八年级几何添加辅助线方法.doc
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中小学1对1课外辅导专家
精锐教育学科教师辅导讲义
年级：
初二辅导科目：
数学学科教师：
陈佳辉
课题
几何添加辅助线方法
教学目的
初步掌握演绎推理的规则和规范表达的格式；
知道基本的逻辑术语，理解命题、定理、证明的意义；
懂得推理过程中的因果关联，知道证明的步骤。
教学内容
1.定义：
能界定某个对象含义的句子。
例：
（1）能够被2整除的数叫做偶数。
（2）有一个角是直角的三角形，叫做直角三角形．
（3）有六条边的多边形，叫做六边形．
2.命题：
判断一件事情的句子。
（1）判断为正确的命题，叫做真命题；
判断为错误的命题，叫做假命题。
例：
判断下列命题为真命题还是假命题
（1）对顶角相等；
（2）三角形内角和180°；
（3）同位角相等，两直线平行；
（4）同角的余角相等；
（5）互为补角的两个角都是锐角；
（6）两直线相交，有且只有一个交点；
（7）两点之间线段最短。
（2）命题特征：
许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的。
题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项。
这样的命题常可以写成“如果……那么……”的形式。
用“如果”开始的部分就是题设，而用“那么”开始的部分就是结论。
例如，在“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”这个命题中，“两个角是对顶角”是题设，“这两个角相等”就是结论。
有的命题的题设与结论不十分明显，可以将它写成“如果……那么……”的形式。
就可以分清它的题设与结论。
例如，“直角都相等”可以写成“如果两个角是直角，那么这两个角相等”。
例：
把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并指出这个命题的题设和结论.
（1）对顶角相等；
（2）同位角相等，两直线平行；
（3）同角的余角相等.
（4）两条高相等的三角形是等腰三角形
3.公理：
有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的命题叫做公理。
例：
我们已经知道下列命题是真命题：
（1）两点之间线段最短。
（2）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
（3）全等三角形的对应边、对应角分别相等。
在本书中我们将这些真命题均作为公理。
4.定理：
从公理或其他真命题出发，用推理方法证明为正确的，并能进一步作为判断其他命题真假的依据的真命题。
例：
（1）“两点之间线段最短”可以推导出“三角形的任何两边之和大于第三边”，而“三角形的任何两边之和大于第三边”是判断其他一些命题真假的常用依据，所以是定理。
（2）“三角形的内角和等于180°”可以推导出“直角三角形的两个锐角互余”。
此命题可以用来作为判断其他命题真假的依据，因此我们把它也作为定理。
定理的作用不仅在于它提示了客观事物的本质属性，而且可以作为进一步确认其他命题真假的依据。
【课堂练习】
1．下列语句中，属于命题的是（）．
（A）直线AB和CD垂直吗（B）过线段AB的中点C画AB的垂线
（C）同旁内角不互补，两直线不平行（D）连结A，B两点
2．下列四个命题中，属于真命题的是（）．
（A）互补的两角必有一条公共边（B）同旁内角互补
（C）同位角不相等，两直线不平行（D）一个角的补角大于这个角
3．若三角形的三个外角的度数之比为2：
3：
4，则与之对应的三个内角的度数之比为（）．
（A）4：
3：
2（B）3：
2：
4（C）5：
3：
1（D）3：
1：
5
4．如图1，点D，E分别是AB，AC上的点，连结BE，CD．若∠B=∠C，则∠AEB与∠ADC的大小关系是（）．
（A）∠AEB>∠ADC（B）∠AEB=∠ADC;（C）∠AEB<∠ADC（D）不能确定
（1）
（2）（3）
5．如图2，在锐角△ABC中，CD和BE分别是AB和AC边上的高，且CD和BE交于点P，若∠A=50°，则∠BPC的度数是（）．
（A）150°（B）130°（C）120°（D）100°
6．如图3，如果AB∥CD，那么角α，β，γ之间的关系式为（）．
（A）α+β+γ=360°（B）α-β+γ=180°;
（C）α+β+γ=180°（D）α+β-γ=180°
7．命题“直角都相等”的题设是________，结论是____________．
8．如图4，AD，AE分别是△ABC的角平分线和高，∠B=50°，∠C=70°，则∠EAD=______．
（4）（5）（6）
9．如图5，已知∠BDC=142°，∠B=34°，∠C=28°，则∠A=________．
10．如图6，已知DB平分∠ADE，DE∥AB，∠CDE=82°，则∠EDB=_____，∠A=____
二．常见辅助线添置方法训练
【例1】如图1，已知AB∥CD，求证：
∠BED＝∠B＋∠D．
AB
E
C图1D
分析：
题中有平行条件，由此联想到平行线的性质，想到它所对应的图形．经对照发现，图中没有截AB、CD的线，所以我们要添置辅助线．
方法1：
延长BE交CD于F，如图2所示．
方法2：
延长DE交AB于F，如图3所示．
方法3：
连结BD，如图4所示．
方法4：
过E点任作一线交AB于M、交CD于N，如图5所示．
方法5：
以EB为一边在∠BED内部作∠BEF＝∠B，或过E点作EF∥AB，如图6所示．
有些几何题目条件比较分散，条件与结论难于联系，这时往往需要巧妙地添置辅助线，将条件加以集中，便于利用．
倍长中线法：
【例2】已知：
在∆ABC中，AD是中线，BE交AD于点F，AE=EF.
求证：
AC=BF
“截长补短”法：
截长：
在线段上截取一段等于另两条线段中的一条，再证余下的部分等于另一条线段
补短：
延长两条线段中的一条，使其等于两条线段之和
【例3】已知：
∆ABC中，AD是∠BAC的角平分线，∠B=2∠C，
求证：
AB＋BD=AC
方法1：
截长法：
在AC上截取AF=AB联结DF
方法2：
补短法：
延长AB至E，使AE=AC，联结DE
【课堂练习】己知：
△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，垂足为D，P是BC上任一点，PE⊥AB，
PF⊥AC垂足分别为E、F，
求证：
①当点P在边BC上，PE+PF=CD；②当点P在边BC的延长线上，PE–PF=CD.
F
E
D
C
A
B
G
P
F
E
D
C
A
B
G
P
1如果一个三角形的两边长分别是7和9，问第三边中线的取值范围。
2如图所示，已知：
AD是△ABC的中线，且BA=BD，BE=ED。
求证：
AC=2AE
3证明直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
4如图，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上一动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H。
F
E
D
C
A
B
G
H
求证：
①△BCG≌△DCE
②BH⊥DE
5已知D为EC的中点，EF∥AB，且EF=AC，求证：
AD平分∠BAC.
A
B
C
D
6已知：
如图在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，求证：
BC=AB+AD
7如图所示，已知中，，AD=DB，．求证：
．
A
D
B
C
1
2
8已知CE、AD是△ABC的角平分线，∠B=60°，求证：
AC=AE+CD
A
E
B
D
C
五回家作业：
A
1如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD各∠ADE，求证：
AD=AB+CD。
A
B
E
C
D
2如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：
AE=AD+BE。
D
A
E
C
B
3已知∆ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，联结CE，DE
求证：
CE=DE
4已知：
如图示，中，平分，，过作于点，交的延长线于点，联结；求证：
。
5已知中，AB=2AC,AD平分AD=BD,求证：
6已知：
如图，在△ABC中，CD是△ABC的角平分线，BC=AC+AD.，求证：
∠A=2∠B.
回家作业B
一.填空题
1.把命题“两个角对应相等的两个三角形相似”改写成“如果…那么…”的形式
.
2.把命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式
___________________________________________________.
3.把命题：
“等腰三角形的两个底角相等”改写为“如果----那么-------”
.
4.判断命题的真假：
命题“同位角相等”是________命题.
5.判断下列命题的真假
（1）合数一定是偶数
（2）三个连续自然数的和是的倍数
（3）如果，那么
（4）如果，那么
（5）如果，那么
（6）如果，那么
（7）若a＝b，则a2＝b2；
（8）如果a2
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