【巩固】在函数()的图像上取三点、、,由这三点分别向轴、轴作垂线,设矩形、、的面积分别为、、,试比较三者大小.
☞反比例函数与方程的思想
【例4】已知点在函数()的图像上,矩形的边在轴上,是对角线的中点,函数()的图像经过、两点,若,求点的坐标.
模块二反比例函数与面积的综合
1.若所求图形面积是规则图形,则可以按照相应图形的面积公式直接计算
2.若所求图形面积是不规则图形,则采用割补法
3.转化面积时,注意观察是否需要使用反比例函数的几何意义
☞一般面积问题
【例5】在平面直角坐标系中,函数(,常数)的图象经过点(1,2),(,),(),过点作轴的垂线,垂足为.若的面积为2,求点的坐标.
【巩固】如图,直线与反比例函数的图象相交于点、点,与轴交于点,其中点的坐标为,点的横坐标为.
(1)试确定反比例函数的关系式;
(2)求的面积.
【例6】如图,点、是双曲线上的点,分别经过、两点向轴、轴作垂线段,若,则=
【巩固】如图,在反比例函数()的图象上,有点,,,它们的横坐标依次为1,2,3,4.分别过这些点作轴与轴的垂线,图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为,,,求.
【例7】如图,已知正方形的面积为9,点为坐标原点,点在轴上,点在轴上,点在函数(,)的图像上,点(,)为其双曲线上的任一点,过点分别作轴、轴的垂线,垂足分别为、,并设矩形和正方形不重合部分的面积为.
⑴求点的坐标和的值;
⑵当时,求点坐标;
⑶写出关于的函数关系式.
【巩固】如图,反比例函数的图象过矩形的顶点,、分别在轴、轴的正半轴上,.
(1)设矩形的对角线交于点,求出点的坐标;
(2)若直线平分矩形面积,求的值.
【巩固】如图,点、在反比例函数()的图象上,且点、的横坐标分别为和()轴,垂足为,的面积为.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)若点(,),(,)也在反比例函数的图象上,试比较与的大小;
(3)求的面积.
模块三反比例函数与其他几何问题
☞反比例函数与等腰三角形
1.涉及一般等腰三角形存在性的问题,注意需要分类讨论,
2.如果有等腰直角三角形或者等边三角形,注意考虑它的特殊性质
【例8】如图,已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于两点,.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式;
(2)在轴上是否存在点,使为等腰三角形?
若存在,请你直接写出点的坐标;若不存在,请说明理由.
【例9】如图,、都是等腰直角三角形,点、在函数()的图像上,斜边、、都在轴上,求点的坐标.
课堂检测
1.如图,已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点,且点的横坐标和点的纵坐标都是
⑴求一次函数解析式
⑵的面积
2.如图,正方形,的顶点、、在坐标轴上,点在上,点、在函数的图象上,则点的坐标是
课后作业
1.已知反比例函数和一次函数,其中一次函数的图象经过、两点
⑴求反比例函数的解析式
⑵如图,已知点在第一象限且同时在上述两个函数的图象上,求点坐标;
⑶利用⑵的结果,请问:
在轴上是否存在点,使为等腰三角形?
若存在,把符合条件的点坐标都求出来;若不存在,请说明理由。
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