初一奥赛培训08：不等式的应用.doc

1、 初一奥赛培训08：不等式的应用 一、解答题（共18小题，满分150分）1、已知x0，1y0，将x，xy，xy2按由小到大的顺序排列2、若A=，B=，试比较A，B的大小3、若正数a，b，c满足不等式组，试确定a，b，c的大小关系4、当k取何值时，关于x的方程3（x+1）=5kx分别有（1）正数解；（2）负数解；（3）不大于1的解5、已知，求|x1|x+3|的最大值和最小值6、已知x，y，z为非负实数，且满足x+y+z=30，3x+yz=50求u=5x+4y+2z的最大值和最小值7、 设a，b，c，d均为整数，且关于x的四个方程（a2b）x=1，（b3c）x=1，（c4d）x=1，x+100=d

2、的根都是正数，试求a可能取得的最小值是多少？8、 设p，q均为自然数，且，当q最小时求pq的值9、 已知：bc，1ab+ca+1，求证：ba10、 若自然是xyz，a为整数，且，试求x，y，z11、某地区举办初中数学联赛，有A，B，C，D四所中学参加，选手中，A，B两校共16名；B，C两校共20名；C，D两校共34名，并且各校选手人数的多少是按A，B，C，D中学的顺序选派的，试求各中学的选手人数12、 =7850，其中表示十位数是x，个位数是5的两位数；表示百位数是3，十位数是y，个位数是z的三位数，试确定x，y，z13、如果abc，并且xyz，那么在四个代数式（1）ax+by+cz；（2）a

3、x+bz+cy；（3）ay+bx+cz；（4）az+bx+cy中哪一个的值最大？14、若不等式10（x+4）+x62的正整数解是方程2（a+x）3x=a+1的解，求的值15、已知y=|x+2|+|x1|3x6|，求y的最大值_16、 已知x，y，z都为自然数，且xy，当x+y=1998，zx=2000时，求x+y+z的最大值_17、若x+y+z0，xy+yz+zx0，xyz0，试证：x0，y0，z018、只有两个正整数介于分数与之间，则正整数n的所以可能值之和是多少？答案与评分标准初一奥赛培训08：不等式的应用一、解答题（共18小题，满分150分）1、已知x0，1y0，将x，xy，xy2按由小

4、到大的顺序排列考点：不等式的性质。专题：推理填空题。分析：分析用作差法比较大小，即若ab0，则ab；若ab0，则ab先由已知条件，利用不等式的性质，可得1y10，1+y0，y110，再分三种情况讨论：xxy，xy2xy，xxy2计算时，提取每个式子的公因式，再根据同号得正，异号得负的知识，确定和0的关系，最终可得三个式子的大小关系解答：解：分析用作差法比较大小，即若ab0，则ab；若ab0，则abx0，1y0，1y10，1+y0，y110，又xxy=x（1y），x（1y）0，则xxy，xy2xy=xy（y1）0，xy2xy，xxy2=x（1+y）（1y）0，xxy2，综上有xxy2xy点评：不

5、等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变也利用了同号得正，异号得负的知识2、若A=，B=，试比较A，B的大小考点：一元一次不等式的应用。分析：运用未知数x，y表示出A，B，然后根据x，y的取值，得出A，B的大小关系解答：解：设A=，则B=AB=显然，2xy，y0，所以2xy0，所以AB0，AB点评：此题主要考查了不等式的应用，以及结合未知数的范围，确定代数式的取值问题3、若正数a，b，c满足不等式组，试确定a，b，c的大小关系考点：解一元一次不等式组

6、。专题：计算题。分析：先观察不等式组中各个不等式的特点，分别在中加上c，a，b，即可求得a，b，c的大小关系解答：解：+c得ca+b+c3c，+a得，+b得，由，得，c，所以ca同理，由，得bC所以a，b，c的大小关系为bca点评：本题考查了不等式组的解法，以及不等式的基本性质的综合运用4、当k取何值时，关于x的方程3（x+1）=5kx分别有（1）正数解；（2）负数解；（3）不大于1的解考点：解一元一次不等式组；一元一次方程的解。专题：综合题。分析：先求出方程的解，把问题转化为求不等式（1）x0，（2）x0，（3）x1的解集问题解答：解：将原方程变形为（3+k）x=2（1）当3+k0，即k3时

7、，方程有正数解（2）当3+k0，即k3时，方程有负数解（3）当方程解不大于1时，有1（k3），1=0所以1+k，3+k应同号，即或解得或得解为k1或k3注意由于不等式是大于或等于零，所以分子1+k可以等于零，而分母是不能等于零的点评：本题是考查解一元一次不等式与方程综合性的题目，是常见的考点之一5、已知，求|x1|x+3|的最大值和最小值考点：解一元一次不等式；绝对值。分析：首先解一元一次不等式，解题时要注意系数化一时：系数是11，不等号的方向要改变在去绝对值符号时注意：当a为正时，|a|=a；当a为0时，|a|=0；当a为负时，|a|=a解答：解：去分母得：2（2x1）66x3（53x）去括

8、号得：4x266x15+9x移项得：4x6x9x15+2+6合并同类项得：11x7解不等式组得X（1）当3时|x1|x+3|=（2+2x）当x=时有最小值；（2）当X3时|x1|x+3|=1x+x+3=4（最大值）点评：此题考查了一元一次不等式的求解与绝对值的性质解题时要注意一元一次不等式的求解步骤，绝对值的性质6、已知x，y，z为非负实数，且满足x+y+z=30，3x+yz=50求u=5x+4y+2z的最大值和最小值考点：一元一次不等式组的应用。专题：计算题。分析：将x+y+z=30，3x+yz=50联立，得到y和z的关于x的表达式，再根据y，z为非负实数，列出关于x的不等式组，求出x的取值

9、范围，再将u转化为关于x的表达式，将x的最大值和最小值代入解析式即可得到u的最大值和最小值解答：解：将已知的两个等式联立成方程组，所以+得，4x+2y=80，y=402x将y=402x代入可解得，z=x10因为y，z均为非负实数，所以，解得10x20于是，u=5x+4y+2z=5x+4（402x）+2（x10）=x+140当x值增大时，u的值减小；当x值减小时，u的值增大故当x=10时，u有最大值130；当x=20时，u有最小值120点评：此题考查了一次函数最值的求法，将y、z的转化为关于x的表达式及求出x的表达式是解题的关键7、设a，b，c，d均为整数，且关于x的四个方程（a2b）x=1，（

10、b3c）x=1，（c4d）x=1，x+100=d的根都是正数，试求a可能取得的最小值是多少？考点：一元一次不等式的应用；一元一次方程的解。分析：方程（a2b）x=1由于x是正数，10所以a2b0又因为a，b均为整数所以a2b的值最小是1，即a2b1，a2b+1b、c、d值的推导与a相同，即b3c+1，c4d+1，d101再根据不等式的性质d101，则c4d+14101+1=405同样的道理b3c+13405+1=1216a2b+121216+1=2433至此，问题解决解答：解：由已知（a2b）x=1，且根x0，所以a2b0又因为a，b均为整数，所以a2b也为整数所以a2b1，即a2b+1同理可

11、得，b3c+1，c4d+1，d101所以a2b+12（3c+1）+1=6c+36（4d+1）+3=24d+924101+9=2433，故a可能取得的最小值为2433答：a可能取得最小值是2433点评：本题关键是对不等式与一元一次方程含义的理解，不等式也具有传导性（abc，则ac）8、设p，q均为自然数，且，当q最小时求pq的值考点：数的整除性问题。专题：作图题。分析：根据不等式的性质，由已知的不等式化到整数的不等式，因为p，q为整数，代入数讨论可得答案解答：解：由已知所以qpq所以21q30p22q因为p，q都为自然数，所以当q分别等于1，2，3，4，5，6时，无适当的p值使21q30p22q

12、成立当q=7时，14730p154，取p=5可使该不等式成立所以q最小为7，此时p=5于是pq=57=35点评：本题考查整数的整除性和不等式结合的题目，关键是讨论p，q的取值得解9、已知：bc，1ab+ca+1，求证：ba考点：不等式的性质。专题：证明题。分析：根据不等式的性质得出2ba+1，1+a2a，根据不等式的传递性从而得出结论解答：证明：因为bc，所以2bb+c，由b+ca+1，得2ba+1，由1a，得1+a2a，所以2b1+a2a，ba成立点评：本题考查了不等式的性质，要学会充分利用不等式的基本性质，按照一定的逻辑顺序来展开推理论证10、若自然是xyz，a为整数，且，试求x，y，z考

13、点：一元一次不等式组的应用。专题：计算题；分类讨论。分析：可先设x1，y2，z3，根据，a为整数，当x=1时进行分析看是否符合；然后令x3时，进行分析，看看是否符合题意；最后令x=2，进行分析，看看是否符合题意，从而得到结果解答：解：分析由题设可知x1，y2，z3，所以0a=+=又因a是整数，故a=1若x=1，则1+=1，+=0，与题意不符，所以x1又x3时，a=+=1，也不成立，故x只能为2当x=2，+=1=令y=3，则z=6当x=2，y4时，+=1=当x=2，y=4时，+=+=，不成立故本题只有一组解，即x=2，y=3，z=6答：x=2，y=3，z=6点评：解决本题的关键是将等式转化为不等

14、式，然后进行分类讨论11、某地区举办初中数学联赛，有A，B，C，D四所中学参加，选手中，A，B两校共16名；B，C两校共20名；C，D两校共34名，并且各校选手人数的多少是按A，B，C，D中学的顺序选派的，试求各中学的选手人数考点：三元一次方程组的应用。专题：应用题。分析：首先假设A，B，C，D四校的选手人数分别为x，y，z，u，根据选手中A，B两校共16名；B，C两校共20名；C，D两校共34名列出方程组，通过上面方程组以及题目各校选手人数的多少是按A，B，C，D中学的顺序选派的，得到xyzu进而判断出y的取值，根据方程组依次得到x、z、u的值解答：解：设A，B，C，D四校的选手人数分别为x，y，z，u据题意有，由，可知，x+yy+z，