四边形与证明(经典难题).doc

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第八部分  图形与证明

知识点的把握

    新的课程标准对图形与证明提出了如下要求：

1.了解证明的含义.

（1）理解证明的必要性;

（2）通过具体的例子，了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件（题设）和结论;（3）结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立;（4）通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的;（5）通过实例，体会反证法的含义;（6）掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据.

2.掌握以下基本事实，作为证明的依据.

（1）一条直线截两条平行直线所得的同位角相等;

（2）两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平行;（3）若两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别相等，则这两个三角形全等;（4）全等三角形的对应边、对应角分别相等.

3.利用2中的基本事实证明下列命题.

（1）平行线的性质定理（内错角相等、同旁内角互补）和判定定理（内错角相等或同旁内角互补，则两直线平行）;

（2）三角形的内角和定理及推论（三角形的外角等于不相邻的两内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角）;（3）直角三角形全等的判定定理;（4）角平分线性质定理及逆定理；三角形的三条角平分线交于一点（内心）;（5）垂直平分线性质定理及逆定理；三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）;（6）三角形中位线定理;（7）等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理;（8）平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理.

4.通过对欧几里得《原本》的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值.

命题方向

    经过对近几年各地的中考试题来看，直接考查本章知识的试题约占10%，普遍由圆结合其他的知识点进行考查.在主客观题中均有出现，往往是综合运用方程、函数、三角形、相似形等知识解决与圆有关的中考压轴题.除了考查几何图形的性质和应用外，还常常与应用问题、实际问题结合，对学生的探究能力和创新思维能力进行综合考查.

纵观近三年的中考命题，可以预见：

用几何图形的性质、判定考查学生的逻辑推理的能力、分析和解决问题的能力、以及创新意识和实际能力.因此，考查分类讨论思想、数形结合思想以及运用观察、想象、综合、比较、演绎、归纳、抽象、概括、类比等数学方法.

考试重点

一、几何图形的性质定理、判定定理的应用

    本考点为基本图形的性质定理和判定定理的应用，我们要明确的基础知识有：

平行线的性质定理和判定定理、三角形的内角和定理及推论、直角三角形全等的判定定理、角平分线性质定理及逆定理、垂直平分线性质定理及逆定理、三角形中位线定理、等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理.

    中考过程中，几何证明是必考的范围.其中是以基本图形的性质和判定定理为主.结合各方面的知识点，考虑辅助线的做法，运用综合分析法来找出条件和结论之间的关系，提高学生的解题能力、分析能力、研究探索能力.对于几何证明的题目应首先从基本知识入手，关注辅助线的做法，总结方法，积累经验，在看图和识图方面不断创新，不断提高.

【例1】已知：

如图8-1，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G.

（1）求证：

△ADE≌△CBF；

（2）若四边形 BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？

并证明你的结论.

图8-1                                图8-2

分析：

结合图形可以看出△ADE与△CBF全等的条件只差AE=CF，从而可以证明.

证明：

（1）如图8-2，∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠1=∠C，AD=CB，AB=CD.

∵点E、F分别是AB、CD的中点，

∴AE=AB，CF=CD.

∴AE=CF.

∴△ADE≌△CBF.

（2）当四边形BEDF是菱形时，

四边形 AGBD是矩形.如图8-2.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC.

∵AG∥BD，

∴四边形 AGBD是平行四边形.

∵四边形 BEDF是菱形，

∴DE=BE.

∵AE=BE，

∴AE=BE=DE.

∴∠1=∠2，∠3=∠4.

∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，

∴2∠2+2∠3=180°.

∴∠2+∠3=90°.

即∠ADB=90°.

∴四边形AGBD是矩形.

【例2】已知:

在⊙O中，CD平分∠ACB，弦AB、CD相交于点E，连结AD、BD.

图8-3

（1）写出图8-3中3对相似的三角形；

（2）找出图8-3中相等的线段，并说出理由.

解析：

由图可以看出:

△ACE∽△DBE，△AED∽△BEC，△ADE∽△CDA.

同时还可以看到AD=BD.

证明：

∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴AD=BD.

【例3】已知：

在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q.

（1）求四边形AQMP的周长；

（2）写出图8-4中的两对相似三角形（不需证明）；

图8-4

（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？

说明你的理由.

分析：

结合图形的有关性质，可以证明四边形AQMP为矩形，故其周长为2a.

解：

（1）∵PM∥AB，QM∥AC

∴四边形AQMP为平行四边形

且∠1=∠C，∠2=∠B，

又∵AB=AC=a.

∴∠B=∠C，

∴∠1=∠B=∠C=∠2.

∴QB=QM，PM=PC.

∴四边形AQMP的周长为：

AQ+QM+MP+PA=AP+QB+PC+PA=AB+AC=2a；

（2）△ABC∽△QBM∽△PMC；（三对中写出任意两对即可）

（3）如图8-5当M为底边BC的中点时，四边形AQMP为菱形.理由：

当M为BC中点时.

图8-5

∵PM∥AB.QM∥AC.

∴PM=AB=.

QM=AC=.

∴PM=QM.

由

（1）知：

四边形AQMP为平行四边形.

∴四边形AQMP为菱形.

二、与圆有关的综合证明

    本考点为圆的有关性质和圆中的一些定理、判定的基本应用.这是整个初中数学的核心之一.往往作为中考的压轴题，主要考查的数学思想很多：

数形结合的思想、分类讨论的思想、转化化归的思想，以及观察、想象、分析、综合、比较、演绎、归纳、抽象、概括等数学方法.

    与圆有关的证明多数是结合三角形、四边形、相似形、函数等知识为主的压轴题.以“提供新材料，创设新情境，提出新问题”等新题型较多.在解题方法中要做到稳中有变、变中求新、新中求好的思想.充分发挥学生的能力.

【例4】如图8-6，已知：

C是以AB为直径的半圆O上一点，CH⊥AB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.

（1）求证：

点F是BD中点；

（2）求证：

CG是⊙O的切线；

（3）若FB=FE=2，求⊙O的半径.

图8-6                                  图8-7

分析：

通过观察图形结合圆中的基础知识，运用相似三角形的性质、切线的判定方法以及直角三角形中的勾股定理，可以证明线段相等、切线及有关线段的长度.

（1）证明：

∵CH⊥AB，DB⊥AB，∴△AEH∽AFB，△ACE∽△ADF.

∴，∵HE=EC，∴BF=FD.

（2）证明：

方法一：

如图8-7连接CB、OC，

∵AB是直径，∴∠ACB=90°.∵F是BD中点，∴FC=BD=FB.

∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO.

∴∠OCF=90°,∴CG是⊙O的切线.

方法二：

可证明△OCF≌△OBF.

（3）解：

由FC=FB=FE得：

∠FCE=∠FEC.

可证得：

FA=FG，且AB=BG.

由切割线定理得：

（2+FG）2=BG×AG=2BG2.                            ①

在Rt△BGF中，由勾股定理得：

BG2=FG2-BF2,                        ②

由①②得：

FG2-4FG-12=0,

解之得：

FG1=6，FG2=-2（舍去）.

∴AB=BG=.

∴⊙O半径为2.

【例5】已知：

⊙O1与⊙O2相交于点A、B，过点B作CD⊥AB，分别交⊙O1和⊙O2于点C、D.

（1）如图8-8

（1），求证：

AC是⊙O1的直径；

（2）若AC=AD，如图8-8

（2），连结BO2、O1O2，求证：

四边形O1C BO2是平行四边形；

②若点O1在⊙O2外，延长O2O1交⊙O1于点M，在劣弧上任取一点E（点E与点B不重合）.EB的延长线交优弧于点F，如图8-8（3）所示.连结 AE、AF.则AE________ AB（请在横线上填上“≥、≤、＜、＞”这四个不等号中的一个＝并加以证明.

（1）                         

（2）                            （3）

图8-8

证明：

（1）∵ CD⊥AB，

∴∠ABC=90°

∴ AC是⊙O1的直径 .

（2）①证明1：

∵ CD⊥AB，∴∠ABD=90°.

∴AD是⊙O2的直径.

∵AC=AD.

∵CD⊥AB，∴CB=BD.

∵ O1、O2分别是AC、AD的中点.

∴ O1O2∥CD且 O1O2=CD=CB.

∴四边形O1CBO2是平行四边形.

证明2：

∵ CD⊥AB，∴∠ABD=90°.

∴AD是⊙O2的直径.

∵ AC=AD.

∵ CD⊥AB，∴CB=BD.

∵B、O2分别是CD、AD的中点.

∴BO2∥AC且 BO2=AC=O1C，

∴四边形O1CBO2是平行四边形.

证明3：

∵ CD⊥AB，∴∠ABD=90°.

∴AD是⊙O2的直径.

∵ O1、O2分别是AC、AD的中点.

∴ O1O2∥CD.

∵ CD⊥AB，∴ CB=BD.

∴ B是CD的中点.

∴O2B∥O1C.

∴四边形O1CBO2是平行四边形.

证明4：

∵CD⊥AB，∴∠ABD=90°.

∴AD是⊙O2的直径.

∵AC=AD.

∴ O1C=O2B.

∴∠C=∠D.

∵ O2B=O2D，

∴∠O2BD=∠D.

∴∠C=∠O2BD.

∴O2B∥O1C.

∴四边形O1CBO2是平行四边形.

② AE＞AB

证明1：

当点E在劣弧上（不与点C重合）时，

∵AC=AD，

∴∠ACD=∠ADC，

∴∠AEB=∠ACD=∠ADC=∠AFB，

∴AE=AF.

记AF交BD为G  ∵AB⊥CD，

∴ AF＞AG＞AB，

当点E与点C重合时，AE=AC＞AB，

当点E在劣弧上 （不与点B重合）时，设AE交CD与H，

AE＞AH＞AB

综上，AE＞AB.

证明2：

当点E在劣弧上（不与点C重合）时，

连结EC、DF，∵ AD是⊙O2的直径，即∠AFD=90°.

∠EAC=∠EBC=∠DBF=∠DAF.

∵ AC=AD  直角△AFD≌直角△AEC.

∴ AE=AF.

证明3：

当点E在劣弧上（不与点C重合）时，

连结EC、DF，∵ AD是⊙O2的直径，即∠AFD=90°.

∵∠DBF=∠DAF.  ∴∠ADF+∠DBF=90°.

又∵∠DBF=∠EBC.  ∠ABE+∠EBC=90°.

∴∠ADF=∠ABE.

∵∠ABE=∠ACE.  ∴∠ADF=∠ACE.

∵AC=AD，∴直角△AFD≌直角△AEC.

∴AE=AF.

【例6】如图8-9，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且AC⊥BD顺次连接