图形变换对称.知识精讲(2014-2015).doc

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对称

中考大纲

中考内容

中考要求

A

B

C

图形的轴对称

了解图形的轴对称和轴对称图形，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质

能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；掌握简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；掌握基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性及其相关性质

能运用轴对称的知识解决简单问题

知识网络图

知识精讲

一、轴对称与轴对称图形：

1、轴对称：

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。

2、轴对称图形：

如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

【注意】对称轴是直线而不是线段

3、轴对称的性质：

（1）关于某条直线对称的两个图形是全等形；

（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；

（3）两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上；

（4）如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

二、线段垂直平分线：

1、定义：

垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。

2、性质：

线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；

3、判定：

到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

【注意】1、据线段垂直平分线的这一特性可以推出：

三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。

2、垂直平分线中线段的中点的特殊性，常需要分类讨论．

三、角的平分线：

1、定义：

把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线.

2、性质：

在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

3、判定：

到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.

【注意】根据角平分线的性质，三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.

3、角分线常见辅助线

（1）往角两边作垂线

用角平分线上的点往角两边作垂线，这是常用的辅助线，可以利用边角边构造全等

（2）往角两边截取相等的线段

在角两边截取相等的线段，这也是角平分线常用的辅助线，常用于解决线段和差问题

（3）：

过角平分线上的点作垂线

过角平分线上的点作垂线，常用于构造三线合一，构造等腰三角形

（4）：

过角平分线上的点作角一边的平行线

可以构造等腰三角形，可以记作口诀：

“角平分线+平行线，等角三角形现。

【注意】往角两边作垂线或平行线、及截取等线段，或用四点共圆

四、等腰三角形的性质与判定：

1、对称性：

等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴，或底边上的高所在的直线是它的对称轴，或顶角的平分线所在的直线是它的对称轴；

2、三线合一：

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；

3、等边对等角：

等腰三角形的两个底角相等。

【注意】等腰三角形的性质除“三线合一”外，三角形中的主要线段之间也存在着特殊的性质，如：

1、等腰三角形两底角的平分线相等；

2、等腰三角形两腰上的中线相等；

3、等腰三角形两腰上的高相等；

4、等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等。

4、判定定理：

如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：

等角对等边）。

5、等边三角形的性质：

（1）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°；

（2）等边三角形具有等腰三角形的所有性质，并且在每条边上都有“三线合一”。

因此等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，而等腰三角形（非等边三角形）只有一条对称轴。

6、判定定理：

有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

【注意】等边三角形是一种特殊的三角形，容易知道等边三角形的三条高（或三条中线、三条角平分线）都相等。

解题方法技巧

1、见等腰构造三线合一．

2、见垂直平分线构造等腰三角形．

3、角分线辅助线技巧．

4、四大轴对称模型：

线段和最大最小问题、线段差最大最小问题、三角形周长最小问题，四边形周长最小问题

类型一、线段和最大最小问题

类型二、线段差最大最小问题

1、最小

2、最大

【变形】异侧时，也可以问：

在直线上是否存在一点使的直线为的角平分线

类型三、三角形周长最短

1、2、

类型四、四边形周长最短

1、2、过桥类型3、

轴对称秘籍：

①作中垂线然后作对称，构造轴对称图形②等腰三角形、角分线模型是天然的轴对称模型

③对称轴是对称点的连线的中垂线

易错点辨析

1、把轴对称与轴对称图形的概念、中心对称与中心对称图形的概念混淆．

2、把轴对称与全等混淆．

3、找轴对称图形的对称轴不全、不准．

4、在解有关等腰三角形问题时，没有进行分类讨论，造成漏解．

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