12.7分数指数幂教案.doc
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§12.7分数指数幂
（1）
教学目标：
1.理解分数指数幂的意义.
2.能将方根与分数指数幂互化，体会化归的数学思想.
教学重点及难点:
将方根与分数指数幂互化.
教学过程：
教师活动
学生活动
设计意图
一、复习引入
1.引言：
加法与减法互为逆运算，按照“减去一个数等于加上这个数的相反数”，减法可以转化为加法；同样，除法也可以转化为乘法.那么对互为逆运算的乘方与开方，能否将开方运算转化为某种乘方形式的运算呢？
2．思考：
把表示为2的次幂的形式.
引导分析：
（1）解决这个问题之前，先口答：
（用幂的形式表示）
（2）这是以前所学的整数指数幂，负整数指数幂可以转化为正整数指数幂.到目前为止2的任何整数指数幂都是有理数，而是一个无理数，可知不是整数.因此必须将指数的取值范围扩大，才有可能把表示为的形式.
（3）假设成立，问：
在等式成立的前提下，如何消除根号进行转化呢？
那么
说明：
原有的幂的运算性质应该保持不变.
左边=21，右边=
要使左边=右边成立，则，即
所以
追问1：
被开方数中2的指数是几？
（师可用红色粉笔标注出指数）
问2：
猜想=？
3.讨论
通过，，的转化，讨论方根与幂的形式如何互化？
（学生讨论）
二、学习新课
1．分数指数幂概念
师：
把指数的取值范围扩大到分数，我们规定
（其中、为整数，）.
【说明】在说明同样适用后，导出后一个负分数指数幂.
上面规定中的和叫做分数指数幂，是底数.
揭示课题：
12.7分数指数幂
[说明]指数的取值范围扩大到有理数后，方根就可以表示为幂的形式，开方运算可以转化为乘方形式的运算.
2.有理数指数幂
整数指数幂和分数指数幂统称有理数指数幂.
3．例题分析
例1把下列方根化为幂的形式：
（1）；
（2）；
（3）；（4）
每一题问：
如何转化？
谁做分数指数幂中指数的分母？
师：
刚才将方根转化为分数指数幂，反过来分数指数幂可以转化为方根进行开方运算.
例2计算：
（1）；
（2）；（3）；（4）.
解：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
小结：
可将分数指数幂转化为方根的形式再求值，最后写成分数指数幂的形式.
例3将幂的形式转化为方根形式：
（1）；
（2）；（3）；（4）
解：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
小结：
分数指数幂中指数的分母是方根中的根指数.
三、巩固练习
1.把下列方根化为幂的形式：
（1）；
（2）；（3）；
（4）．
*2.把下列幂化为方根的形式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
*3.把下列方根化为幂的形式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
4.计算（口答）：
（1）；
（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）．
四、课堂小结
学生自主小结：
你学到了什么?
你有什么体会或想法?
数学思想：
化归思想.
预设回答：
两边同时立方运算.
答：
1
，
预设回答：
被开方数中的底数转化为了幂的底数，被开方数中的指数转化为幂的指数中的分子，根指数转化为幂的指数中的分母.预设：
解：
（1）
（2）
（3）
（4）
师生共同完成.
师生共同完成.
学生独立练习.
1.解：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
2.解：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
3.解：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
4.解：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
预设：
1.分数指数幂意义;
2.将方根与指数幂互化.
问题引入，引发学生思考，为新知教学做铺垫.
温故而知新，让学生在已有知识的基础上体会从整数指数幂到分数指数幂，是幂的概念的又一次扩展.
让学生在已有经验的基础上体会：
在扩大指数的范围时，原有的幂的运算性质应该保持不变.从过程中体会转化的数学思想.
感受方根与幂的形式的转化过程.
通过观察得出方根与幂的形式的转化，从而得出分数指数幂的意义.
对比分析方根与幂的互化过程，体会两者间的联系.体会从特殊到一般的研究方法.
帮助学生理解分数指数幂的概念，学生能够直接应用概念.
若学生写也行.
利用分数指数幂的意义求幂的值，帮助学生进一步体会分数指数幂与方根的联系.
书上例3是用计算器运算，现在这样设计目的是让学生将分数指数幂和方根进行熟练转化.
培养学生自主解题及评价能力.通过练习掌握方根向幂的形式的转化，体会两者的联系，正确理解分数指数幂的概念．
通过练习掌握幂向方根形式的转化，体会方根与幂之间相互转化的关系，体现转化的数学思想．
利用分数指数幂的意义求幂的值，帮助学生进一步体会分数指数幂与方根的联系.同时提醒学生，当分数指数幂转化为方根形式时，如果根指数是偶数时，对应的是正的偶次方根；如果根指数是奇数时，则对应的是奇次方根．
熟练识记重用数的平方根和立方根．
对本节课所学知识进行初步的梳理.
课后作业
试题
解答
设计意图
A组
1.填空：
（1）=_____；
（2）=_____；
（3）=______；（4）=_____．
（练习册P12）
2.把下列方根形式写成幂的形式：
（1）；
（2）；（3）；
（4）．
（练习册P12）
*3.把下列幂化为方根的形式：
（1）；
（2）；
（3）；（4）．
4.计算：
（1）；
（2）；（3）；
（4）．
（练习册P13）
1.解：
（1）5；
（2）9；
（3）2；（4）．
2.解：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
3.解：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
4.解：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
．
通过将分数指数幂转化成方根的形式进行简单的计算，复习巩固转化的方法．
通过练习复习巩固方根向幂的形式的转化，体会两者的联系，正确理解分数指数幂的概念．
通过练习复习巩固幂向方根形式的转化，体会方根与幂之间相互转化的关系．
特别注意：
的灵活应用．
在实际计算时，先乘方后开方，往往由于数值较大，增加了开方的难度，所以常采用先开方后乘方的方法，既保证了计算的合理性，又提高了计算的速度和正确性．
也可以利用幂的运算性质进行计算，对于这样的学生教师应给予充分的鼓励和表扬．
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