初高中衔接数学学习必备的知识与技能【共七讲含配套练习与答案】.doc

初高中衔接数学学习必备的知识与技能【共七讲含配套练习与答案】.doc

《初高中衔接数学学习必备的知识与技能【共七讲含配套练习与答案】.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《初高中衔接数学学习必备的知识与技能【共七讲含配套练习与答案】.doc（41页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

初高中衔接必备的数学知识与技能七讲

（含配套练习及答案）

目录

第一讲数与式的运算 1

第一讲习题答案 6

第二讲因式分解 7

第二讲因式分解答案 12

第三讲一元二次方程根与系数的关系 13

第三讲一元二次方程根与系数的关系习题答案 19

第四讲不等式 19

第四讲不等式答案 25

第五讲二次函数的最值问题 26

第五讲二次函数的最值问题答案 28

第六讲简单的二元二次方程组 29

第六讲简单的二元二次方程组答案 33

第七讲分式方程和无理方程的解法 34

第七讲分式方程和无理方程的解法答案 39

本站资源汇总［优秀资源，值得收藏］ 40

39

超越自我争创辉煌

第一讲数与式的运算

在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式）、分式、根式．它们具有实数的属性，可以进行运算．在多项式的乘法运算中，我们学习了乘法公式（平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便．由于在高中学习中还会遇到更复杂的多项式乘法运算，因此本节中将拓展乘法公式的内容，补充三个数和的完全平方公式、立方和、立方差公式．在根式的运算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学学习中，经常会接触到被开方数是字母的情形，但在初中却没有涉及，因此本节中要补充．基于同样的原因，还要补充“繁分式”等有关内容．

一、乘法公式

【公式1】

证明：

等式成立

【例1】计算：

解：

原式=

说明：

多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列．

【公式2】（立方和公式）

证明:

说明:

请同学用文字语言表述公式2.

【例2】计算：

解：

原式=

我们得到：

【公式3】（立方差公式）

请同学观察立方和、立方差公式的区别与联系，公式1、2、3均称为乘法公式．

【例3】计算：

（1）

（2）

（3） （4）

解：

（1）原式=

（2）原式=

（3）原式=

（4）原式=

说明：

（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构．

（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数和1、2、3、4、…、10的立方数，是非常有好处的．

【例4】已知，求的值．

解：

原式=

说明：

本题若先从方程中解出的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐．本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算．请注意整体代换法．本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举．

【例5】已知，求的值．

解：

原式=

①

②，把②代入①得原式=

说明：

注意字母的整体代换技巧的应用．

引申：

同学可以探求并证明：

二、根式

式子叫做二次根式，其性质如下：

（1）

（2）

（3） （4）

【例6】化简下列各式：

（1）

（2）

解：

（1）原式=

（2）原式=

说明：

请注意性质的使用：

当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论．

【例7】计算（没有特殊说明，本节中出现的字母均为正数）：

（1）

（2） （3）

解：

（1）原式=

（2）原式=

（3）原式=

说明：

（1）二次根式的化简结果应满足：

①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

（2）二次根式的化简常见类型有下列两种：

①被开方数是整数或整式．化简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式（如）或被开方数有分母（如）．这时可将其化为形式（如可化为），转化为“分母中有根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简．（如化为，其中与叫做互为有理化因式）．

【例8】计算：

（1）

（2）

解：

（1）原式=

（2）原式=

说明：

有理数的的运算法则都适用于加法、乘法的运算律以及多项式的乘法公式、分式二次根式的运算．

【例9】设，求的值．

解：

原式=

说明：

有关代数式的求值问题：

（1）先化简后求值；

（2）当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量．

三、分式

当分式的分子、分母中至少有一个是分式时，就叫做繁分式，繁分式的化简常用以下两种方法：

（1）利用除法法则；

（2）利用分式的基本性质．

【例10】化简

解法一：

原式=

解法一：

原式=

说明：

解法一的运算方法是从最内部的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式，解法二则是利用分式的基本性质进行化简．一般根据题目特点综合使用两种方法．

【例11】化简

解：

原式=

说明：

（1）分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项式时，应先因式分解再进行约分化简；

（2）分式的计算结果应是最简分式或整式．

练习

A组

1．二次根式成立的条件是（ ）

A． B． C． D．是任意实数

2．若，则的值是（ ）

A．－３ B．３ C．－９ D．９

3．计算：

（1）

（2）

（3） （4）

4．化简（下列的取值范围均使根式有意义）：

（1）

（2）

（3） （4）

5．化简：

（1）

（2）

B组

1．若，则的值为（ ）：

A． B． C． D．

2．计算：

（1）

（2）

3．设，求代数式的值．

4．当，求的值．

5．设、为实数，且，求的值．

6．已知，求代数式的值．

7．设，求的值．

8．展开

9．计算

10．计算

11．化简或计算：

（1）

（2）

（3）

（4）

第一讲习题答案

A组

1．C2．A

3．

（1）

（2）

（3） （4）

4．

5．

B组

1．D2．3．

4． 5． 6．3 7．

8．

9．

10．

11．

第二讲因式分解

因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．

因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等．

一、公式法（立方和、立方差公式）

在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：

（立方和公式）

（立方差公式）

由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：

这就是说，两个数的立方和（差），等于这两个数的和（差）乘以它们的平方和与它们积的差（和）．

运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．

【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：

（1）

（2）

分析：

（1）中，，

（2）中．

解：

（1）

（2）

说明：

（1）在运用立方和（差）公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如，这里逆用了法则；

（2）在运用立方和（差）公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．

【例2】分解因式：

（1）

（2）

分析：

（1）中应先提取公因式再进一步分解；

（2）中提取公因式后，括号内出现，可看着是或．

解：

（1）．

（2）

二、分组分解法

从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．

1．分组后能提取公因式

【例3】把分解因式．

分析：

把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按的降幂排列，然后从两组分别提出公因式与，这时另一个因式正好都是，这样可以继续提取公因式．

解：

说明：

用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．

【例4】把分解因式．

分析：

按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式．

解：

说明：

由例3、例4可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．

2．分组后能直接运用公式

【例5】把分解因式．

分析：

把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是；把第三、四项作为另一组，在提出公因式后，另一个因式也是.

解：

【例6】把分解因式．

分析：

先将系数2提出后，得到，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．

解：

说明：

从例5、例6可以看出：

如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式．

三、十字相乘法

1．型的因式分解

这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：

（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数之积；（3）一次项系数是常数项的两个因数之和．

因此，

运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．

【例7】把下列各式因式分解：

（1）

（2）

解：

（1）

．

（2）

说明：

此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同．

【例8】把下列各式因式分解：

（1）

（2）

解：

（1）

（2）

说明：

此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数的符号相同．

【例9】把下列各式因式分解：

（1）

（2）

分析：

（1）把看成的二次三项式，这时常数项是，一次项系数是，把分解成与的积，而，正好是一次项系数．

（2）由换元思想，只要把整体看作一个字母，可不必写出，只当作分解二次三项式．

解：

（1）

（2）

2．一般二次三项式型的因式分解

大家知道，．

反过来，就得到：

我们发现，二次项系数分解成，常数项分解成，把写成，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次项系数，那么就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行．

这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．

必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法