历年中考数学压轴题精选精析.doc

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25．（2010广东广州，25，14分）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线＝－＋交折线OAB于点E．

（1）记△ODE的面积为S，求S与的函数关系式；

（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.

C

D

B

A

E

O

【分析】

（1）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；②如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积；

（2）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化．

图1

【答案】

（1）由题意得B（3，1）．

若直线经过点A（3，0）时，则b＝

若直线经过点B（3，1）时，则b＝

若直线经过点C（0，1）时，则b＝1

①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图25-a，

图2

此时E（2b，0）

∴S＝OE·CO＝×2b×1＝b

②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2

此时E（3，），D（2b－2，1）

图3

∴S＝S矩－（S△OCD＋S△OAE＋S△DBE）

＝3－[（2b－1）×1＋×（5－2b）·（）＋×3（）]＝

∴

（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积。

本题答案由无锡市天一实验学校金杨建老师草制！

由题意知，DM∥NE，DN∥ME，∴四边形DNEM为平行四边形

根据轴对称知，∠MED＝∠NED

又∠MDE＝∠NED，∴∠MED＝∠MDE，∴MD＝ME，∴平行四边形DNEM为菱形．

过点D作DH⊥OA，垂足为H，

由题易知，tan∠DEN＝，DH＝1，∴HE＝2，

设菱形DNEM的边长为a，

则在Rt△DHM中，由勾股定理知：

，∴

∴S四边形DNEM＝NE·DH＝

∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．

【涉及知识点】轴对称四边形勾股定理

【点评】本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．

【推荐指数】★★★★★

（10浙江嘉兴）24．如图，已知抛物线y＝－x2＋x＋4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B．

（1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式；

（2）设P（x，y）（x＞0）是直线y＝x上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围；

（3）在

（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值．

（10重庆潼南）26.（12分）如图,已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；

（3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.

（10重庆潼南）26.解：

（1）∵二次函数的图像经过点A（2，0）C（0,－1）

∴

解得：

b=－c=－1-------------------2分

∴二次函数的解析式为--------3分

（2）设点D的坐标为（m，0）（0＜m＜2）

∴OD=m∴AD=2-m

由△ADE∽△AOC得，--------------4分

∴

∴DE=-----------------------------------5分

∴△CDE的面积=××m

==

当m=1时，△CDE的面积最大

∴点D的坐标为（1，0）--------------------------8分

（3）存在由

（1）知：

二次函数的解析式为

设y=0则解得：

x1=2x2=－1

∴点B的坐标为（－1，0）C（0，－1）

设直线BC的解析式为：

y=kx＋b

∴解得：

k=-1b=-1

∴直线BC的解析式为:

y=－x－1

在Rt△AOC中，∠AOC=900OA=2OC=1

由勾股定理得：

AC=

∵点B（－1,0）点C（0，－1）

∴OB=OC∠BCO=450

①当以点C为顶点且PC=AC=时，

设P（k,－k－1）

过点P作PH⊥y轴于H

∴∠HCP=∠BCO=450

CH=PH=∣k∣在Rt△PCH中

k2+k2=解得k1=，k2=－

∴P1（，－）P2（－，）---10分

②以A为顶点，即AC=AP=

设P（k,－k－1）

过点P作PG⊥x轴于G

AG=∣2－k∣GP=∣－k－1∣

在Rt△APG中AG2＋PG2=AP2

（2－k）2+（－k－1）2=5

解得：

k1=1,k2=0（舍）

∴P3（1,－2）----------------------------------11分

③以P为顶点，PC=AP设P（k,－k－1）

过点P作PQ⊥y轴于点Q

PL⊥x轴于点L

∴L（k,0）

∴△QPC为等腰直角三角形

PQ=CQ=k

由勾股定理知

CP=PA=k

∴AL=∣k-2∣,PL=｜－k－1｜

在Rt△PLA中

（k）2=（k－2）2＋（k＋1）2

解得：

k=∴P4（,－）------------------------12分

综上所述：

存在四个点：

P1（，－）

P2（-，）P3（1,－2）P4（,－）

（10四川宜宾）24．（本题满分l2分）将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（–3，0）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当

△APE的面积最大时，求点P的坐标；

（3）在第一象限内的该抛物线上是否存在点G，使△AGC的面积与

（2）中△APE的最

大面积相等?

若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．

24题图

（10浙江宁波）26、如图1、在平面直角坐标系中，O是坐标原点，□ABCD的顶点A的坐标为（－2，0），点D的坐标为（0，），点B在轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线与轴交于点F，与射线DC交于点G。

（1）求的度数;

（2）连结OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△，记直线与射线DC的交点为H。

①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：

△DEG∽△DHE;

y

x

C

D

A

O

B

E

G

F

（图1）

x

C

D

A

O

B

E

G

H

F

y

（图2）

x

C

D

A

O

B

E

y

（图3）

②若△EHG的面积为，请直接写出点F的坐标。

25、解：

（1）

（2）（2，）

（3）①略

②过点E作EM⊥直线CD于点M

∵CD∥AB

x

C

D

A

O

B

E

y

（图3）

Ｍ

∴

∴

∵

∴

∵△DHE∽△DEG

∴即

当点H在点G的右侧时，设，

∴

解：

∴点F的坐标为（，0）

当点H在点Ｇ的左侧时，设，

∴

解：

，（舍）

∵△ＤＥＧ≌△ＡＥＦ

∴

∵

∴点Ｆ的坐标为（，0）

综上可知，点Ｆ的坐标有两个，分别是（，0），（，0）

（10江苏南通）28．（本小题满分14分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C（0，－2）的直线l与x轴平行，O为坐标原点．

（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；

（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理由；

（3）设直线AB上的点D的横坐标为－1，P（m，n）是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的动点，当

△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积．

－1

y

x

O

（第28题）

1

2

3

4

－2

－4

－3

3

－1

－2

－3

－4

4

1

2

（10浙江义乌）24．如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．

（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；

（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．用含S的代数式表示－，并求出当S=36时点A1的坐标；

（3）在图1中，设点D坐标为（1，3），动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？

若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

C

B

A

O

y

x

图1

D

M

图2

O1

A1

O

y

x

B1

C1

D

M

（10浙江义乌）24．解：

（1）对称轴：

直线……………………………………………………..…1分

解析式：

或……………………………….2分

顶点坐标：

M（1，）……….…………………………………………..3分

（2）由题意得

3……………………………………..1分

得：

①…………….………………….……2分

得：

②….………………………………………..………..3分

把②代入①并整理得：

（S＞0）（事实上，更确切为S＞6）4分

当时，解得：

（注：

S＞0或S＞6不写不扣

分）把代入抛