全等三角形专题之垂直模型.docx

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垂直模型

考点一：

利用垂直证明角相等

1.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．求证：

（1）AE＝CD；

（2）若AC＝12cm，求BD的长．

2.如图

（1）,已知△ABC中,∠BAC=900,AB=AC,AE是过A的一条直线,且B、C在A、E的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.

图

（1）图

（2）图（3）

（1）试说明:

BD=DE+CE.

（2）若直线AE绕A点旋转到图

（2）位置时（BD

写结论,并说明理由.

（3）若直线AE绕A点旋转到图（3）位置时（BD>CE）,其余条件不变,问BD与DE、CE的关系如何?

写出结论,可不说明理由.

3.直线CD经过的顶点C，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且．

（1）若直线CD经过的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：

①如图1，若，则（填“”，“”或“”号）；

②如图2，若，若使①中的结论仍然成立，则与应满足的关系是；

（2）如图3，若直线CD经过的外部，，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明．

A

B

C

E

F

D

D

A

B

C

E

F

A

D

F

C

E

B

图1

图2

图3

考点2：

利用角相等证明垂直

1.已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系.

2.如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．

（1）求证：

CD=BF；

（2）求证：

AD⊥CF；

（3）连接AF，试判断△ACF的形状.

变式：

如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：

∠ADC＝∠BDE．

3.如图1，已知△ADC和△EDG都是等腰直角三角形上，连接，.

（1）试猜想与有怎样的位置关系，并证明你的结论；

（2）将△EDG绕点按顺时针方向旋转30°，如图2，连接和.你认为

（1）中的结论是否还成立？

若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.

4.如图1，的边BC在直线上，且的边也在直线上，边与边重合，且

（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出与所满足的

数量关系和位置关系；

（2）将沿直线向左平移到图2的位置时，交于点,连接

.猜想并写出与所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；

（3）将沿直线向左平移到图3的位置时，的延长线交的延长

线于点Q,连结,你认为

（2）中所猜想的与的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？

若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.

图1图2图3