全等三角形复习资料搜集整理版Word文档格式.docx
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（3）“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；
（4）时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”
第十二章轴对称
一、轴对称图形
1.把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
2.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。
这条直线叫做对称轴。
折叠后重合的点是对应点,叫做对称点
3、轴对称图形和轴对称的区别与联系
4.轴对称的性质
①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
二、线段的垂直平分线
1.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等
3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上
三、用坐标表示轴对称小结：
在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.
点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为______.
点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为______.
2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等
四、（等腰三角形）知识点回顾
1.等腰三角形的性质
①.等腰三角形的两个底角相等。
（等边对等角）
②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
（三线合一）
2、等腰三角形的判定：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
（等角对等边）
五、（等边三角形）知识点回顾
1.等边三角形的性质：
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于600。
2、等边三角形的判定：
①三个角都相等的三角形是等边三角形。
②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。
3.在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
4.直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半、
常见图形
一、轴对称型：
二、相交线型
三、旋转型
１．三角形全等的判定一（SSS）
1．如图，AB＝AD，CB＝CD．△ABC与△ADC全等吗？
为什么？
２．如图，C是AB的中点，AD＝CE，CD＝BE．
求证△ACD≌△CBE．
３．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB=DE，AC=DF， BE=CF．求证∠A=∠D．
４．已知，如图，AB=AD，DC=CB．求证：
∠B=∠D。
５．如图,AD＝BC,AB＝DC,DE＝BF.求证：
BE＝DF.
２．三角形全等的判定二（SAS）
1．如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．求证DC∥AB．
2．如图，△ABC≌△
，AD，
分别是△ABC，△
的对应边上的中线，AD与
有什么关系？
证明你的结论．
3．如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论．
4．已知：
如图，AD∥BC，AD=CB，求证：
△ADC≌△CBA．
5．已知：
如图AD∥BC，AD=CB，AE=CF。
求证：
△AFD≌△CEB．
6．已知，如图，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。
△ABD≌△ACE．
7．已知:
如图,点B,E,C,F在同一直线上,AB∥DE,且AB=DE,BE=CF.求证:
AC∥DF．
8．已知:
如图,AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:
BE∥CF．
9．如图,在△ABC中,分别延长中线BE、CD至F、H,使EF＝BE,DH＝CD,连结AF、AH．求证：
（1）AF＝AH；
（2）点A、F、H三点在同一直线上；
（3）HF∥BC.
10．如图,在△ABC中,AC⊥BC,AC＝BC,直线EF交AC于F,交AB于E,交BC的延长线于D,连结AD、BF,CF＝CD.求证：
BF＝AD,BF⊥AD.
11．证明：
如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等．（提示：
首先分清已知和求证，然后画出图形，再结合图形用数学符号表示已知和求证）
12．证明：
如果两个三角形有两条边和第三边上的中线对应相等，那么这两个三角形全等．
13.已知：
如图，正方形ABCD，BE=CF，求证：
（1）AE=BF；
（2）AE⊥BF.
14．已知：
E是正方形ABCD的边长AD上一点，BF平分∠EBC，交CD于F，求证BE=AE+CF.（提示：
旋转构造等腰）
15.如图,△ABD和△ACE是△ABC外两个等腰直角三角形,∠BAD=∠CAE=900.
（1）判断CD与BE有怎样的数量关系;
（2）探索DC与BE的夹角的大小.（3）取BC的中点M，连MA，探讨MA与DE的位置关系。
３～４．三角形全等的判定三、四（ASA、AAS）
1．如图，点B，F，C，E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD．求证AB=DE，AC=DF．
2．如图，∠ACB=90°
，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm．
求BE的长．
3．已知，D是△ABC的边AB上的一点，DE交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。
AE=CE。
如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AD∥BC．求证：
△ABD≌△CDB
5．如图,在△ABC中,AC⊥BC,CE⊥AB于E,AF平分∠CAB交CE于点F,过F作FD∥BC交AB于点D.求证：
AC＝AD.
6．如图,AD∥BC,AB∥DC,MN＝PQ.求证：
DE＝BE.
7．如图,在ABC中,∠A＝90°
BD平分B,DE⊥BC于E,且BE＝EC,
（1）求∠ABC与∠C的度数；
（2）求证：
BC＝2AB.
8．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC.
（1）求证：
AE⊥BE；
（2）求证：
E是CD的中点；
（3）求证：
AD+BC=AB.
9．已知，如图Rt△ABC，∠BAC=90°
，AD⊥BC，D为垂足，∠ABD的平分线交AD于E点，EF∥AC，求证：
AE=EF.
10．△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°
AB=AC.
⑴若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N，
DM＝DN。
⑵若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N。
问DM和DN有何数量关系。
11．已知：
C点的坐标为（4，4），A为y轴负半轴上一动点，连CA，CB⊥CA交
x轴于B。
①求证：
CA＝CB；
②问OB－OA是否为定值，是定值并求其定值。
12．已知A（－4，0），B（0，4），C（0，－4），过O作OM⊥ON分别交AB、AC于M、N两点。
①求证：
OM＝ON；
②连MN，MN交x轴于Q，若M点的纵坐标为3，求M与N的坐标。
５．三角形全等的判定五（HL）
1．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是高．求证：
（1）BD=CD；
（2）∠BAD＝∠CAD．
2．如图，AC⊥CB，DB⊥CB，AB＝DC．求证：
∠ABD＝∠ACD．
3．已知：
如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，
．
（1）
；
（2）
4．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DB=DC，求证：
EB=FC
5．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．
AD是△ABC的角平分线．
６．角的平分线的性质
1．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB=OC．
求证∠1=∠2．
2．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA交OA于D，PE⊥OB交OB于E．F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证DF=EF．
3．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．
4．如图,在ABC中,∠A＝90°
（2）求证：
７．倍长中线法与截长补短法
1．在△ABC中，AB=5，AC=3，AD为BC边的中线，则AD的长
的取值范围是（）.
A.1<
<
4B.3<
5C.2<
3D.0<
5
2．AD是△ABC中BC边上的中线，AB=4，AC=6，则AD的取值范围是.
3．如图,△ABD和△ACE是△ABC外两个等腰直角三角形,∠BAD=∠CAE=900.
（1）判断CD与BE有怎样的数量关系;
4．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD上一点，且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC.
5．如图△ABC中，∠A=500，AB>
AC，D、E分别在AB、AC上，且BD=CE,∠BCD=∠CBE，BE、CD相交于O点，求∠BOC的度数.
6．△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF，E在AB边上，F在AC边上，判断并证明BE+CF与EF的大小？
.
7．已知：
如图，在△ABC中，∠A=90°
，AB=AC，∠1=∠2，求证：
BC=AB+AD．
（分别用截长法和补短法各证一次）
8．已知，如图，在正方形ABCD中AB=AD，∠B＝∠D＝90°
（1）如果BE＋DF＝EF，求证：
①∠EAF＝45°
②FA平分∠DFE．
（2）如果∠EAF＝45°
，求证：
①BE＋DF＝EF．②FA平分∠DFE．
（3）如果点F在DC的延长线上，点E在CB的延长线上，且DF－BE
＝EF，求证：
②FA平分∠DFE．（画图并证明）
８．全等三角形检测
一．选择题：
1.在△ABC、△DEF中如果∠C=∠D,∠B=∠E,要使△ABC≌△FED,还需要的条件是（）
A.AB=EDB.AB=FDC.AC=FDD.∠A=∠F
2.如图：
AB∥CD，AD∥BC，AC、BD交于点O，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F点，那么图中全等三角形共有（）
A.5对B.6对C.7对D.8对
3.如图，D在AB上，E在AC上且∠B=∠C,那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（）
A.AD=AEB.∠AEB=∠ADCC.BE=CDD.AB=AC
4.如图：
某同学把一块三角形玻璃打碎成了三块，现有要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）
A.带①去B.带②去
C.带③去D.带①和②去
5.下列说法中，正确的个数是（）
①两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；
②两角及第三角的平分线对应相等的两个三角形全等；
③两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；
④有两边相等的直角三角形全等；
⑤腰和一个角分别对应相等的两等腰三角形全等。
A.1个B.2个C.3个D.4个
6.在△ABC中，AB=5，AC=3，AD为BC边的中线，则AD的长
7.下列四个命题:
①直角三角形只有一条高线；
②有两边对应相等的两个直角三角形一定全等；
③两内角之差等于第三个内角的三角形必为直角三角形;
④腰和底角对应相等的两个等腰三角形一定全等.其中正确的命题有（）.
A.1个B.2个C.3个D.4个
8.等腰三角形周长为
，一腰的中线将周长分成5:
3两部分,则它的底边长为（）.
A.
B.
C.
或
D.
9.下列条件中，能判断两个等腰三角形全等的条件的个数是（）.
①顶角和一条腰对应相等；
②一条腰和底边对应相等；
③顶角和底边对应相等；
④两条腰和底角对应相等．
10.已知：
如图，BD为△ABC的的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足.下列结论：
①△ABD≌△EBC；
②∠BCE+∠BCD=180°
③AD=AE=EC；
④BA+BC=2BF.其中正确的是（）.
A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④
11.如图：
已知AD⊥AB，AE⊥AC，AD=AB，AE=AC则下列结论：
①∠DAC=∠BAE；
②△DAC≌△BAE；
③DC⊥BE；
④MA平分∠DME；
⑤△BMC≌△CEA；
正确个数是（）
A.2个B.3个C.4个D.5个
12.如图P是等腰Rt△ABC斜边AC上任意一点，PE⊥AB于E,PF⊥BC于F,PG⊥EF于G,在GP的延长线上取一点D,使PD=PB,则BC与DC关系是（）
A.BC=DCB.BC=DC，且BC⊥DC
C.BC>
DCD.BC⊥DC
二．填空题：
13.AD是△ABC中BC边上的中线，AB=4，AC=6，则AD的取值范围是.
14.如图△ABC中，∠A=500，AB>
AC，D、E分别在AB、AC上，且BD=CE,∠BCD=∠CBE，BE、CD相交于O点，则∠BOC的度数为.
15.已知：
如图，点A在线段DE上，点F在线段AB上，且∠1=∠2=∠3，要使得△ABC≌△EDC，需要添加的一个条件是
_____________（只需写出一个满足的条件）
16.已知△ABC中，高AD与高BE交于H点，BH=AC，则∠ABC的度数等于.
17.如图,∠1=∠2=25°
∠3=∠4,∠5=∠6，则∠7=.
18.有一张等腰三角形纸片,若能从一个底角的顶点出发,将其剪成两个等腰三角形纸片,则原等腰三角形纸片的顶角为度.
三．解答题：
19．如图，已知：
AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE．
20．如图，AB＝AD，BC＝DE，∠1＝∠2，求证：
（1）AC＝AE；
（2）∠CAE＝∠CDE
21．已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BE＝AC，延长BE交AC于F，求证：
AF＝EF．
22．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，并且AE＝
（AB＋AD）．①求证：
BC=DC．②求∠ABC＋∠ADC的度数．
23．如图，△ABE和△ACF分别是以△ABC的AB、AC为一边在形外所作的等边三角形，BF与CE相交于O．①求证：
BF=EC．②求∠EOB的度数．③求证：
OA平分∠EOF．
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