九年级数学下圆综合复习计算.doc
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切线的判定与性质
【知识要点】
1．直线与圆的三种位置关系
在图中，图
（1）、图
（2）、图（3）中的直线l和⊙O是什么关系?
2.切线的判定定理：
切线的判定定理：
经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
对定理的理解：
①经过半径外端；②垂直于这条半径．
注意：
定理中的两个条件缺少一个行不行?
定理中的两个条件缺一不可．（如图）
3.切线的判定方法
判定一条直线是圆的切线的三种方法：
（1）定义：
与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
（2）数量关系：
即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线．
（3）图形位置关系（判定定理）：
．经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
其中
（2）和（3）本质相同，只是表达形式不同．解题时，灵活选用其中之一。
4.切线的性质定理:
圆的切线垂直于经过切点的半径.
推论1：
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
推论2：
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
注意：
对于切线性质定理的两个推论：
①垂直于切线；②经过切点；③经过圆心，知道任意二个就可以推出第三个
【典型例题】
例1．下列说法正确的是（）
（1）与直径垂直的直线是圆的切线；
（2）到圆心距离等于半径的直线是圆的切线；
（3）经过半径外端点的直线是圆的切线；
（4）与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；
（5）经过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线．
A、
（1）
（2）（3）B、
（2）（3）（5）C、
（2）（4）（5）D、（3）（4）（5）
例2．如图所示，PBC是⊙O的割线，A点是⊙O上一点，且．
·O
P
A
B
C
求证：
PA是⊙O的切线．
例3．如图所示，已知：
梯形ABCD中AB∥CD，∠A=，腰BC是⊙O的直径，且BC=CD+AB．
求证：
AD和⊙O相切．
A
B
D
C
例4．如图所示，已知：
两个同心圆O中，大圆的弦AB、CD相等，且AB与小圆相切于点E．求证：
CD是小圆O的切线．
·
A
C
B
D
O
例5．如图所示，AB是⊙O的直径，BC为弦，C为弧AD的中点，过C作BD的垂线交BD的延长线于E点．求证：
CE与⊙O相切．
D
·
C
A
O
B
E
B
O
A
D
C
E
例6．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，AB=8，BC=5，若以AB为直径为⊙与DC相切于点E，则DC=。
【课堂练习】
一．填空题：
1．以边长为3、4、5的三角形的三个顶点为圆心，分别作圆与对边相切，则这三个圆的半径分别为，，.
2．已知⊙O的直径为，点O到直线的距离是方程的根，则直线与⊙O的位置关系是．
3．两个同心圆的半径分别为1cm和2cm，大圆的弦AB与小圆相切,则AB=cm.
4.如图1，AB是⊙O的直径，直线MN切半圆于C，AM⊥MN，BN⊥MN，若AM=，BN=，则AB=.
5．如图2，AB是⊙O的直径，延长AB到D，使BD=OB，DC切⊙O于C，则∠D=，∠ACD=，若半径为，AC=．
6．经过圆的直径两端点的切线必互相．
7．如图3，AB为⊙O的直径，MN切⊙O于C，交AB的延长线于M，∠ACN=，∠M=。
8．如图4，P为⊙O外一点，PB切⊙O于B，连结PO交⊙O于A，已知OB=5cm，则PB=．
·
A
B
D
C
O
图2
·
O
B
M
C
N
A
图3
·
O
P
B
A
图4
·
C
A
O
B
N
图1
M
二．选择题：
1．如图5所示，PA切⊙O于A，PA=，PO交⊙O于B，，则PB的长为（）
A、1cmB、2cmC、1.5cmD、
2．如图6所示，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，∠P=，则∠C=（）
A、B、C、D、
3．已知直径为13cm的圆，圆心到直线的距离是6.5cm，那么这条直线和这个圆的公共点个数是（）
A、0个B、1个C、2个D、不能确定
4．如图7，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=，以CD为直径的圆切AB于E点，AD=3，BC=4，则CD的长为（）
A、7B、3.5C、D、以上答案都不对
·
C
B
O
A
P
图6
C
·
A
B
O
D
D
E
图7
·
A
O
B
P
图5
三、解答题：
·
A
B
C
E
O
D
1．如图所示，已知：
AB是⊙O的直径，CD切⊙O于C，AD⊥CD，垂足为D，AD、BC相交于E．求证：
AB=AE．
·
A
B
C
E
O
D
2．如图所示，中，，以AC为直径作⊙O交AB于D，E为BC中点。
求证：
DE是⊙O的切线．
三角形的内切圆
【知识要点】
三角形的内接圆，三角形的内心，圆的外切三角形，以及相应的多边形的内切圆，圆的外切多边形．本节课通过作图题引入新的概念，说明作三角形的外切圆的重要性，另外学生要深刻理解三角形的内心的实质：
三角形三个内角平分线的交点．这对于解相关问题起点睛的作用．
常用公式：
已知三角形ABC三边分别为a,b,c面积为s，则其内切圆半径r=;
若该三角形为直角三角形，∠C=，则则其内切圆半径r=;
若等边三角形边长为m,则则其内切圆半径r=。
【经典例题】
·
A
O
B
C
例1．如图所示，O是的内心，且∠BOC=．求∠A的度数．
·
A
F
E
M
D
C
B
例2．如图所示，中，内切圆M与边BC、CA、AB分别相切于点D、E、F．若∠FDE=，求∠A的度数．
例3．如图所示，点I是的内心，AI的延长线交边BC于点D，交外接圆于点E．
（1）求证：
IE=BE；
（2）若IE=4，AE=8，求DE的长．
·
A
B
I
C
E
D
·
A
F
O
C
D
B
E
例4．如图所示，，∠C=，AB=10，AC=8，BC=6，⊙O为的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F．求⊙O的半径．
·
A
F
O
C
D
B
E
例5.如图所示，∠C=，⊙O为的内切圆，与三边的切点分别为D、E、F．求证：
【典型练习】
一、填空题
1．如图1，在中，∠ABC=，∠ACB=，点O是内心，则∠BOC的度数为．
2．直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么它的外接圆的半径为，内切圆半径为．
3．等边三角形内切圆半径，外接圆半径分别为，则=．
4．如图2，中，∠C=，⊙O是的内切圆，分别切BC、AC、AB于D、E、F，AB=8cm，OD=2cm，则的周长为cm．
5．外切于⊙O，E、F、G分别是⊙O与各边的切点，则的外心是的。
6．圆外切等腰梯形底角为，腰长为10，则圆的半径长为．
7．的内切圆⊙I与AB、BC、CA分别切于D、E、F点，且∠FID=∠EID=，则为三角形．
图4
·
A
B
C
O
D
E
F
·
图3
A
B
C
O
D
图1
·
O
B
C
A
8．如图3所示，在中，∠ABC=，∠ACB=，点O为的内心，BO的延长线交AC于D，则∠BDC=．
A
B
C
D
O
·
E
F
图2
9．等腰中，AB=AC=13，的面积为60．求的内切圆的半径=．
二、选择题
1．半圆圆心在的斜边BC上，且半圆分别外切AB、AC于D、E，AB=4，AC=5，则半圆的半径R为（）
A、B、C、D、
2．如图4，的内切圆⊙O分别切BC、CA、AB于D、E、F，如果∠A=，∠EDF的度数为（）
A、B、C、D、
3．一定有内切圆的四边形是（）
A、矩形B、菱形C、等腰梯形D、直角梯形
4．等边三角形的内切圆半径，外接圆半径的和高的比是（）
A、1:
:
B、1:
:
C、1:
2:
3D、1:
2:
5．等边三角形一边长为2，则其内切圆半径等于（）
A、B、C、D、
三、解答题
·
B
D
F
C
E
A
O
1．如图所示，的内切圆⊙O切斜边AB于点D，切BC于点F，BO的延长交AC于点E．求证：
．
2．如图所示，⊙O为的内切圆，切点分别是D、E、F，∠A:
∠B:
∠C=2:
3:
4．求∠EDF:
∠DEF:
∠EFD．
·
B
D
F
C
E
A
O
切线长定理
【知识要点】
1、切线长的概念．
如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA，PB叫做点P到⊙O的切线长．
2、切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
3、切线长定理的基本图形研究
如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．直线OP交⊙O于点D，E，交AP于C
（1）写出图中所有的垂直关系；
（2）写出图中所有的全等三角形；
（3）写出图中所有的相似三角形；
（4）写出图中所有的等腰三角形．
说明：
对基本图形的深刻研究和认识是在学习几何中关键，它是灵活应用知识的基础．
【典型例题】：
·
A
P
E
M
D
B
O
例1．如图所示，过半径为5cm的⊙O外一点P引⊙O的切线PA、PB，连结PO交⊙O于点M，过M作⊙O的切线分别交PA、PB于点E、D，如果OP=13cm，则的周长为
例2．已知：
如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，
A和B是切点，BC是直径．求证：
AC∥OP．
A
D
C
B
·
O
例3．如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=3，BC=2，半圆O与AD、DC、BC都相切，且圆心O在AB上，则AB=．
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