四边形与证明(经典难题).doc

1、第八部分图形与证明知识点的把握新的课程标准对图形与证明提出了如下要求：1.了解证明的含义.(1)理解证明的必要性;(2)通过具体的例子，了解定义、命题、定理的含义，会区分命题的条件(题设)和结论;(3)结合具体例子，了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立;(4)通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的;(5)通过实例，体会反证法的含义;(6)掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据.2.掌握以下基本事实，作为证明的依据.(1)一条直线截两条平行直线所得的同位角相等;(2)两条直线被第三条直线所截，若同位角相等，那么这两条直线平

2、行;(3)若两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边，或三边)分别相等，则这两个三角形全等;(4)全等三角形的对应边、对应角分别相等.3.利用2中的基本事实证明下列命题.(1)平行线的性质定理(内错角相等、同旁内角互补)和判定定理(内错角相等或同旁内角互补，则两直线平行);(2)三角形的内角和定理及推论(三角形的外角等于不相邻的两内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角);(3)直角三角形全等的判定定理;(4)角平分线性质定理及逆定理；三角形的三条角平分线交于一点(内心);(5)垂直平分线性质定理及逆定理；三角形的三边的垂直平分线交于一点(外心);(6)三角形中位线定理;(7)等腰三

3、角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理;(8)平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理.4.通过对欧几里得原本的介绍，感受几何的演绎体系对数学发展和人类文明的价值.命题方向经过对近几年各地的中考试题来看，直接考查本章知识的试题约占10%，普遍由圆结合其他的知识点进行考查.在主客观题中均有出现，往往是综合运用方程、函数、三角形、相似形等知识解决与圆有关的中考压轴题.除了考查几何图形的性质和应用外，还常常与应用问题、实际问题结合，对学生的探究能力和创新思维能力进行综合考查.纵观近三年的中考命题，可以预见：用几何图形的性质、判定考查学生的逻辑推理的能力、分析和解决问题的能力、以

4、及创新意识和实际能力.因此，考查分类讨论思想、数形结合思想以及运用观察、想象、综合、比较、演绎、归纳、抽象、概括、类比等数学方法.考试重点一、几何图形的性质定理、判定定理的应用本考点为基本图形的性质定理和判定定理的应用，我们要明确的基础知识有：平行线的性质定理和判定定理、三角形的内角和定理及推论、直角三角形全等的判定定理、角平分线性质定理及逆定理、垂直平分线性质定理及逆定理、三角形中位线定理、等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定定理、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定定理.中考过程中，几何证明是必考的范围.其中是以基本图形的性质和判定定理为主.结合各方面的知识点，考

5、虑辅助线的做法，运用综合分析法来找出条件和结论之间的关系，提高学生的解题能力、分析能力、研究探索能力.对于几何证明的题目应首先从基本知识入手，关注辅助线的做法，总结方法，积累经验，在看图和识图方面不断创新，不断提高.【例1】已知：如图8-1，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AGDB交CB的延长线于G.(1)求证：ADECBF；(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论.图8-1图8-2分析：结合图形可以看出ADE与CBF全等的条件只差AE=CF，从而可以证明.证明：(1)如图8-2，四边形ABCD是平行四边形，1=C，AD=CB，

6、AB=CD.点E、F分别是AB、CD的中点，AE=AB，CF=CD.AE=CF.ADECBF.(2)当四边形BEDF是菱形时，四边形AGBD是矩形.如图8-2.四边形ABCD是平行四边形，ADBC.AGBD，四边形AGBD是平行四边形.四边形BEDF是菱形，DE=BE.AE=BE，AE=BE=DE.1=2，3=4.1+2+3+4=180，22+23=180.2+3=90.即ADB=90.四边形AGBD是矩形.【例2】已知:在O中，CD平分ACB，弦AB、CD相交于点E，连结AD、BD.图8-3(1)写出图8-3中3对相似的三角形；(2)找出图8-3中相等的线段，并说出理由.解析：由图可以看出:

7、ACEDBE，AEDBEC，ADECDA.同时还可以看到AD=BD.证明：CD平分ACB，ACD=BCD，AD=BD.【例3】已知：在ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长；(2)写出图8-4中的两对相似三角形(不需证明)；图8-4(3)M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.分析：结合图形的有关性质，可以证明四边形AQMP为矩形，故其周长为2a.解：(1)PMAB，QMAC四边形AQMP为平行四边形且1=C，2=B，又AB=AC=a.B=C，1=B=C=2.QB=QM，PM=PC

8、.四边形AQMP的周长为：AQ+QM+MP+PA=AP+QB+PC+PA=AB+AC=2a；(2)ABCQBMPMC；(三对中写出任意两对即可)(3)如图8-5当M为底边BC的中点时，四边形AQMP为菱形.理由：当M为BC中点时.图8-5PMAB.QMAC.PM=AB=.QM=AC=.PM=QM.由(1)知：四边形AQMP为平行四边形.四边形AQMP为菱形.二、与圆有关的综合证明本考点为圆的有关性质和圆中的一些定理、判定的基本应用.这是整个初中数学的核心之一.往往作为中考的压轴题，主要考查的数学思想很多：数形结合的思想、分类讨论的思想、转化化归的思想，以及观察、想象、分析、综合、比较、演绎、归

9、纳、抽象、概括等数学方法.与圆有关的证明多数是结合三角形、四边形、相似形、函数等知识为主的压轴题.以“提供新材料，创设新情境，提出新问题”等新题型较多.在解题方法中要做到稳中有变、变中求新、新中求好的思想.充分发挥学生的能力.【例4】如图8-6，已知：C是以AB为直径的半圆O上一点，CHAB于点H，直线AC与过B点的切线相交于点D，E为CH中点，连接AE并延长交BD于点F，直线CF交直线AB于点G.(1)求证：点F是BD中点；(2)求证：CG是O的切线；(3)若FB=FE=2，求O的半径.图8-6图8-7分析：通过观察图形结合圆中的基础知识，运用相似三角形的性质、切线的判定方法以及直角三角形中

10、的勾股定理，可以证明线段相等、切线及有关线段的长度.(1)证明：CHAB，DBAB，AEHAFB，ACEADF.，HE=EC，BF=FD.(2)证明：方法一：如图8-7连接CB、OC，AB是直径，ACB=90.F是BD中点，FC=BD=FB.BCF=CBF=90-CBA=CAB=ACO.OCF=90,CG是O的切线.方法二：可证明OCFOBF.(3)解：由FC=FB=FE得：FCE=FEC.可证得：FA=FG，且AB=BG.由切割线定理得：(2+FG)2=BGAG=2BG2.在RtBGF中，由勾股定理得：BG2=FG2-BF2,由得：FG2-4FG-12=0,解之得：FG1=6，FG2=-2(

11、舍去).AB=BG=.O半径为2.【例5】已知：O1与O2相交于点A、B，过点B作CDAB，分别交O1和O2于点C、D.(1)如图8-8(1)，求证：AC是O1的直径；(2)若AC=AD，如图8-8(2)，连结BO2、O1O2，求证：四边形O1CBO2是平行四边形；若点O1在O2外，延长O2O1交O1于点M，在劣弧上任取一点E(点E与点B不重合). EB的延长线交优弧于点F，如图8-8(3)所示.连结AE、AF.则AE_AB(请在横线上填上“、”这四个不等号中的一个并加以证明.(1)(2)(3)图8-8证明：(1)CDAB，ABC=90AC是O1的直径.(2)证明1：CDAB，ABD=90.A

12、D是O2的直径.AC=AD.CDAB，CB=BD.O1、O2分别是AC、AD的中点.O1O2CD且O1O2=CD=CB.四边形O1C BO2是平行四边形.证明2：CDAB，ABD=90.AD是O2的直径.AC=AD.CDAB，CB=BD.B、O2分别是CD、AD的中点.BO2AC且BO2=AC=O1C，四边形O1C BO2是平行四边形.证明3：CDAB，ABD=90.AD是O2的直径.O1、O2分别是AC、AD的中点.O1O2CD.CDAB，CB=BD.B是CD的中点.O2BO1C.四边形O1C BO2是平行四边形.证明4：CDAB，ABD=90.AD是O2的直径.AC=AD.O1C=O2B.

13、C=D.O2B=O2D，O2B D=D .C=O2B D.O2BO1C.四边形O1C BO2是平行四边形.AEAB证明1：当点E在劣弧上(不与点C重合)时，AC=AD，ACD=ADC，AEB=ACD=ADC=AFB，AE=AF.记AF交BD为GABCD，AFAGAB，当点E与点C重合时，AE=ACAB，当点E在劣弧上(不与点B重合)时，设AE交CD与H，AEAHAB综上，AEAB.证明2：当点E在劣弧上(不与点C重合)时，连结EC、DF，AD是O2的直径，即AFD=90.EAC=EBC=DBF=DAF.AC=AD直角AFD直角AEC.AE=AF.证明3：当点E在劣弧上(不与点C重合)时，连结EC、DF，AD是O2的直径，即AFD=90.DBF=DAF.ADF+DBF=90.又DBF=EBC.ABE+EBC=90.ADF=ABE.ABE=ACE.ADF=ACE.AC=AD，直角AFD直角AEC.AE=AF.【例6】如图8-9，四边形ABCD中，AC=6，BD=8且ACBD顺次连接