中垂线、角平分线与等腰三角形性质综合应(北师大).docx

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中垂线、角平分线、等腰三角形性质综合应用

一、知识点回顾

1、线段垂直平分线性质定理及其逆定理：

定理：

线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等.

逆定理：

和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的直平分线上.

2、角平分线的性质定理及其逆定理：

定理：

在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等.

逆定理：

在一个角的内部（包括顶点）且到这个角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.

1、等腰三角形的性质

等边对等角：

等腰三角形的两个底角相等。

三线合一：

等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合

证明以下推论：

等腰三角形的两底角的平分线相等；

两条腰上的中线相等；

两条腰上的高相等。

等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半

4、等腰三角形的判定：

等角对等边：

有两个角相等的三角形是等腰三角形

二、典型例题讲解

1、已知：

如图所示△ABC，∠ACB=90°，D为BC延长线上一点，E是AB上一点，EM垂直平分BD，M为垂足，DE交AC于F，求证：

E在AF的垂直平分线上.

2、如图，已知：

CD、CE分别是AB边上的高和中线，且。

求证：

3、如图，已知：

在，DE垂直平分AB，FM垂直平分AD，GN垂直平分BD。

求证：

AF=FG=BG。

4、如图，已知：

在△ABC，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，EF⊥AB于F，且CE=EF。

求证：

FG//AC

5、如图，在，OE、OF分别是AB、AC边的垂直平分线，的平分线相交于点I，判断OI与BC的位置关系，并证明你的判断。

6：

如图，已知：

的平分线相交于P，联结CP，分别过点B、C作PC、PB的垂线交AC、AB的延长线于E、F，G、H为垂足。

求证：

BF=CE

课堂随练

1、如图14－73所示，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，若CE=3cm，求BE的长.

2、如图14－74所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线分别与BC，AB交于M，N.求证MB=2AC.

3、如图14－97所示，CE是△ABC的角平分线，过点E画BC的平行线，交AC于点D，交外角∠ACG的平分线于点F.试证明DE=DF.

4、如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O。

求证：

（1）∠AOB＝120°；

（2）CM＝CN；

（3）MN∥AB。