连结，交于，若，，

，求的长和□的周长.

2.如图，在正方形中，点在上，于，求证：

.

3.如图，在矩形中，，点分别从点三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点的速度均为，点的速度为，当追上时，三个点随之停止移动，设移动时，的面积为.

（1）当时，求的值；

（2）求与之间的函数解析式，并指出自变量的取值范围；（3）若点在矩形的边上移动，当为何值时，以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似，并说明理由.

二．相似三角形的应用

知识点1.相似三角形的性质：

例1.如图，在正方形中，是上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点.

（1）；

（2）若，求的长.

知识点2.相似三角形的应用：

例2.一块材料的形状是锐角，边，高，把它加工成矩形零件，使得长方形的一边在上，其余两个顶点分别在上.

（1）求证：

；

（2）设，矩形的面积为，求关于的函数关系式.

知识点3.函数中的相似三角形：

例3.如图，□的一边，若的长是的一元二次方程的两个根，.

（1）求直线的解析式；

（2）若为轴上的点，且，求经过的直线的解析式，并判断与是否相似，并说明理由；（3）若点在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点，使得以为顶点的四边形是菱形，若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由.

基础训练：

一、解答题：

1.将一盒足量的牛奶按如图1所示倒入一个水平放置的长方体容器中，当容器中的牛奶刚好接触到点时，停止倒入，图2是它的平面示意图，，请根据图中信息，求出容器中牛奶的高度.

2.如图，小华在晚上由路灯走向路灯，当他走到点时，发现身后他的影子的顶端刚好接触路灯的底部，当他向前再走到达时，发现身后他的影子的顶部刚好接触到路灯的底部，小明的身高，两路灯的高，且.

（1）求两路灯之间的距离；

（2）当他走到路灯时，求他在路灯下的影长.

3.如图，平分，，为的中点.

（1）求证：

；

（2）求证：

；（3）若，求.

三．重点题型总结

题型一有关比例线段的计算

1、已知a、b、c为的三边，且求的三边长。

2.已知，则一次函数与坐标轴围成的图形的面积是多少？

题型二证明比例式或等积式

Ø如果比例式或等积式中的四条线段分布在两个三角形内，想办法证明两个三角形相似。

3、如图所示，AD、CE是的高，AD和CE相交于点F，请证明：

A

D

E

C

B

F

Ø做平行线，构建相似三角形或寻找比例线段。

A

D

E

C

B

P

4、已知，如图，在中，，在边AB上取点D，在边AC上取点E，使，连接DE并延长，和BC的延长线交于点P，求证：

。

Ø等线段代换或等比线段代换。

5、如图所示，在梯形中，，G是BC边上的任意一点，且，请证明：

。

A

D

F

C

B

G

P

E

题型三实际应用问题

6、如图所示是圆桌上方的灯泡（可看做一个点）发出的光线照射桌面后在地面上形成的阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为1.2m，桌面距离地面1m，若灯泡距离地面3m，则地面上阴影部分的面积是多少？

A

D

E

C

B

7、如图所示，有一块三角形形状的铁板，其中，现要在边上确定两点D、E，然后沿DE将上面部分剪去，使剩下的四边形BDEC为梯形，且DE=15cm，如何确定点D和点E的位置？

8、（湖北恩施中考）宽与长之比为的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调、匀称的美感。

如图所示，如果在一个黄金矩形里画一个正方形，那么留下的矩形还是黄金矩形吗？

请证明你的结论。

A

D

E

C

B

F

9、如图，已知△ABC与△A1B1C1是位似图形，找出位似中心.

C

A

B

C1

B1

A1

题型四相似三角形判定与性质的综合题

10、如图所示，在等腰梯形中，，，P为下底BC上一点（不与点B、C重合），连接AP，过点P做PE交CD或其延长线于点E，使得.

（1）求等腰梯形的腰AB的长。

（2）试说明∽。

A

D

C

B

P

E

（3）在底边BC上是否存在一点P，使得如果存在，求BP的长；如果不存在，请说明理由。

11、已知和是两个等腰直角三角形，，的顶点E位于边BC的中点上。

（1）如图所示，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：

∽。

A

D

E

C

B

F

M

N

（1）

A

B

C

E

D

F

M

N

（2）

（2）如图所示，将绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，连接MN，于是，除

（1）中的一对相似三角形和∽外，能否再找出一对相似三角形？

并证明你的结论。

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