高考数学真题 课标全国Ⅰ数学理科.docx
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高考数学真题课标全国Ⅰ数学理科
2014年普通高等学校招生全国统一考试（课标全国Ⅰ）
数学（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,则A∩B=（ ）.
A.[-2,-1]B.[-1,2）C.[-1,1]D.[1,2）
【答案】A
【解析】由已知,可得A={x|x≥3或x≤-1},则A∩B={x|-2≤x≤-1}=[-2,-1].故选A.
2.（ ）.
A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i
【答案】D
【解析】.故选D.
3.设函数的定义域都为R,且是奇函数,是偶函数,则下列结论中正确的是（ ）.
A.是偶函数B.是奇函数
C.是奇函数D.是奇函数
【答案】C
【解析】由题意,知f（-x）=-f（x）,g（-x）=g（x）,
对于A选项,f（-x）g（-x）=-f（x）g（x）,f（x）g（x）为奇函数,故A错误;
对于B选项,|f（-x）|g（-x）=|f（x）|g（x）,|f（x）|g（x）为偶函数,故B错误;
对于C选项,f（-x）|g（-x）|=-f（x）|g（x）|,f（x）|g（x）|为奇函数,故C正确;
对于D选项,|f（-x）g（-x）|=|f（x）·g（x）|,|f（x）g（x）|是偶函数,故D错误.
4.已知F为双曲线C:
x2-my2=3m（m>0）的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为（ ）.
A.B.3C.mD.3m
【答案】A
【解析】由题意,可得双曲线C为,则双曲线的半焦距.不妨取右焦点,其渐近线方程为,即.所以由点到直线的距离公式得.故选A.
5.位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ）.
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】（方法一）由题意知基本事件总数为24=16,
对4名同学平均分组共有（种）,
对4名同学按1,3分组共有种,
所以周六、周日都有同学参加共有3×=14（种）.
由古典概型得所求概率为.
（方法二）周六没有同学参加公益活动即4位同学均在周日参加公益活动,此时只有一种情况;同理周日没有同学参加公益活动也只有一种情况,所以周六、周日均有同学参加公益活动的情况共有16-2=14（种）.故所求概率为.故选D.
6.如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数,则在[0,π]的图像大致为（ ）.
【答案】C
【解析】由题意|OM|=|cosx|,
f（x）=|OM||sinx|=|sinxcosx|=|sin2x|,
由此可知C正确.
7.执行右面的程序框图,若输入的分别为1,2,3,
则输出的M=（ ）.
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】当a=1,b=2,k=3,n=1时,1≤3,,
a=2,,n=2;2≤3,M=2+,,,n=3;
3≤3,M=,,n=4;4>3,程序结束,输出M=.
8.设,且,则（ ）.
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】由已知,得,∴.
∴
∴,∴.
又∵，,∴,
∴,∴.故选C.
9.不等式组的解集记为D,有下面四个命题:
p1:
∀（x,y）∈D,x+2y≥-2,p2:
∃（x,y）∈D,x+2y≥2,
p3:
∀（x,y）∈D,x+2y≤3,p4:
∃（x,y）∈D,x+2y≤-1,
其中的真命题是（ ）.
A.p2,p3B.p1,p2C.p1,p4D.p1,p3
【答案】B
【解析】画出可行域如图阴影部分所示.
作直线l0:
y=-x,平移l0,当直线经过A（2,-1）时,x+2y取最小值,此时（x+2y）min=0.故p1:
∀（x,y）∈D,x+2y≥-2为真.p2:
∃（x,y）∈D,x+2y≥2为真.故选B.
10.已知抛物线C:
y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点.若=4,则|QF|=（ ）.
A.B.3C.D.2
【答案】B
【解析】如图,由抛物线的定义知焦点到准线的距离p=|FM|=4.
过Q作QH⊥l于H,则|QH|=|QF|.
由题意,得△PHQ∽△PMF,
则有,∴|HQ|=3.∴|QF|=3.
11.已知函数f（x）=ax3-3x2+1,若f（x）存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是（ ）.
A.（2,+∞）B.（1,+∞）C.（-∞,-2）D.（-∞,-1）
【答案】C
【解析】当a=0时,显然f（x）有2个零点,不符合题意;
当a>0时,f'（x）=3ax2-6x=3x（ax-2）,易知函数f（x）在（-∞,0）上单调递增.
又f（0）=1,当x→-∞时,f（x）=x2（ax-3）+1→-∞,故不适合题意;
当a<0时,f（x）在上单调递减,在上单调递增,在（0,+∞）上单调递减,只需f>0就满足题意.
由f>0,得+1>0,解得a<-2或a>2（舍去）.故a<-2.
12.
如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为（ ）.
A.6B.6C.4D.4
【答案】B
【解析】如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4.取B1B的中点G,即三棱锥G-CC1D1为满足要求的几何体,其中最长棱为D1G,D1G==6.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分.
13.（x-y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为 .（用数字填写答案）
【答案】-20
【解析】（x+y）8的通项公式为Tr+1=x8-ryr（r=0,1,…,8,r∈Z）.
当r=7时,T8=xy7=8xy7,当r=6时,T7=x2y6=28x2y6,
所以（x-y）（x+y）8的展开式中含x2y7的项为x·8xy7-y·28x2y6=-20x2y7,故系数为-20.
14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,
甲说:
我去过的城市比乙多,但没去过B城市;
乙说:
我没去过C城市;
丙说:
我们三人去过同一城市.
由此可判断乙去过的城市为 .
【答案】A
【解析】根据甲、乙、丙说的可列表得
A
B
C
甲
√
×
√
乙
√
×
×
丙
√
15.已知A,B,C为圆O上的三点,若）,则的夹角为 .
【答案】90°
【解析】由）可得O为BC的中点,则BC为圆O的直径,即∠BAC=90°,故的夹角为90°.
16.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC,则△ABC面积的最大值为 .
【答案】
【解析】由正弦定理,可得（2+b）（a-b）=（c-b）·c.
∵a=2,∴a2-b2=c2-bc,即b2+c2-a2=bc.
由余弦定理,得cosA=.
∴sinA=.
由b2+c2-bc=4,得b2+c2=4+bc.
∵b2+c2≥2bc,即4+bc≥2bc,∴bc≤4.
∴S△ABC=bc·sinA≤,即（S△ABC）max=.
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.
（1）证明:
an+2-an=λ;
（2）是否存在λ,使得{an}为等差数列?
并说明理由.
分析:
（1）已知数列{an}的前n项和Sn与相邻两项an,an+1间的递推关系式anan+1=λSn-1,要证an+2-an=λ,故考虑利用an+1=Sn+1-Sn消去Sn进行证明.
（2）若{an}为等差数列,则有2a2=a1+a3,故可由此求出λ,进而由an+2-an=4验证{an}是否为等差数列即可.
解:
（1）由题设,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1,
两式相减,得an+1（an+2-an）=λan+1.
由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.
（2）由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.
由
（1）知,a3=λ+1.
令2a2=a1+a3,解得λ=4.
故an+2-an=4.
由此可得{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.
所以an=2n-1,an+1-an=2.
因此存在λ=4,使得数列{an}为等差数列.
18.（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:
（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
（2）由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ,σ2）,其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布,求P（187.8②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8,212.2）的产品件数.利用①的结果,求E（X）.
附:
≈12.2.若Z~N（μ,σ2）,则P（μ-σ分析:
（1）利用=x1p1+x2p2+…+xnpn求,利用s2=（x1-）2p1+（x2-）2p2+…+（xn-）2pn,求s2.
（2）①由
（1）可知μ,σ2,则N（μ,σ2）可知.将P（187.8②由①可知一件产品的质量指标值位于区间（187.8,212.2）的概率为p,则100件产品中质量指标值位于区间（187.8,212.2）的产品件数X服从二项分布B（100,p）,则由E（X）=100p可求E（X）.
解:
（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为
=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,
s2=（-30）2×0.02+（-20）2×0.09+（-10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02
=150.
（2）①由
（1）知,Z~N（200,150）,从而
P（187.8②由①知,一件产品的质量指标值位于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826,
依题意知X~B（100,0.6826）,所以E（X）=100×0.6826=68.26.
19.（本小题满分12分）
如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.
（1）证明:
AC=AB1;
（2）若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A-A1B1-C1的余弦值.
分析:
（1）因为侧面BB1C1C为菱形,故考虑利用菱形的性质:
对角线互相垂直平分,故连接BC1,不妨设其交B1C于点O,则O为B1C的中点,要证AC=AB1,故只需证B1C⊥AO.又B1C⊥AB,故考虑通过证B
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