二次根式提高培优(1).doc

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二次根式

（1）

【例1】下列各式1），

其中是二次根式的是_________（填序号）．

举一反三：

1、下列各式中，一定是二次根式的是（）

A、B、C、D、

2、在、、、、中是二次根式的个数有______个

【例2】若式子有意义，则x的取值范围是．[来源:

学*科*网Z*X*X*K]

举一反三：

1、使代数式有意义的x的取值范围是（）

A、x>3 B、x≥3 C、x>4 D、x≥3且x≠4

2、使代数式有意义的x的取值范围是

3、如果代数式有意义，那么，直角坐标系中点P（m，n）的位置在（　　）

A、第一象限　　B、第二象限　　C、第三象限　　D、第四象限

【例3】若y=++2009，则x+y=

1、若，则x－y的值为（）

A．－1B．1C．2D．3

2、若x、y都是实数，且y=，求xy的值

3、当a取什么值时，代数式取值最小，并求出这个最小值。

已知a是整数部分，b是的小数部分，求的值。

若的整数部分是a，小数部分是b，则。

若的整数部分为x，小数部分为y，求的值.

【例4】若则．

举一反三：

1、若，则的值为。

2、已知为实数，且，则的值为（）

A．3 B．–3 C．1 D．–1

3、已知直角三角形两边x、y的长满足｜x2－4｜＋＝0，则第三边长为＿＿＿＿＿＿.

【例5】化简：

的结果为（）

A、4—2aB、0C、2a—4D、4

举一反三：

1、在实数范围内分解因式:

=；

2、化简：

=

3、已知直角三角形的两直角边分别为和，则斜边长为

【例6】已知,则化简的结果是

A、 B、 C、 D、

举一反三：

1、根式的值是（）

A．-3B．3或-3C．3　D．9

2、已知a<0，那么│－2a│可化简为（）

A．－aB．aC．－3aD．3a

3、若，则等于（）

A.B.C.D.

4、若a－3＜0，则化简的结果是（）

（A）－1（B）1（C）2a－7（D）7－2a

5、化简得（）

（A）　2　（B）　（C）－2　　（D）

6、当a＜l且a≠0时，化简＝．

7、已知，化简求值：

【例7】如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│+的结果等于（）

A．－2bB．2bC．－2aD．2a

举一反三：

实数在数轴上的位置如图所示：

化简：

．

【例8】化简的结果是2x-5，则x的取值范围是（ ）

（A）x为任意实数（B）≤x≤4（C）x≥1（D）x≤1

举一反三：

若代数式的值是常数，则的取值范围是（　　）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．或

【例9】如果，那么a的取值范围是（）

A.a=0B.a=1C.a=0或a=1D.a≤1

举一反三：

1、如果成立，那么实数a的取值范围是（）

2、若，则的取值范围是（）

（A）（B）（C）（D）

【例10】化简二次根式的结果是

（A）（B）（C）（D）

1、把二次根式化简，正确的结果是（）

A. B. C. D.

2、把根号外的因式移到根号内：

当＞0时，＝；＝。

【例11】在根式1），最简二次根式是（）

A．1）2）B．3）4）C．1）3）D．1）4）

举一反三：

1、中的最简二次根式是。

2、下列根式中，不是最简二次根式的是（）

A． B． C． D．

3、下列根式不是最简二次根式的是（　）

A.　　　　　　B.　　　　　　C.　　　　D.

4、下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？

为什么？

（1）

（2）（3）（4）（5）（6）

5、把下列各式化为最简二次根式：

（1）

（2）（3）

【例12】下列根式中能与是合并的是（）

A.B.C.2D.

举一反三：

1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（）

A、B、C、D、

2、在二次根式：

①；②；③；④中，能与合并的二次根式是。

3、如果最简二次根式与能够合并为一个二次根式,则a=__________.

【例13】把下列各式分母有理化

（1）

（2）（3）（4）

【例14】把下列各式分母有理化

（1）

（2）（3）（4）

【例15】把下列各式分母有理化：

（1）

（2）（3）

举一反三：

1、已知，，求下列各式的值：

（1）

（2）

2、把下列各式分母有理化：

（1）

（2）（3）

小结：

一般常见的互为有理化因式有如下几类：

①与；             ②与；③与；      ④与．

【例16】化简

（1）

（2）（3）（4）（）（5）×

【例17】计算

（1）  

（2）      （3）  （4）

（5）      （6）  （7）         （8）

【例18】化简：

（1）

（2）（3）（4）

【例19】计算：

（1）

（2）（3）（4）

【例20】能使等式成立的的x的取值范围是（）

A、B、C、D、无解

【例20】计算

（1）；

（2）；

（3）；（4）

【例21】

（1）

（2）

（3）（4）

（5）（6）

知识点七：

二次根式计算——二次根式的混合计算与求值

1、2、（2+4－3）

3、·（-4）÷4、

5、）6、

7、8、

【例21】1．已知：

，求的值．

2．已知，求的值。

3．已知：

，求的值．

4．求的值．

5．已知、是实数，且，求的值．

知识点八：

根式比较大小

【知识要点】

1、根式变形法当时，①如果，则；②如果，则。

2、平方法当时，①如果，则；②如果，则。

3、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。

4、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。

5、倒数法

6、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。

7、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：

①；②

8、求商比较法它运用如下性质：

当a>0，b>0时，则：

①；②

【典型例题】

【例22】比较与的大小。

（用两种方法解答）

【例23】比较与的大小。

【例24】比较与的大小。

【例25】比较与的大小。

【例26】比较与的大小

二次根式典型习题集

一、概念

（一）二次根式

下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

、、、（x>0）、、、-、、（x≥0，y≥0）．

（二）最简二次根式

1．把二次根式（y>0）化为最简二次根式结果是（）．

A．（y>0）B．（y>0）C．（y>0）D．以上都不对

2．化简=_________．（x≥0）

3．a化简二次根式号后的结果是_________．

4.已知0，化简二次根式的正确结果为_________．

（三）同类二次根式

1．以下二次根式：

①；②；③；④中，与是同类二次根式的是（）．

A．①和②B．②和③C．①和④D．③和④

2．在、、、、、3、-2中，与是同类二次根式的有______

3．若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值．

4.若最简二次根式与是同类二次根式，求m、n的值．

（四）“分母有理化”与“有理化因式”

1.+的有理化因式是________；x-的有理化因式是_________．

--的有理化因式是_______．

2.把下列各式的分母有理化

（1）；

（2）；（3）；（4）．

二、二次根式有意义的条件：

1．

（1）当x是多少时，在实数范围内有意义？

（2）当x是多少时，+在实数范围内有意义？

（3）当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？

（4）当时，有意义。

2.使式子有意义的未知数x有（）个．

A．0B．1C．2D．无数

3．已知y=++5，求的值．

4．若+有意义，则=_______．

5.若有意义，则的取值范围是。

6．要是下列式子有意义求字母的取值范围

（1）

（2） （3） （4）

（5） （6）

三、二次根式的非负数性

1．若+=0，求a2004+b2004的值．

2．已知+=0，求xy的

3.若，求的值。

a＜0　

a≥0

四、的应用

1．a≥0时，、、-，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）．

A．=≥-B．>>-

C．<<-D．->=

2．先化简再求值：

当a=9时，求a+的值，甲乙两人的解答如下：

甲的解答为：

原式=a+=a+（1-a）=1；

乙的解答为：

原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17．

两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．

3．若│1995-a│+=