行列式的计算及应用.docx

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行列式的计算及应用

摘要

行列式理论是代数学的重要组成部分,并成为一种重要的学习工具，不仅用来计算高等代数问题，还可以用来解决初等数学中的一些重点难点问题，因此懂得解行列式就非常重要．本文总结了行列式的几种计算方法，并对每种方法进行例题跟踪，并叙述了行列式在初中代数和解析几何等几个方面的应用，以便更好的运用行列式解决实际的问题．

关键词：

线性方程组;行列式;初中代数；解析几何

Abstract

Thedeterminantisanimportantcomponentofthetheoryofalgebra,andbecomeanimportantmathematicaltool,soitisveryimportanttoknowthesolutiondeterminant.Thispapersummarizeselevenmethodsofcalculatingthedeterminant,andeachmethodareexamplesoftracking.Alsodescribesthedeterminantintheapplicationofthetwoaspectsofjuniorhighschoolalgebraandanalyticgeometry,tosolveseriesofproblemsinseveralaspects,inordertobetterusethedeterminanttosolvepracticalproblems.　　

Keywords:

linearequations;determinant;juniorhighschool;algebraanalytic

geometry

第1节利用行列式定义与性质计算………………………………………………….1

第2节化三角形法………………………………………………………………….....3

第3节降阶法……………………………………………………………………...…..4

第4节递推公式法及数学归纳法………………………………………………….....5

第5节利用范德蒙行列…………………………………………………………….....7

第6节行列式的特殊计算法……………………………………………………...…..8

第2章行列式的应用……………………………………………………………………..11

第3节行列式在多项式理论中的应用……………………………………………...14

第１章行列式的计算方法

第1节利用行列式定义与性质计算

定义1[1]　对任何阶方阵，其行列式记为．

．

其中是数组1，2，…，的全排列，表示对关于这些全排列的项（共有项）全体求和．

性质1行列互换，行列式不变，即

.

性质1表明，行列式中行与列的地位是对称的，所以凡是有关行的性质，对列同样成立．

性质2对换行列式两行的位置，行列式反号．

性质3若行列式有两行相同，则行列式等于0．

性质4　用一个数乘以行列式的某一行，等于用这个数乘以这个行列式，或者说某一行的公因式可以提出来，即

.

推论1若行列式某行（列）元素都是0，则行列式等于0．

推论2　若一个行列式的任两行成比例，则行列式值为0．

性质5行列式具有分行相加性，即

=+.

性质6把行列式的某一行的若干倍加到另一行，行列式值不变，

即

.

例1[1]　计算行列式.

解展开式中项的一般形式是

.

显然，如果，那么，从而这个项都等于零．因此只需考虑的那些项；同理，只需考虑，，这些列指标的项．这就是说行列式不为零的项只有这一项，而这一项前面的符号应该是正的，所以

.

例2[2]　计算级行列式.

解这个行列式的特点是每一行有一个元素是，其余个是.根据性质6，把行列式第二列加到第一列，行列式不变，再把第三列加到第一列，行列式不变，直到第列也加到第一列，即得

=.

把第二行到第行都分别加上第一行的-1倍，就有

.

根据例1得

.

把行列式的某一行（或列）的元素写成两数和的形式，然后利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和,进而使行列式简化以便计算．

例3计算行列式.

解　　

=.

第2节化三角形法

化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法，这是计算行列式的重要方法之一.利用行列式的定义容易求得上（下）三角形行列式或对角形行列式．对于各行（或各列）之和相等的行列式，将其各行（或列）加到第1行（或第1列）或第行（或第列），然后再化简．

例１计算行列式.

解　=.

原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式．但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁，因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作某种保值变形，再化为三角形行列式．

例2计算行列式.

解它的特点是各列元素之和为，因此把各行都加到第一行，然后第一行再提出，得

．

将第一行乘以分别加到其余各行，化为三角形行列式，则

=.

第3节降阶法

降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用行列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开．

例1计算行列式.

解　　

　　　　　　.

第4节递推公式法及数学归纳法

应用行列式的性质，把一个阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，阶或阶与阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式．根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推求得所给阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法．

使用递推方法首先要利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明．但给定一个行列式要猜想其值是比较困难的，因此数学归纳法一般直是用来证明行列式等式．

例1计算阶行列式．

解按第一列展开

．

于是有

=，

及

=．

从上两式削去，得．

对于形如的所谓三角行列式，可直接展开得两项递推公式

，然后采用如下方法求解．

方法1如果较小，则直接递推计算．

方法2用第二数学归纳法：

即验证时结论成立，设结论成立，若可证明出时结论也成立，则对任意自然数结论也成立．

方法3将变形为，其中，

．

由韦达定理知和是一元二次方程的两个根．确定和后，令，利用递推求出，再由递推求出．

方法4设，代入，得，因此有（称为特征方程），求出根和（假设），则这里,可通过取和来确定．

例2求阶行列式的值.

解按第一行展开得，即作特征方程解得，则

当时，，代入式得当时，，代入得联立求解得，故．

例3计算阶行列式．

解用数学归纳法当时

=.

假设时，有

.

则当时，把按第一列展开，得

=

=.

第5节利用范德蒙行列式

范德蒙行列式具有逐行元素方幂递增的特点，因次遇到具有逐行（或列）元素方幂递增或者递减的行列式时，可以考虑将其转化为范德蒙行列式并利用相应的结果求值．

定义1范德蒙行列式

．

例1计算行列式．

解把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第行的－1倍加到第行，便得范德蒙行列式

=，

其中“”表示连乘号．

第6节计算行列式杂例

计算某些行列式有时特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法叫做加边法．当然，加边后要保证行列式的值不变，并且要使所得的高一阶行列式容易计算．要根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列．加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母的行列式，也可用于其列（行）的元素分别为个元素的倍数的情况．

例1[3]计算行列式．

解给原行列式加边

　　=．

例2[3]计算行列式．

解由行列式定义知为的4次多项式,当时，，行相同，有，所以为的根；当时，，行相同，有,所以为的根．故有4个1次因式：

，，，．

设，令，则

，

即，，所以．所以．

当行列式各行（列）和相等，且除对角线外其余元素都相同可采用如下步骤．

（1）在行列式的各元素中加上一个相同的元素,使新行列式除主对角线外,其余元素均为0；

（2）计算的主对角线各元素的代数余子式；

（3）．

例3[3]求行列式的值．

解在上的各个元素上加上（-1）后

．

又，其它的是零，所以

．

以上是行列式计算常用的方法，在实际计算中，不同的方法适应于具有不同特征的行列式，如定义法一般适用于0比较多的行列式．当某行或某列含有较多的零元素，可采用降阶的方法每一种方法都有其各自的优点及其独特之处，因此研究行列式的解法有非常重要的意义．

第2章行列式的应用

第1节行列式在代数中的应用

2.1用行列式解线性方程组

如果线性方程组

，

的系数行列式,那么，这个方程组有解，并且解是唯一的，可表示为

．

例1[4]求一个二次多项式，使，，．

解设所求的二次多项式为，，则有

，

可求得系数行列式

，

所以可用克拉默法则求解，又

，，．

解得

,．

于是所求的二次多项式为．

2.2用行列式证明恒等式

我们知道，把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变；如果行列式中有一行（列）的元素全部是零，那么这个行列式等于零，利用行列式的这些性质，我们可以构造行列式来证明等式．

例2已知，求证．

证明令，则

，

命题得证．

第2节行列式在几何中的应用

利用行列式我们可以解决集合中的一些问题，例如求平面三角形面积，在解析几何中用行列式表示直线的方程，以及三线共点和三点共线的几何问题，接下来我们就来讨论一下行列式在这几方面的应用．

1[5]用行列式表示三角形的面积

以平面内三点，，为顶点的的面积是

．

证明将平面,,三点扩充到三维空间，其坐标分别为，，，其中为任意常数,由此可得

，．

．

面积为

=

==.

例1（2001年全国高考试题）设抛物线（）的焦点为，经过焦点的直线交抛物线交于、两点，点在抛物线的准线上，且轴，求证经过原点．

证明设、两点的坐标为、，由于点在抛物线的准线上，且轴，则，由抛物线焦点弦性质，得，故

　，

所以经过原点．

2[5]用行列式表示直线方程

直线通过两点和的直线方程为

证明由两点式，直线方程为

．

将上式展开并化简，得

，

此式可进一步变形为

，

此式为行列式按第三行展开所得结果，原式得证．

3[6]三线共点

平面内三条互不平行的直线

相交于一点的充要条件是．

4[6]三点共线

平面内三点，，在一直线的充要条件是

．

第3节行列式在多项式理论中的应用

实系数二元二次多项式在复数域内是否可以分解因式，是初等数学的一个重要问题，它不仅关系到因式分解，而且关系到判别方程表示曲线的类型及解二元二次方程，能简单明了地判定二元二次多项式的可分解性．

例1[7]求证

．

证明左边

．

结论

本文对行列式的计算方法进行了概括和总结，主要从阶行列式的特点出发，通过例题的形式列举了行列式的几种主要计算方法．不仅较完满地解决了一些较难的求解问题，而且解决了代数，解析几何等方面的问题，从数形结合方面又开辟了新的思考途径，使得行列式的作用不仅限于对方程组的研究，在初等数学的各个方面也看到了行列式的妙用．

参考文献