小学数学《等差数列》练习题含答案文档格式.docx

1、找找下面数列的项数：4、7、10、13、40、43、46 ，分析：配组：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、（46、47、48），注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有48-4+1=45项，每组3个数，所以共453=15组，原数列有15组. 当然，我们还可以有其他的配组方法. 求和公式：和=（首项末项）项数2对于这个公式的得到我们可以从两个方面入手：（思路1）12398+99+10010150=5050（思路2）这道题目，我们还可以这样理解：即，和= （1001）1002101505050

2、（4）中项定理对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首相与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数.（1）48123236=（4+36）92=209=180，题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209 ；（2）65636153+1=（1+65）332=3333=1089 ，题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333 .如果是一个项数为偶数的等差数列，我们该如何运用这个公式呢？其实我们可以将其去掉一项，变成奇数项，求和之后再加上去掉的那一项 .中项定理也可用在速算与巧算中.计算：124.68324

3、.68524.68724.68924.68这是一列等差数列，项数是奇数，中间数是524.68，所以可以用5524.68=2623.4 .等差数列是小学奥数的一个重要知识，无论是竞赛还是小升初都是一个考核的重点.一部分题目是直接考数列，但更多的是结合到找规律、周期等问题进行考核.复习题目的重点就是让学生熟练掌握等差数列的求和、末项和项数的求解.不能让学生去单纯的背公式，而应该把原理讲透.【复习2】（1）3、5、7、9、11、13、15、 ，这个数列有多少项？它的第102项是多少？（2）已知等差数列2、5、8、11、14 ，问47是其中第几项？（3）如果一等差数列的第4项为21，第6项为33，求它

4、的第8项.（1）它是一个无限数列，所以项数有无限多项.第n项=首项+公差（n-1），所以，第102项=3+2（102-1）= 205 ；（2）首项=2 ，公差=3 ，我们可以这样看：2、5、8、11、14 、47 ，那么这个数列有：n=（47-2）3+1=16 ，（熟练后，此步可省略），即47是第16项 ；（3）要求第8项，必须知道首项和公差.第6项第4项=（64）公差 ，所以 ，公差= 6 ；第4项=首项+3公差 ，21=首项+36 ，所以，首项=3 ；第8项=首项+7公差=45 ；【复习3】某剧院有25排座位，后一排比前一排多两个座位，最后一排有70个座位.问：这个剧一共有多少个座位？首项

5、：70-（25-1）2=22 ， 座位总数：（22+70）252=1150 【复习4】小明从1月1日开始写大字。第一天写了4个，以后每天比前一天多写相同数量的大字，结果全月（总共31天）共写了589个大字，问：小明每天比前一天多写多少个字?数列末项为：5892314=34，所以公差为（344）30=1，小明每天比前一天多写1个大字 例题精讲【例1】巧算: 61+692+6993+69994+699995+6999996分析:原式=（70-9）+（700-8） +（7000-7）+（70000-6）+（700000-5）+（7000000-4）=7777770-（9+8+7+6+5+4）=777

6、7731【巩固】计算72+793+7994+79995+799996= .原式=（80-8）+（800-7）+（8000-6）+（80000-5）+（800000-4）=888880-（8+7+6+5+4）=888850【例2】计算：0.10.20.30.90.100.110.980.99仔细观察发现这串数并不是一个等差数列，但是我们可以分为0.1至0.9和0.10至0.99两部分，这样就变成等差数列了，然后再求和.第一部分：0.10.20.30.9=4.5；第二部分：0.100.110.980.99=（0.10.99）902=49.05；因此总和等于：49.054.5=53.55 .【例3】

7、（04陈省身杯数学邀请赛） 计算：（10-1）+（9-2）+（8-3）+（2-9）+（1-10）= . 原式=（10+9+8+1）- （1+2+3+10） =55-55=51【例4】用相同的立方体摆成右图的形式，如果共摆了10层，那么最下面一层有多少个立方体？从图可以看出最底层每一列的立方数分别为10，9，8，1所以最底层立方体数目为：（10+1）102=55要学会正确的读图【例5】（05我爱数学夏令营）小于1000的能被3整除但不是5的倍数的所有自然数之和为多少？能被3整除的数和为：3+6+9+999= （3+999）333 2=166 833，即能被3整除，又能被5整除的数的和：15+30

8、+45+990= （15+990）662=33 165，小于1000的能被3整除但不是5的倍数的所有自然数之和：166 833-33 165=133 668【前铺】在1100这一百个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？我们先计算l100的自然数和，再减去能被9整除的自然数和，就是所有不能被9整除的自然数和了1+2+100=（1+100）2=5050，9+18+27+99=（9+99）112=594，所有不能被9整除的自然数和：5050-594=4456如果直接计算不能被9整除的自然数和，是很麻烦的，所以我们先计算所有1100的自然数和，再排除掉能被9整除的自然数和，这样计算过程变得简便多

9、了【巩固】在1200这二百个自然数中，所有能被4整除或能被11整除的数的和是多少?先求出能被4整除的自然数和，再求出能被11整除的自然数和，将二者相加，但是此时得到的不是题目需要的和，因为44，88等数在两个数列中都存在，也就是说能被44整除的数列被计算了两次，所以我们还应该减去能被44整除的数列和.（4+8+12+200）+（11+22+33+198）-（44+88+132+176）=（4+200）502+（11+198）182-（44+176）42=6541【例6】已知有一个数列：1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、3、4，试问：（1）15是这样的数列中的第几个到第几个数？（2）这

10、个数列中第100个数是几？（3）这个数列前100个数的和是多少？分析可得下表： 数：1 2 3 4 5 6 7 14 15 16 个数：2 4 6 8 10 12 14 28 30 32（1）24628=210，所以15是第211个到240个（2）在这个数列中前9组的个数是：24618=90个 这个数列前10组的个数是：24620=110而90100110，所以第100个数是第10组中数，是10（3）这个数列中前100个数的和是：1224369181010=670【例7】已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、，问:这个数列中第2000个数是多少?第2003个数是多少?奇数项的排列规律是：2

11、、4、6、8， 偶数项的排列规律是：3、6、9、12，先求出这两个数各自在等差数列中的项数：第2000个数在偶数项等差数列中是第20002=1000个数，第2003个数在奇数项等差数列中是第（2003+1）2=1002个数 ，所以第2000个数是3000，第2003个数是2004 .【拓展】求出原题中的前100项和，并判断出100、111、120分别是数列中的第几项。前100项的和=（3150）2（2+100）2=25525=6375 ，100是2的倍数，所以是奇数项的第50项，原数列的第99项 ；111是3的倍数，所以是偶数项的第37项，原数列的第74项 ；同样，120是原数列的第80项和第

12、119项 .【例8】右图是一个堆放铅笔的V型架，如果V型架上一共放有210只铅笔，那么最上层有多少只铅笔？每一层的铅笔数从上到下形成一个等差数列，公差为1 ；设最上面一层的铅笔数为x，那么共有铅笔x （x+1）2=210，x （x+1）=420，比较求解可得x=20.【例9】学校进行乒乓球选拔赛，每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，一共进行了78场比赛.问：有多少人参加了选拔赛？ 我们假设有x个选手，根据题目中“每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场”，第一个选手要比x-1场；第二个选手，由于第一个选手已经和他比赛过了，所以他只需要同剩下的x-2个选手比赛x- 2场，依此类推，总比赛场数就

13、是数列1，2，3，x- 1的和设有x个选手，列出方程：（1+x-1）（x-1）2=78，x（x-1）=156，比较求解得x=13【例10】小明练习打算盘，他按照自然数的顺序从1开始求和，当加到某一个数的时候，和是1997，但他发现计算时少加了一个数，试问：小明少加了哪个数？用X 表示小明少加的那个数,1997X=（1n）n2，（1n）n=3994+2x,两个相邻的自然数的积比3994大一些，因为（1n）n和n2比较接近,可以先找3994附近的平方数,最明显的要数3600=6060,而后试算两个相邻自然数的乘积6162=3782,6263=3906,6364=4032,所以n=63,正确的和是2

14、016,少加的数为: 2016-1997=19.【例11】求一个自然数n，使得前n个自然数的和是一个三位数，并且该三位数的个位、十位、百位三个数码都相同。设前n个自然数的和等于111a，其中a是不大于9的自然数，则有当a6时，上式化为n（n1）3637，比较知n36. 附加题目【附1】计算：2000l999-l999l998+1998l997-1997l996+43-32+21原式=1999（2000-1998）+1997（1998-1996）+3（4-2）+2l=19992+19972+31=2（1999+1997+3+1）=2000000【附2】计算：1+3+4+6+7+9+10+12+1

15、3+66+67+69+70；可以把这个数列拆分为两个数列1+4+7+9+13+67+70和3+6+9+12+66+69，对他们分别求和：（1+70）242+（3+69）232=1680；【巩固】2+4+8+10+14+16+20+22+92+94+98+100；拆分为2+8+14+20+92+98和4+10+16+22+94+100：（2+98）172+（4+100）2=1734 .【附3】盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里

16、。这时盒子里共有多少只乒乓球？一只球变成3只球，实际上多了2只球.第一次多了2只球，第二次多了22只球第十次多了210只球。因此拿了十次后，多了21222102（1210）55110（只）加上原有的3只球，盒子里共有球1103113（只）【附4】李明玩投放石子游戏，从A点出发，走1米放1枚石子；再走4米有放下3枚石子；再走7米，放下5枚石子；再走10米放下7枚石子.照此规律最后走到B处共放下石子35枚，从A点到B点的路程是多少米？ N=（35-1）21=18，末项=13（18-1）=52，和=（152）2=477（米）.【附5】观察下面的数阵，容易看出，第n行最右边的数是，那么，第20行最左边

17、的数是几？第20行所有数字的和是多少？ 第20行最左边的数等于1=362，该行共有（）个数（362400）392=14559【附6】从两位的自然数中，每次取两个不同的数要使这两个数的和是三位自然数，有多少种取法？ 要使和为3位数，假设一个数为n，则另一个数必须大于100-n，同时为了防止取重复（比如已经取了50，51又取51，50），我们只取比n大的数，按照这个原则，可以写出一个数列 10有9099 , 10种取法 ; 11有8999 , 11种取法 ; 49有5199 , 49种取法 ;50有5199 , 49种取法 ;51有5299 , 48种取法 ;98有99,1种取法. （10+11+

18、12+49）+（49+48+47+2+1）=（10+49）402+（1+49）492=2405，对这个数列求解就可以得到总共有2405种取法【附7】有一列数：l，2，4，7，1l，16，22，29，37，问这列数第1001个数是多少?从题目中可以看出第二个数与第一个数差1，第三个数与第二个数相差2，第四个数与第三个数相差3，依此类推，以后每项数与前一项的差都会依次增加1，因此有以下规律：第1个数：1=1，第2个数：2=1+1，第3个数：4=2+2=1+1+2，第4个数：7=3+4=1+1+2+3，第5个数：11=4+7=4+1+1+2+3=1+1+2+3+4，第6个数：16=5+11=5+1+

19、1+2+3+4=1+1+2+3+4+5，第n个数：1+1+2+3+4+5+（n-1）第1001个数为：1+1+2+3+4+5+（1001-1）=1+1+2+3+4+5+l000=l+500 500=5005001【附8】（04走进美妙数学花园） 黑板上写有从1开始的一些连续奇数： 1，3，5，7，9，擦去其中一个奇数以后，剩下的所有奇数的和是2008，那么擦去的奇数是 . 1，3，5，7，（2n- 1），这n个奇数之和等于n2，452= 2025，擦去的奇数是2025-2008=17【附9】（希望杯数学邀请赛）观察下面的序号和等式，填括号. 序号 等式1 1 2 3= 63 3 5 7= 15

20、5 5 8 11= 247 7 11 15= 33 （ ）（ ）（ ）7983=（ ）可以这样想：（1）表中各竖行排列的规律是什么？（等差数列）（2）表中这四个括号，应先填哪一个？为什么？这个括号里的数怎么求？应先填左起第一个，因为它是序号，表示了其他三个括号里的数在各自的等差数列中所在的位置，即各自的项数.第一个括号：（7983-3）41=1996 ，1（1996-1）2=3991 ；第二个括号：1（1996-1）第三个括号：根据等差数列通项公式：2（1996-1）3=5987 或 3991+1996=5987 ；第四个括号：6（1996-1）9=17961 或3991+5987+7983=

21、17961. 练习六1计算：0.1+0.3+0.5+0.7+0.9+0.1l+0.13+0.15+0.17+0.97+0.99原式=（0.1+0.3+0.5+0.7+0.9）+（0.11+0.13+0.15+0.17+O.97+0.99）=（0.1+0.9）52+（0.11+0.99）45=2.5+24.75=27.252100到200之间不能被3整除的数之和是多少？考虑能被3整除的各数之和10205198 ;然后（100101102200）（102105198）10200.3将自然数按下面的形式排列2 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 1617 18 19 20 2

22、1 22 23 24 25问：第10行最左边的数是几？第10行所有数的和是多少？第10行最左边的数是82，最右边的数是100，第10行所有数的和（82100）192=1729.4某次宴会结束时总共握手45次，如果参加宴会的每一个人，和其他参加宴会的每一个人都只握一次手。参加宴会的一共有多少人？经试验：123456789=45，所以一共有10人参加宴会.5木木练习口算，她按照自然数的顺序从1开始求和，当计算到某个数时，和是888，但她重复计算了其中一个数字.问：木木重复计算了哪个数字？ 用X 表示小明多加的那个数,888X=（1n）n=1776-2x ,两个相邻的自然数的积是比1776小一些的一个数，先找1776附近的平方数,1600=4040=1600,试算:4041=1640,4142=1722,4243=1806,所以n=41,所以X=（17764142）2=27 .