八年级数学《勾股定理》讲义.doc

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老师姓名

王志威

学生姓名

上课时间

学科名称

数学

年级

八年级

备注

【课题名称】八上数学《勾股定理》

【考纲解读】

1.掌握勾股定理的含义；

2.理解勾股数，并且会熟练地运用勾股数；

3.能够根据勾股定理，解决实际问题。

【考点梳理】

考点1：

勾股定理

（1）勾股定理：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

（2）勾股定理的表示：

如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么

（3）勾股定理的证明：

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图法。

图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。

根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

考点2：

勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。

考点3：

勾股数

（1）能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数。

（2）记住常见的勾股数可以提高解题速度，比如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8，15，17等。

考点4：

勾股定理的应用

（1）已知直角三角形的任意两边长，求第三边。

在中，，则，，；

（2）已知直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系；

（3）可以运用勾股定理解决一些实际问题，比如圆柱和长方体的最短距离问题。

【例题讲解】

例1：

如图字母B所代表的正方形的面积是（　　）

A．12 B．13 C．144 D．194

例2：

下列由线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（　　）

A．a=3，b=4，c=5 B．a=2，b=3，c=

C．a=12，b=10，c=20 D．a=5，b=13，c=12

例3：

三角形的三边长a，b，c满足2ab=（a+b）2﹣c2，则此三角形是（　　）

A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形

例4：

如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高5米，两树相距12米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（　　）

A．8米 B．10米 C．13米 D．14米

例5：

如图，一只蚂蚁从长、宽都是4，高是6的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（　　）

A．9 B．10 C． D．

例6：

如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的点C有　　　　　　个．

【课堂检测】

1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC=3，AB=5，则DE等于（　　）

A．2 B． C． D．

2．在ABC中，∠C=90°，若AC=3，BC=4，则AB=（　　）

A． B．5 C． D．7

3．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（　　）

A．∠A+∠B=∠C B．∠A：

∠B：

∠C=1：

2：

3

C．a2=c2﹣b2 D．a：

b：

c=3：

4：

6

4．在△ABC中，AC2﹣AB2=BC2，那么（　　）

A．∠A=90° B．∠B=90° C．∠C=90° D．不能确定

5．下列各组数中，能成为直角三角形的三条边长的是（　　）

A．8、15、17 B．10、24、25 C．9、15、20 D．9、80、81

6．如图，是台阶的示意图．已知每个台阶的宽度都是30cm，每个台阶的高度都是15cm，连接AB，则AB等于（　　）

A．195cm B．200cm C．205cm D．210cm

7．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（　　）

A．13cm B．2cm C．cm D．2cm

8．已知直角三角形的两边长为3厘米和5厘米，则第三边长为　　　　　　．

9．三角形的三边长为a、b、c，且满足等式（a+b）2﹣c2=2ab，则此三角形是　　　三角形（直角、锐角、钝角）．

10．如图，是美国总统Garfield于1896年给出的一种验证勾股定理的办法，你能利用它证明勾股定理吗？

请写出你的证明过程．（提示：

如图三个三角形均是直角三角形）

11．如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=4，CD=6，DA=2．求∠DAB的度数．

【课后作业】

1．如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（　　）

A．b2+（b﹣a）2 B．b2+a2 C．（b+a）2 D．a2+2ab

2．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（a﹣b）=c2，则（　　）

A．∠A为直角 B．∠C为直角C．∠B为直角 D．不是直角三角形

3．已知a=3，b=4，若a，b，c能组成直角三角形，则c=（　　）

A．5 B． C．5或 D．5或6

4．下列是三角形的三边，能组成直角三角形的是（　　）

A．1：

2：

3 B．1：

：

3 C．2：

3：

5 D．1：

1：

5．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（　　）

A．400m B．525m C．575m D．625m

6．由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（　　）

A．8m B．10m C．16m D．18m

7．已知等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则以底边为边长的正方形的面积为　　．

8．有一根长24cm的小木棒，把它分成三段，组成一个直角三角形，且每段的长度都是偶数，则三段小木棒的长度分别是　　　m，　　cm，　　cm．

9．写出一组直角三角形的三边长　　　　．（要求是勾股数但3、4、5和6、8、10除外）

10．如图所示，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形拼成，在RtABC中，∠ACB=90°，AC=b，BC=a，请你利用这个图形解决下列问题：

（1）证明勾股定理；

（2）说明a2+b2≥2ab及其等号成立的条件．

11．如图，将边长为a与b、对角线长为c的长方形纸片ABCD，绕点C顺时针旋转90°得到长方形FGCE，连接AF．通过用不同方法计算梯形ABEF的面积可验证勾股定理，请你写出验证的过程．

12．已知：

如图，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，BC=12．求图形的面积．

13．如图，有一只蚂蚁从一个圆柱体的A点沿着侧面绕圆柱至少一圈爬到B点，已知圆柱的底面半径为1.5cm，高为12cm，则蚂蚁所走过的最短路径是多少？

（π取3）

课后小结

上课情况：

课后需再巩固的内容：

配合需求：

家长

签字

6