二次函数综合题.docx

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（二次函数综合题）2011.10.22

例1.矩形OABC在直角坐标系中的位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0）、C（0，3），直线与BC边相交于点D。

（1）求点D的坐标；

（2）若抛物线经过D、A两点，试确定此抛物线的表达式；

（3）P为x轴上方

（2）中抛物线上一点，求△POA面积的最大值；

例2.已知抛物线与x轴交于

（1）若点在抛物线上，求m的值；

（2）若抛物线与抛物线关于y轴对称，点，都在抛物线上，则的大小关系是___________（请将结论写在横线上，不要写解答过程）；

（3）设抛物线的顶点为M，若△AMB是直角三角形，求m的值。

例3如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）．

（1）点A的坐标是__________，点C的坐标是__________；

（2）当t=秒或秒时，MN=AC；

（3）设△OMN的面积为S，求S与t的函数关系式；

（4）探求（3）中得到的函数S有没有最大值？

若有，求出最大值；若没有，要说明理由．

例4.二次函数的图像经过点A（3，0），B（2，-3），并且以为对称轴。

（1）求此函数的解析式；

（2）作出二次函数的大致图像；

   （3）在对称轴上是否存在一点P，使△PAB中PA＝PB，若存在，求出P点的坐标，若不存在，说明理由。

例5.（2010年聊城市）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝1，且抛物线经过A（－1，0）、C（0，－3）两点，与x轴交于另一点B．

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（2）在抛物线的对称轴x＝1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；

（3）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使∠PCB＝90º的点P的坐标．

例6如图2，一元二次方程的两根，（＜）是抛物线与轴的两个交点，的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．

x

y

A（3，6）

Q

C

O

B

P

（1）求此二次函数的解析式；

（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；

（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．

例7．已知：

抛物线y=-x2+4x-3与x轴相交于A，B两点（A点在B点的左侧），顶点为P．

（1）求A，B，P三点坐标；

（2）在直角坐标系内画出此抛物线的简图，并根据简图写出当x取何值时，函数值y大于零；

（3）确定此抛物线与直线y=-2x+6公共点的个数，并说明理由.

例8．已知：

m，n是方程的两个实数根，且，抛物线的图象经过点A（m，0），B（0，n）.

（1）求这个抛物线的解析式；

（2） 设

（1）中抛物线与轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积；

（3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：

3的两部分，请求出P点的坐标.

例9.在如图的直角坐标系中，已知点A（1，0）；B（0，－2），将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°至AC．

⑴求点C的坐标；

⑵若抛物线经过点C．

①求抛物线的解析式；

②在抛物线上是否存在点P（点C除外）使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形？

若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

例10如图，抛物线的顶点为,与轴相交点，与轴交于两点（点A在点B的左边）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接AC，CD，AD，试证明为直角三角形；

（3）若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A,B,E,F四点为顶点的四边形为平行四边形？

若存在，求出满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

例11.如图，在平面直角坐标系中，把抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线.所得抛物线与轴交于两点（点在点的左边），与轴交于点，顶点为.Ａ

Ｄ

Ｃ

Ｂ

Ｏ

x

y

（1）写出的值；

（2）判断的形状，并说明理由；