初一奥赛培训08：不等式的应用.doc

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初一奥赛培训08：

不等式的应用

一、解答题（共18小题，满分150分）

1、已知x＜0，﹣1＜y＜0，将x，xy，xy2按由小到大的顺序排列．

2、若A=，B=，试比较A，B的大小．

3、若正数a，b，c满足不等式组，试确定a，b，c的大小关系．

4、当k取何值时，关于x的方程3（x+1）=5﹣kx分别有

（1）正数解；

（2）负数解；（3）不大于1的解．

5、已知，求|x﹣1|﹣|x+3|的最大值和最小值．

6、已知x，y，z为非负实数，且满足x+y+z=30，3x+y﹣z=50．求u=5x+4y+2z的最大值和最小值．

7、设a，b，c，d均为整数，且关于x的四个方程（a﹣2b）x=1，（b﹣3c）x=1，（c﹣4d）x=1，x+100=d的根都是正数，试求a可能取得的最小值是多少？

8、设p，q均为自然数，且，当q最小时求pq的值．

9、已知：

b＜c，1＜a＜b+c＜a+1，求证：

b＜a．

10、若自然是x＜y＜z，a为整数，且，试求x，y，z．

11、某地区举办初中数学联赛，有A，B，C，D四所中学参加，选手中，A，B两校共16名；B，C两校共20名；C，D两校共34名，并且各校选手人数的多少是按A，B，C，D中学的顺序选派的，试求各中学的选手人数．

12、•=7850，其中表示十位数是x，个位数是5的两位数；表示百位数是3，十位数是y，个位数是z的三位数，试确定x，y，z．

13、如果a＜b＜c，并且x＜y＜z，那么在四个代数式

（1）ax+by+cz；

（2）ax+bz+cy；

（3）ay+bx+cz；（4）az+bx+cy

中哪一个的值最大？

14、若不等式10（x+4）+x＜62的正整数解是方程2（a+x）﹣3x=a+1的解，求的值．

15、已知y=|x+2|+|x﹣1|﹣|3x﹣6|，求y的最大值　_________　．

16、已知x，y，z都为自然数，且x＜y，当x+y=1998，z﹣x=2000时，求x+y+z的最大值　_________　．

17、若x+y+z＞0，xy+yz+zx＞0，xyz＞0，试证：

x＞0，y＞0，z＞0．

18、只有两个正整数介于分数与之间，则正整数n的所以可能值之和是多少？

答案与评分标准初一奥赛培训08：

不等式的应用

一、解答题（共18小题，满分150分）

1、已知x＜0，﹣1＜y＜0，将x，xy，xy2按由小到大的顺序排列．

考点：

不等式的性质。

专题：

推理填空题。

分析：

分析用作差法比较大小，即若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＜0，则a＜b．先由已知条件，利用不等式的性质，可得1﹣y＞1＞0，1+y＞0，y﹣1＜﹣1＜0，再分三种情况讨论：

x﹣xy，xy2﹣xy，x﹣xy2．计算时，提取每个式子的公因式，再根据同号得正，异号得负的知识，确定和0的关系，最终可得三个式子的大小关系．

解答：

解：

分析用作差法比较大小，即若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＜0，则a＜b．

∵x＜0，﹣1＜y＜0，

∴1﹣y＞1＞0，1+y＞0，y﹣1＜﹣1＜0，

又∵x﹣xy=x（1﹣y），

∴x（1﹣y）＜0，则x＜xy，

∵xy2﹣xy=xy（y﹣1）＜0，∴xy2＜xy，

∵x﹣xy2=x（1+y）（1﹣y）＜0，∴x＜xy2，

综上有x＜xy2＜xy．

点评：

不等式的性质：

（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．

（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．

（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

也利用了同号得正，异号得负的知识．

2、若A=，B=，试比较A，B的大小．

考点：

一元一次不等式的应用。

分析：

运用未知数x，y表示出A，B，然后根据x，y的取值，得出A，B的大小关系．

解答：

解：

设A=，则B=

∴A﹣B=﹣==

显然，2x＞y，y＞0，所以2x﹣y＞0，所以A﹣B＞0，A＞B．

点评：

此题主要考查了不等式的应用，以及结合未知数的范围，确定代数式的取值问题．

3、若正数a，b，c满足不等式组，试确定a，b，c的大小关系．

考点：

解一元一次不等式组。

专题：

计算题。

分析：

先观察不等式组中各个不等式的特点，分别在①②③中加上c，a，b，即可求得a，b，c的大小关系．

解答：

解：

①+c得

c＜a+b+c＜3c，④

②+a得

，⑤

③+b得

，⑥

由④，⑤得

，

∴c＜，

所以c＜a．

同理，由④，⑥得b＜C．

所以a，b，c的大小关系为b＜c＜a．

点评：

本题考查了不等式组的解法，以及不等式的基本性质的综合运用．

4、当k取何值时，关于x的方程3（x+1）=5﹣kx分别有

（1）正数解；

（2）负数解；（3）不大于1的解．

考点：

解一元一次不等式组；一元一次方程的解。

专题：

综合题。

分析：

先求出方程的解，把问题转化为求不等式

（1）x＞0，

（2）x＜0，（3）x≤1的解集问题．

解答：

解：

将原方程变形为（3+k）x=2．

（1）当3+k＞0，即k＞﹣3时，方程有正数解．

（2）当3+k＜0，即k＜﹣3时，方程有负数解．

（3）当方程解不大于1时，有≤1（k≠﹣3），

∴1﹣=≥0．

所以1+k，3+k应同号，即

或

解得或

得解为k≥﹣1或k＜﹣3．

注意由于不等式是大于或等于零，所以分子1+k可以等于零，而分母是不能等于零的．

点评：

本题是考查解一元一次不等式与方程综合性的题目，是常见的考点之一．

5、已知，求|x﹣1|﹣|x+3|的最大值和最小值．

考点：

解一元一次不等式；绝对值。

分析：

首先解一元一次不等式，解题时要注意系数化一时：

系数是﹣11，不等号的方向要改变．在去绝对值符号时注意：

当a为正时，|a|=a；当a为0时，|a|=0；当a为负时，|a|=﹣a．

解答：

解：

去分母得：

2（2x﹣1）﹣6≥6x﹣3（5﹣3x）

去括号得：

4x﹣2﹣6≥6x﹣15+9x

移项得：

4x﹣6x﹣9x≥﹣15+2+6

合并同类项得：

﹣11x≥﹣7

∴解不等式组得X

（1）当﹣3时|x﹣1|﹣|x+3|=﹣（2+2x）当x=时有最小值﹣；

（2）当X＜﹣3时|x﹣1|﹣|x+3|=1﹣x+x+3=4（最大值）．

点评：

此题考查了一元一次不等式的求解与绝对值的性质．解题时要注意一元一次不等式的求解步骤，绝对值的性质．

6、已知x，y，z为非负实数，且满足x+y+z=30，3x+y﹣z=50．求u=5x+4y+2z的最大值和最小值．

考点：

一元一次不等式组的应用。

专题：

计算题。

分析：

将x+y+z=30，3x+y﹣z=50联立，得到y和z的关于x的表达式，再根据y，z为非负实数，列出关于x的不等式组，求出x的取值范围，再将u转化为关于x的表达式，将x的最大值和最小值代入解析式即可得到u的最大值和最小值．

解答：

解：

将已知的两个等式联立成方程组，

所以①+②得，

4x+2y=80，y=40﹣2x．

将y=40﹣2x代入①可解得，

z=x﹣10．

因为y，z均为非负实数，

所以，

解得10≤x≤20．

于是，

u=5x+4y+2z=5x+4（40﹣2x）+2（x﹣10）

=﹣x+140．

当x值增大时，u的值减小；当x值减小时，u的值增大．

故当x=10时，u有最大值130；当x=20时，u有最小值120．

点评：

此题考查了一次函数最值的求法，将y、z的转化为关于x的表达式及求出x的表达式是解题的关键．

7、设a，b，c，d均为整数，且关于x的四个方程（a﹣2b）x=1，（b﹣3c）x=1，（c﹣4d）x=1，x+100=d的根都是正数，试求a可能取得的最小值是多少？

考点：

一元一次不等式的应用；一元一次方程的解。

分析：

方程（a﹣2b）x=1由于x是正数，1＞0所以a﹣2b＞0．又因为a，b均为整数所以a﹣2b的值最小是1，即a﹣2b≥1，a≥2b+1

b、c、d值的推导与a相同，即b≥3c+1，c≥4d+1，d≥101

再根据不等式的性质d≥101，则c≥4d+1≥4×101+1=405

同样的道理b≥3c+1≥3×405+1=1216

a≥2b+1≥2×1216+1=2433

至此，问题解决．

解答：

解：

由已知（a﹣2b）x=1，且根x＞0，所以a﹣2b＞0

又因为a，b均为整数，所以a﹣2b也为整数

所以a﹣2b≥1，即a≥2b+1．

同理可得，b≥3c+1，c≥4d+1，d≥101．所以a≥2b+1≥2（3c+1）+1=6c+3

≥6（4d+1）+3=24d+9≥24×101+9=2433，

故a可能取得的最小值为2433．

答：

a可能取得最小值是2433

点评：

本题关键是对不等式与一元一次方程含义的理解，不等式也具有传导性（a≥b≥c，则a≥c）．

8、设p，q均为自然数，且，当q最小时求pq的值．

考点：

数的整除性问题。

专题：

作图题。

分析：

根据不等式的性质，由已知的不等式化到整数的不等式，因为p，q为整数，代入数讨论可得答案．

解答：

解：

由已知＜＜

所以q＜p＜q

所以21q＜30p＜22q．

因为p，q都为自然数，所以当q分别等于1，2，3，4，5，6时，无适当的p值使21q＜30p＜22q成立．当q=7时，147＜30p＜154，取p=5可使该不等式成立．所以q最小为7，此时p=5．于是pq=5×7=35．

点评：

本题考查整数的整除性和不等式结合的题目，关键是讨论p，q的取值得解．

9、已知：

b＜c，1＜a＜b+c＜a+1，求证：

b＜a．

考点：

不等式的性质。

专题：

证明题。

分析：

根据不等式的性质得出2b＜a+1，1+a＜2a，根据不等式的传递性从而得出结论．

解答：

证明：

因为b＜c，所以2b＜b+c，

由b+c＜a+1，得2b＜a+1，

由1＜a，得1+a＜2a，

所以2b＜1+a＜2a，

∴b＜a成立．

点评：

本题考查了不等式的性质，要学会充分利用不等式的基本性质，按照一定的逻辑顺序来展开推理论证．

10、若自然是x＜y＜z，a为整数，且，试求x，y，z．

考点：

一元一次不等式组的应用。

专题：

计算题；分类讨论。

分析：

可先设x≥1，y≥2，z≥3，根据，a为整数，当x=1时进行分析看是否符合；然后令x≥3时，进行分析，看看是否符合题意；最后令x=2，进行分析，看看是否符合题意，从而得到结果．

解答：

解：

分析由题设可知x≥1，y≥2，z≥3，所以

0≤a=++=

又因a是整数，故a=1．若x=1，则1++=1，+=0，与题意不符，所以x≠1．

又x≥3时，a=++≤++=＜1，也不成立，故x只能为2．

当x=2，+=1﹣=．

令y=3，则z=6．

当x=2，y≥4时，+=1﹣=

当x=2，y=4时，+=+=＜，不成立．

故本题只有一组解，即x=2，y=3，z=6．

答：

x=2，y=3，z=6．

点评：

解决本题的关键是将等式转化为不等式，然后进行分类讨论．

11、某地区举办初中数学联赛，有A，B，C，D四所中学参加，选手中，A，B两校共16名；B，C两校共20名；C，D两校共34名，并且各校选手人数的多少是按A，B，C，D中学的顺序选派的，试求各中学的选手人数．

考点：

三元一次方程组的应用。

专题：

应用题。

分析：

首先假设A，B，C，D四校的选手人数分别为x，y，z，u，根据选手中A，B两校共16名；B，C两校共20名；C，D两校共34名．列出方程组，通过上面方程组以及题目各校选手人数的多少是按A，B，C，D中学的顺序选派的，得到x＜y＜z＜u．进而判断出y的取值，根据方程组依次得到x、z、u的值．

解答：

解：

设A，B，C，D四校的选手人数分别为x，y，z，u．据题意有

，

由①，②可知，x+y＜y+z，