小学数学《等差数列》练习题含答案文档格式.docx
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找找下面数列的项数：
4、7、10、13、……、40、43、46，分析：
配组：
（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46、47、48），注意等差是3，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有48-4+1=45项，每组3个数，所以共45÷
3=15组，原数列有15组.当然，我们还可以有其他的配组方法.
③求和公式：
和=（首项＋末项）×
项数÷
2
对于这个公式的得到我们可以从两个方面入手：
（思路1）1＋2＋3＋…＋98+99+100
＝101×
50=5050
（思路2）这道题目，我们还可以这样理解：
即，和=（100＋1）×
100÷
2＝101×
50＝5050
（4）中项定理
对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首相与末项和的一半；
或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数.
（1）4＋8＋12＋…＋32＋36=（4+36）×
9÷
2=20×
9=180，题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于20×
9；
（2）65＋63＋61＋…＋5＋3+1=（1+65）×
33÷
2=33×
33=1089，题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于33×
33.
如果是一个项数为偶数的等差数列，我们该如何运用这个公式呢？
其实我们可以将其去掉一项，变成奇数项，求和之后再加上去掉的那一项.中项定理也可用在速算与巧算中.
计算：
124.68＋324.68＋524.68＋724.68＋924.68
这是一列等差数列，项数是奇数，中间数是524.68，所以可以用5×
524.68=2623.4.
等差数列是小学奥数的一个重要知识，无论是竞赛还是小升初都是一个考核的重点.一部分题目是直接考数列，但更多的是结合到找规律、周期等问题进行考核.复习题目的重点就是让学生熟练掌握等差数列的求和、末项和项数的求解.不能让学生去单纯的背公式，而应该把原理讲透.
【复习2】
（1）3、5、7、9、11、13、15、……，这个数列有多少项？
它的第102项是多少？
（2）已知等差数列2、5、8、11、14…，问47是其中第几项？
（3）如果一等差数列的第4项为21，第6项为33，求它的第8项.
（1）它是一个无限数列，所以项数有无限多项.
第n项=首项+公差×
（n-1），所以，第102项=3+2×
（102-1）=205；
（2）首项=2，公差=3，我们可以这样看：
2、5、8、11、14…、47，
那么这个数列有：
n=（47-2）÷
3+1=16，（熟练后，此步可省略），即47是第16项；
（3）要求第8项，必须知道首项和公差.
第6项－第4项=（6－4）×
公差，所以，公差=6；
第4项=首项+3×
公差，21=首项+3×
6，所以，首项=3；
第8项=首项+7×
公差=45；
【复习3】某剧院有25排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有70个座位.问：
这个剧一共有多少个座位？
首项：
70-（25-1）×
2=22，座位总数：
（22+70）×
25÷
2=1150．
【复习4】小明从1月1日开始写大字。
第一天写了4个，以后每天比前一天多写相同数量的大字，结果全月（总共31天）共写了589个大字，问：
小明每天比前一天多写多少个字?
数列末项为：
589×
2÷
31－4=34，所以公差为（34－4）÷
30=1，小明每天比前一天多写1个大字．
例题精讲
【例1】巧算:
61+692+6993+69994+699995+6999996
分析:
原式=（70-9）+（700-8）+（7000-7）+（70000-6）+（700000-5）+（7000000-4）
=7777770-（9+8+7+6+5+4）
=7777731
【巩固】计算72+793+7994+79995+799996=.
原式=（80-8）+（800-7）+（8000-6）+（80000-5）+（800000-4）
=888880-（8+7+6+5+4）
=888850
【例2】计算：
0.1＋0.2＋0.3＋…＋0.9＋0.10＋0.11＋…＋0.98＋0.99
仔细观察发现这串数并不是一个等差数列，但是我们可以分为0.1至0.9和0.10至0.99两部分，这样就变成等差数列了，然后再求和.
第一部分：
0.1＋0.2＋0.3＋…＋0.9=4.5；
第二部分：
0.10＋0.11＋…＋0.98＋0.99=（0.1＋0.99）×
90÷
2=49.05；
因此总和等于：
49.05＋4.5=53.55.
【例3】
（04陈省身杯数学邀请赛）
计算：
（10-
×
1）+（9-
2）+（8-
3）+…+（2-
9）+（1-
10）=.
原式=（10+9+8+…+1）-
（1+2+3+…+10）
=55-
55=51
【例4】用相同的立方体摆成右图的形式，如果共摆了10层，那么最下面一层有多少个立方体？
从图可以看出最底层每一列的立方数分别为10，9，8，…，1．
所以最底层立方体数目为：
（10+1）×
10÷
2=55．要学会正确的读图．
【例5】
（05我爱数学夏令营）小于1000的能被3整除但不是5的倍数的所有自然数之和为多少？
能被3整除的数和为：
3+6+9+…+999=（3+999）×
333÷
2=166833，
即能被3整除，又能被5整除的数的和：
15+30+45+…+990=（15+990）×
66÷
2=33165，
小于1000的能被3整除但不是5的倍数的所有自然数之和：
166833-33165=133668．
【前铺】在1～100这一百个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？
我们先计算l～100的自然数和，再减去能被9整除的自然数和，就是所有不能被9整除的自然数和了．1+2+…+100=（1+100）×
2=5050，9+18+27+…+99=（9+99）×
11÷
2=594，所有不能被9整除的自然数和：
5050-594=4456．如果直接计算不能被9整除的自然数和，是很麻烦的，所以我们先计算所有1～100的自然数和，再排除掉能被9整除的自然数和，这样计算过程变得简便多了．
【巩固】在1～200这二百个自然数中，所有能被4整除或能被11整除的数的和是多少?
先求出能被4整除的自然数和，再求出能被11整除的自然数和，将二者相加，但是此时得到的不是题目需要的和，因为44，88等数在两个数列中都存在，也就是说能被44整除的数列被计算了两次，所以我们还应该减去能被44整除的数列和.
（4+8+12+…+200）+（11+22+33+…+198）-（44+88+132+176）=（4+200）×
50÷
2+（11+198）×
18÷
2-（44+176）×
4÷
2=6541．
【例6】已知有一个数列：
1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、3、4……，试问：
（1）15是这样的数列中的第几个到第几个数？
（2）这个数列中第100个数是几？
（3）这个数列前100个数的和是多少？
分析可得下表：
数：
1234567…141516……
个数：
2468101214…283032……
（1）2＋4＋6＋…＋28=210，所以15是第211个到240个
（2）在这个数列中前9组的个数是：
2＋4＋6＋…＋18=90个
这个数列前10组的个数是：
2＋4＋6＋…＋20=110
而90〈100〈110，所以第100个数是第10组中数，是10
（3）这个数列中前100个数的和是：
1×
2＋2×
4＋3×
6＋…＋9×
18＋10×
10=670
【例7】已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、…，问:
这个数列中第2000个数是多少?
第2003个数是多少?
奇数项的排列规律是：
2、4、6、8，…
偶数项的排列规律是：
3、6、9、12，…
先求出这两个数各自在等差数列中的项数：
第2000个数在偶数项等差数列中是第2000÷
2=1000个数，
第2003个数在奇数项等差数列中是第（2003+1）÷
2=1002个数，所以第2000个数是3000，第2003个数是2004.
【拓展】求出原题中的前100项和，并判断出100、111、120分别是数列中的第几项。
前100项的和=（3＋150）×
2＋（2+100）×
2=255×
25=6375，
100是2的倍数，所以是奇数项的第50项，原数列的第99项；
111是3的倍数，所以是偶数项的第37项，原数列的第74项；
同样，120是原数列的第80项和第119项.
【例8】
右图是一个堆放铅笔的V型架，如果V型架上一共放有210只铅笔，那么最上层有多少只铅笔？
每一层的铅笔数从上到下形成一个等差数列，公差为1；
设最上面一层的铅笔数为x，那么共有铅笔x（x+1）÷
2=210，x（x+1）=420，比较求解可得x=20.
【例9】学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了78场比赛.问：
有多少人参加了选拔赛？
我们假设有x个选手，根据题目中“每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场”，第一个选手要比x-1场；
第二个选手，由于第一个选手已经和他比赛过了，所以他只需要同剩下的x-2个选手比赛x-2场，依此类推，总比赛场数就是数列1，2，3，…，x-1的和．
设有x个选手，列出方程：
（1+x-1）×
（x-1）÷
2=78，x（x-1）=156，比较求解得x=13．
【例10】小明练习打算盘，他按照自然数的顺序从1开始求和，当加到某一个数的时候，和是1997，但他发现计算时少加了一个数，试问：
小明少加了哪个数？
用X表示小明少加的那个数,1997＋X=（1＋n）×
n÷
2，（1＋n）×
n=3994+2x,两个相邻的自然数的积比3994大一些，因为（1＋n）×
n和n2比较接近,可以先找3994附近的平方数,最明显的要数3600=60×
60,而后试算两个相邻自然数的乘积61×
62=3782,62×
63=3906,63×
64=4032,所以n=63,正确的和是2016,少加的数为:
2016-1997=19.
【例11】求一个自然数n，使得前n个自然数的和是一个三位数，并且该三位数的个位、十位、百位三个数码都相同。
设前n个自然数的和等于111a，其中a是不大于9的自然数，则有
当a＝6时，上式化为n（n＋1）＝36×
37，比较知n＝36.
附加题目
【附1】计算：
2000×
l999-l999×
l998+1998×
l997-1997×
l996+…+4×
3-3×
2+2×
1．
原式=1999×
（2000-1998）+1997×
（1998-1996）+…+3×
（4-2）+2×
l
=1999×
2+1997×
2+……+3×
1
=2×
（1999+1997+…+3+1）
=2000000．
【附2】计算：
1+3+4+6+7+9+10+12+13+…+66+67+69+70；
可以把这个数列拆分为两个数列1+4+7+9+13+…+67+70和3+6+9+12+…+66+69，对他们分别求和：
（1+70）×
24÷
2+（3+69）×
23÷
2=1680；
【巩固】2+4+8+10+14+16+20+22+…+92+94+98+100；
拆分为2+8+14+20+…+92+98和4+10+16+22+…+94+100：
（2+98）×
17÷
2+（4+100）×
2=1734.
【附3】盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；
第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。
这时盒子里共有多少只乒乓球？
一只球变成3只球，实际上多了2只球.第一次多了2只球，第二次多了2×
2只球……第十次多了2×
10只球。
因此拿了十次后，多了
2×
1＋2×
2＋…＋2×
10
＝2×
（1＋2＋…＋10）
55＝110（只）
加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）
【附4】李明玩投放石子游戏，从A点出发，走1米放1枚石子；
再走4米有放下3枚石子；
再走7米，放下5枚石子；
再走10米放下7枚石子…….照此规律最后走到B处共放下石子35枚，从A点到B点的路程是多少米？
N=（35-1）÷
2＋1=18，末项=1＋3×
（18-1）=52，和=（1＋52）×
2=477（米）.
【附5】观察下面的数阵，容易看出，第n行最右边的数是
，那么，第20行最左边的数是几？
第20行所有数字的和是多少？
第20行最左边的数等于
＋1=362，该行共有（
－
）个数
（362＋400）×
39÷
2=14559
【附6】从两位的自然数中，每次取两个不同的数要使这两个数的和是三位自然数，有多少种取法？
要使和为3位数，假设一个数为n，则另一个数必须大于100-n，同时为了防止取重复（比如已经取了50，51又取51，50），我们只取比n大的数，按照这个原则，可以写出一个数列．
10有90～99,10种取法;
11有89～99,11种取法;
……;
49有51～99,49种取法;
50有51～99,49种取法;
51有52～99,48种取法;
98有99,1种取法.
（10+11+12+…+49）+（49+48+47+…+2+1）=（10+49）×
40÷
2+（1+49）×
49÷
2=2405，对这个数列求解就可以得到总共有2405种取法．
【附7】有一列数：
l，2，4，7，1l，16，22，29，37，…，问这列数第1001个数是多少?
从题目中可以看出第二个数与第一个数差1，第三个数与第二个数相差2，第四个数与第三个数相差3，……，依此类推，以后每项数与前一项的差都会依次增加1，因此有以下规律：
第1个数：
1=1，
第2个数：
2=1+1，
第3个数：
4=2+2=1+1+2，
第4个数：
7=3+4=1+1+2+3，
第5个数：
11=4+7=4+1+1+2+3=1+1+2+3+4，
第6个数：
16=5+11=5+1+1+2+3+4=1+1+2+3+4+5，
……
第n个数：
1+1+2+3+4+5+…+（n-1）．
第1001个数为：
1+1+2+3+4+5+…+（1001-1）=1+1+2+3+4+5+…+l000=l+500500=5005001
【附8】
（04走进美妙数学花园）黑板上写有从1开始的一些连续奇数：
1，3，5，7，9，…，
擦去其中一个奇数以后，剩下的所有奇数的和是2008，那么擦去的奇数是.
1，3，5，7，…，（2n-1），这n个奇数之和等于n2，452=2025，擦去的奇数是2025-2008=17．
【附9】
（希望杯数学邀请赛）观察下面的序号和等式，填括号.
序号等式
11＋2＋3=6
33＋5＋7=15
55＋8＋11=24
77＋11＋15=33
∶ ∶∶ ∶ ∶
（） （）＋（）＋7983=（）
可以这样想：
（1）表中各竖行排列的规律是什么？
（等差数列）
（2）表中这四个括号，应先填哪一个？
为什么？
这个括号里的数怎么求？
应先填左起第一个，因为它是序号，表示了其他三个括号里的数在各自的等差数列中所在的位置，即各自的项数.
第一个括号：
（7983-3）÷
4＋1=1996，1＋（1996-1）×
2=3991；
第二个括号：
1＋（1996-1）×
第三个括号：
根据等差数列通项公式：
2＋（1996-1）×
3=5987或3991+1996=5987；
第四个括号：
6＋（1996-1）×
9=17961或3991+5987+7983=17961.
练习六
1．计算：
0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.1l+0.13+0.15+0.17+…+0.97+0.99．
原式=（0.1+0.3+0.5+0.7+0.9）+（0.11+0.13+0.15+0.17+…+O.97+0.99）
=（0.1+0.9）×
5÷
2+（0.11+0.99）×
45÷
=2.5+24.75
=27.25．
2．100到200之间不能被3整除的数之和是多少？
考虑能被3整除的各数之和102＋１05＋…＋198;
然后（100＋101＋102＋…＋200）—（102＋105＋…＋198）＝10200.
3．将自然数按下面的形式排列
234
56789
10111213141516
171819202122232425
问：
第10行最左边的数是几？
第10行所有数的和是多少？
第10行最左边的数是82，最右边的数是100，第10行所有数的和（82＋100）×
19÷
2=1729.
4．某次宴会结束时总共握手45次，如果参加宴会的每一个人，和其他参加宴会的每一个人都只握一次手。
参加宴会的一共有多少人？
经试验：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=45，所以一共有10人参加宴会.
5．木木练习口算，她按照自然数的顺序从1开始求和，当计算到某个数时，和是888，但她重复计算了其中一个数字.问：
木木重复计算了哪个数字？
用X表示小明多加的那个数,888－X=（1＋n）×
n=1776-2x,
两个相邻的自然数的积是比1776小一些的一个数，先找1776附近的平方数,1600=40×
40=1600,试算:
40×
41=1640,41×
42=1722,42×
43=1806,所以n=41,所以X=（1776－41×
42）÷
2=27.
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