八年级第二学期数学期末压轴题.doc
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26．（本题满分10分）
已知：
在矩形ABCD中，AB=10，BC=12，四边形EFGH的三个顶点E、F、H分别在
矩形ABCD边AB、BC、DA上，AE=2.
（1）如图①，当四边形EFGH为正方形时，求△GFC的面积；（5分）
（2）如图②，当四边形EFGH为菱形，且BF=a时，求△GFC的面积（用含a的代数式表示）；（5分）
D
C
A
B
E
（第26题图1）
F
H
G
D
C
A
B
E
（第26题图2）
F
H
G
26．解：
（1）如图①，过点G作于M.…………………………………………（1分）
在正方形EFGH中，
.…………………………………………………………（1分）
又∵，
∴⊿AHE≌⊿BEF…………………………………………………………（1分）同理可证：
⊿MFG≌⊿BEF.…………………………………………………………（1分）
∴GM=BF=AE=2.
∴FC=BC-BF=10.…………………………………………………………（1分）
（2）如图②，过点G作于M.连接HF.…………………………………………（1分）
…………………………………………………（1分）
又
∴⊿AHE≌⊿MFG.………………………………………………………（1分）
∴GM=AE=2.……………………………………………………………（1分）
…………………………………………（1分）
如图，直线与轴相交于点，与直线相交于点.
（1）求点的坐标.
（2）请判断△的形状并说明理由.
（3）动点从原点出发，以每秒1个单位的速度沿着的路线向点匀速运动（不与点、重合），过点分别作轴于，轴于.设运动秒时，矩形与△重叠部分的面积为.求与之间的函数关系式.
解：
（1）解得：
………………………1′
∴点P的坐标为（2，）………………………1′
（2）当时，∴点A的坐标为（4，0）………………………1′
∵……………1′
∴
∴是等边三角形………………………1′
（3）当0＜≤4时，………………………1′
………………………1′
当4＜＜8时，………………………1′
………………………1′
25、（本题8分）已知直角坐标平面上点A，P是函数图像上一点，PQ⊥AP交y轴正半轴于点Q（如图）.
（1）试证明：
AP=PQ；
（2）设点P的横坐标为a，点Q的纵坐标为b，那么b关于a的函数关系式是_______；
（3）当时，求点P的坐标.x
y
y=x
A
Q
P
O
证：
（1）过P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为H、T，
∵点P在函数的图像上，
∴PH=PT，PH⊥PT，---------------------------------------------------（1分）
又∵AP⊥PQ，
∴∠APH=∠QPT，又∠PHA=∠PTQ，
∴⊿PHA≌⊿PTQ,------------------------------------------------------（1分）
∴AP=PQ.---------------------------------------------------------------（1分）
（2）.-------------------------------------------------------------（2分）
（3）由
（1）、
（2）知，，
，------------（1分）
∴，
解得，--------------------------------------------------------（1分）
所以点P的坐标是与.---（1分）
]
26．（本题满分10分，第
（1）小题6分，第
（2）小题4分）
已知点E是正方形ABCD外的一点，EA=ED，线段BE与对角线AC相交于点F，
（1）如图1，当BF=EF时，线段AF与DE之间有怎样的数量关系？
并证明；
A
B
C
D
E
F
（2）如图2，当△EAD为等边三角形时，写出线段AF、BF、EF之间的一个数量关系，并证明．
A
B
C
D
E
F
图1
图2
（第26题）
26．
（1）解：
AF=，…………………………………………………………………（1分）
证明如下：
联结BD交AC于点O，…………………………………………………（1分）
∵四边形ABCD是正方形，∴BO=DO，
∵BF=EF，∴OF=DE，OF//DE．………………………………………（1分）
∵BD⊥AC，∴∠DEO=∠AOB=90º，…………………………………（1分）
∵∠ODA=∠OAD=，EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA=45º，∴∠OAD=∠OED=∠AOD=90º，
∴四边形AODE是正方形．………………………………………………（1分）
∴OA=DE，∴OF=AO，∴AF=．………………………（1分）
（2）解：
AF+BF=EF、AF+EF=2BF等（只要其中一个，BF=AF、EF=AF、BF=（EF也认为正确）．…………………………（1分）
AF+BF=EF的证明方法一：
联结BD交AC于O，在FE上截取FG=BF，联结DG．
与第
（1）同理可证∠GDA=45º，……………………………………………（1分）
∵四边形ABCD是正方形，△ADE是等边三角形，∴∠GDE=60º–45º=15º．
∵AB=AD=AE，∠BAE=∠BAC+∠DAE=90º+60º=150º，
∴∠ABE=∠AEB=，∴∠ABF=∠GDE．
又∵∠DEG=∠DEA–∠AEB=60º–15º=45º=∠BAC，DE=AD=AB，
∴△ABF≌△EDG，……………………………………………………………（1分）
∴EG=AF，∴AF+BF=EG+FG=EF．……………………………………………（1分）
AF+BF=EF的证明方法二（简略）：
在FE上截取FG=AF，联结AG．证得△AFG为等边三角形．………………（1分）
证得△ABF≌△AEG．……………………………………………………………（1分）
证得AF+BF=EF．………………………………………………………………（1分）
AF+EF=2BF的证明方法（简略）：
作BG⊥BF，且使BG=BF，联结CG、FG，证得△BGC≌△BFA．…………（1分）
证得FC=FE，FG=，……………………………………………………（1分）
利用Rt△FCG中，得出AF+EF=2BF．……………………………………（1分）
27．（本题满分10分，第
（1）小题3分，第
（2）小题3分,第（3）小题4分）
如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OC=AB=4，BC=6，∠COA=45°,动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→A→B→C，到达点C时停止．作直线CP.
（1）求梯形OABC的面积；
（2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
（3）当∆OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）
27．如图已知一次函数y=－x+7与正比例函数y=的图象交于点A，且与x轴交于点B．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O﹣C﹣A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒．
①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是QA=QP的等腰三角形？
若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．
解：
（1）∵一次函数y＝－x+7与正比例函数的图象交于点A，且与x轴交于点B．
∴y＝－x+7，0＝x+7，∴x＝7，∴B点坐标为：
（7，0），----------------------------1分
∵y＝－x+7＝，解得x＝3，∴y＝4，∴A点坐标为：
（3，4）；-------------------1分
（2）①当0＜t＜4时，PO＝t，PC＝4－t，BR＝t，OR＝7－t，--------------1分
过点A作AM⊥x轴于点M
∵当以A、P、R为顶点的三角形的面积为8，∴S梯形ACOB－S△ACP－S△POR－S△ARB＝8，
∴（AC+BO）×CO－AC×CP－PO×RO－AM×BR＝8，
∴（AC+BO）×CO－AC×CP－PO×RO－AM×BR＝16，
∴（3+7）×4－3×（4－t）－t×（7－t）－4t＝16，∴t2－8t+12＝0.-----------------1分
解得t1＝2，t2＝6（舍去）.--------------------------------------------------------------------1分
当4≤t≤7时，S△APR＝AP×OC=2（7－t）＝8，t=3（舍去）；--------------1分
∴当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8；
②存在．
当0＜t≤4时,直线l与AB相交于Q，∵一次函数y＝－x+7与x轴交于B（7，0）点，与y轴交于N（0，7）点，∴NO＝OB，∴∠OBN＝∠ONB＝45°.
∵直线l∥y轴，∴RQ＝RB=t，AM=BM=4∴QB=,AQ=----------------1分
∵RB＝OP＝QR＝t，∴PQ//OR,PQ=OR=7-t--------------------------------------1分
∵以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，且QP=QA，
∴7-t=，t=1-3（舍去）--------------------------------------------1分
当4
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