行列式的计算及应用.docx

1、行列式的计算及应用摘 要行列式理论是代数学的重要组成部分, 并成为一种重要的学习工具，不仅用来计算高等代数问题，还可以用来解决初等数学中的一些重点难点问题，因此懂得解行列式就非常重要本文总结了行列式的几种计算方法，并对每种方法进行例题跟踪，并叙述了行列式在初中代数和解析几何等几个方面的应用，以便更好的运用行列式解决实际的问题关键词：线性方程组; 行列式; 初中代数；解析几何AbstractThe determinant is an important component of the theory of algebra , and become an important mathematica

2、l tool, so it is very important to know the solution determinant. This paper summarizes eleven methods of calculating the determinant, and each method are examples of tracking. Also describes the determinant in the application of the two aspects of junior high school algebra and analytic geometry, t

3、o solve series of problems in several aspects, in order to better use the determinant to solve practical problems.Key words: linear equations; determinant; junior high school; algebra analytic geometry第1节 利用行列式定义与性质计算.1第2节 化三角形法.3第3节 降阶法.4第4节 递推公式法及数学归纳法.5第5节 利用范德蒙行列.7第6节 行列式的特殊计算法.8第2章 行列式的应用.11第3节

4、 行列式在多项式理论中的应用.14 第章 行列式的计算方法第1 节 利用行列式定义与性质计算定义11 对任何阶方阵，其行列式记为 其中是数组1，2， 的全排列，表示对关于这些全排列的项(共有 项)全体求和 性质1 行列互换，行列式不变，即.性质1表明，行列式中行与列的地位是对称的，所以凡是有关行的性质，对列同样成立性质2 对换行列式两行的位置，行列式反号性质3 若行列式有两行相同，则行列式等于0性质4用一个数乘以行列式的某一行，等于用这个数乘以这个行列式，或者说某一行的公因式可以提出来，即.推论1 若行列式某行（列）元素都是0，则行列式等于0推论2若一个行列式的任两行成比例，则行列式值为0性质

5、5 行列式具有分行相加性，即 =+.性质6 把行列式的某一行的若干倍加到另一行，行列式值不变，即.例11计算行列式.解 展开式中项的一般形式是.显然，如果，那么，从而这个项都等于零因此只需考虑的那些项；同理，只需考虑，这些列指标的项这就是说行列式不为零的项只有这一项，而这一项前面的符号应该是正的，所以.例22 计算级行列式.解 这个行列式的特点是每一行有一个元素是，其余个是. 根据性质6，把行列式第二列加到第一列，行列式不变，再把第三列加到第一列，行列式不变，直到第列也加到第一列，即得=.把第二行到第行都分别加上第一行的-1倍，就有 .根据例1得 .把行列式的某一行（或列）的元素写成两数和的形

6、式，然后利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和, 进而使行列式简化以便计算例3 计算行列式.解 =.第2节 化三角形法化三角形法是将原行列式化为上(下)三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法，这是计算行列式的重要方法之一. 利用行列式的定义容易求得上(下)三角形行列式或对角形行列式对于各行（或各列）之和相等的行列式，将其各行（或列）加到第1行（或第1列）或第行（或第列），然后再化简例 计算行列式 .解 =.原则上，每个行列式都可利用行列式的性质化为三角形行列式但对于阶数高的行列式，在一般情况下，计算往往较繁，因此，在许多情况下，总是先利用行列式的性质将其作某种保值变形，再化为三角形行列式

7、例2 计算行列式.解 它的特点是各列元素之和为，因此把各行都加到第一行，然后第一行再提出，得将第一行乘以分别加到其余各行，化为三角形行列式，则 =.第3节 降阶法 降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用行列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开例1 计算行列式.解 .第4节 递推公式法及数学归纳法应用行列式的性质，把一个阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式（比如，阶或阶与阶等）的线性关系式，这种关系式称为递推关系式根据递推关系式及某个低阶初始行列式（比如二阶或一阶行列式）的值，便可递推

8、求得所给阶行列式的值，这种计算行列式的方法称为递推法使用递推方法首先要利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出猜想的证明但给定一个行列式要猜想其值是比较困难的，因此数学归纳法一般直是用来证明行列式等式例1 计算阶行列式解 按第一列展开于是有=，及 =从上两式削去，得对于形如的所谓三角行列式，可直接展开得两项递推公式，然后采用如下方法求解方法1 如果较小，则直接递推计算方法2 用第二数学归纳法：即验证时结论成立，设结论成立，若可证明出时结论也成立，则对任意自然数结论也成立方法3 将变形为，其中，由韦达定理知和是一元二次方程的两个根确定和后，令，利用递推求出，再由递推求出方法4 设

9、，代入，得，因此有（称为特征方程），求出根和（假设），则这里,可通过取和来确定 例2 求阶行列式的值.解 按第一行展开得，即作特征方程解得，则 当时，代入式得当时，代入得 联立求解得，故例3 计算阶行列式解 用数学归纳法 当时=.假设时，有.则当时，把按第一列展开，得=.第5节 利用范德蒙行列式范德蒙行列式具有逐行元素方幂递增的特点，因次遇到具有逐行（或列）元素方幂递增或者递减的行列式时，可以考虑将其转化为范德蒙行列式并利用相应的结果求值定义 1 范德蒙行列式例1 计算行列式 解 把第1行的1倍加到第2行，把新的第2行的1倍加到第3行，以此类推直到把新的第行的1倍加到第行，便得范德蒙行列式 =

10、，其中“”表示连乘号 第6节 计算行列式杂例计算某些行列式有时特意把原行列式加上一行一列再进行计算，这种计算行列式的方法叫做加边法当然，加边后要保证行列式的值不变，并且要使所得的高一阶行列式容易计算要根据需要和原行列式的特点选取所加的行和列加边法适用于某一行（列）有一个相同的字母的行列式，也可用于其列（行）的元素分别为个元素的倍数的情况例13 计算行列式解 给原行列式加边=例23 计算行列式解 由行列式定义知为的4次多项式,当时，行相同，有，所以为的根；当时，行相同，有, 所以为的根故有4个1次因式：，设，令，则，即，所以所以当行列式各行(列)和相等，且除对角线外其余元素都相同可采用如下步骤(

11、1)在行列式的各元素中加上一个相同的元素,使新行列式除主对角线外,其余元素均为0；(2)计算的主对角线各元素的代数余子式；(3) 例 33 求行列式的值解 在上的各个元素上加上（-1）后又，其它的是零，所以以上是行列式计算常用的方法，在实际计算中，不同的方法适应于具有不同特征的行列式，如定义法一般适用于0比较多的行列式当某行或某列含有较多的零元素，可采用降阶的方法每一种方法都有其各自的优点及其独特之处，因此研究行列式的解法有非常重要的意义 第2章 行列式的应用第1节 行列式在代数中的应用 2.1 用行列式解线性方程组如果线性方程组 ，的系数行列式, 那么，这个方程组有解，并且解是唯一的，可表示

12、为例14 求一个二次多项式，使，解 设所求的二次多项式为，则有 ，可求得系数行列式 ，所以可用克拉默法则求解，又， ， 解得 ,于是所求的二次多项式为2.2 用行列式证明恒等式我们知道，把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上，行列式不变；如果行列式中有一行（列）的元素全部是零，那么这个行列式等于零，利用行列式的这些性质，我们可以构造行列式来证明等式例2 已知，求证证明 令，则，命题得证第2节 行列式在几何中的应用 利用行列式我们可以解决集合中的一些问题，例如求平面三角形面积，在解析几何中用行列式表示直线的方程，以及三线共点和三点共线的几何问题，接下来我们就来讨论一

13、下行列式在这几方面的应用15 用行列式表示三角形的面积以平面内三点，为顶点的的面积是证明 将平面,三点扩充到三维空间，其坐标分别为，其中为任意常数, 由此可得，面积为=.例1 （2001年全国高考试题）设抛物线（）的焦点为，经过焦点的直线交抛物线交于、两点，点在抛物线的准线上，且轴，求证经过原点证明 设、两点的坐标为、，由于点在抛物线的准线上，且轴，则，由抛物线焦点弦性质，得，故 ，所以经过原点25 用行列式表示直线方程直线通过两点和的直线方程为 证明 由两点式，直线方程为 将上式展开并化简，得，此式可进一步变形为 ，此式为行列式按第三行展开所得结果，原式得证36 三线共点平面内三条互不平行的

14、直线相交于一点的充要条件是46 三点共线平面内三点，在一直线的充要条件是第3节 行列式在多项式理论中的应用实系数二元二次多项式在复数域内是否可以分解因式，是初等数学的一个重要问题，它不仅关系到因式分解，而且关系到判别方程表示曲线的类型及解二元二次方程，能简单明了地判定二元二次多项式的可分解性例17 求证证明 左边 结 论 本文对行列式的计算方法进行了概括和总结，主要从阶行列式的特点出发，通过例题的形式列举了行列式的几种主要计算方法不仅较完满地解决了一些较难的求解问题，而且解决了代数，解析几何等方面的问题，从数形结合方面又开辟了新的思考途径，使得行列式的作用不仅限于对方程组的研究，在初等数学的各个方面也看到了行列式的妙用参考文献