数值计算 数学072班07号郭政Word格式.docx
《数值计算 数学072班07号郭政Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值计算 数学072班07号郭政Word格式.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
用几种不同的方法求定积分的值
一、基本理论：
求解定积分的方法多种多样，有原始的牛顿-莱布尼茨公式：
∫abf（x）dx=F（a）-F（b）。
数值方法如梯形法、辛普森法、复化的梯形公式和辛普森等都是经常采用的方法。
它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。
这样求定积分问题就分解为求和问题。
二、研究方法：
将积分区间细分，在每个小区间内用简单函数代替复杂函数进行积分。
用代数插值多项式代替被积函数f（x）进行积分是本文讨论数值积分的主要内容
三、预期成果：
通过这几个求积公式可以近似的求出函数的积分值，由于被积函数是由简单的多项式近似替代的，与真实值会有一定的误差，当采用复化的梯形和辛普森公式时，细划分区间，计算量增大，而此时所求结果精确程度会有所提高，能够满足对数据的要求。
四、参考资料：
[1]李庆扬，易大义，王能超．现代数值分析．北京：
高等教育出版社，1995
[2]朝伦巴根,贾德斌.数值计算方法中国水利水电出版社，2007
五、时间安排：
课程安排二周，分四次完成：
第一次（1-4天）：
分析题目要求，查找资料
第二次（5-8天）：
有针对性的学习相关知识，为完成论文做准备
第三次（9-13天）：
整理思路，编写计算程序，撰写论文
第四次（14天）：
用程序运行计算，完善论文
指导教师（签字）：
年月日
专业负责人（签字）：
主管院长（签字）
年月日
课程设计任务书
前言
求定积分的近似值的数值方法。
即用被积函数的有限个抽样值的离散或加权平均近似值代替定积分的值。
求某函数的定积分时，在多数情况下，被积函数的原函数很难用初等函数表达出来，因此能够借助微积分学的牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的机会是不多的。
另外，许多实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形式的非连续函数，对这类函数的定积分，也不能用不定积分方法求解。
由于以上原因，数值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题。
对微积分学作出杰出贡献的数学大师，如I.牛顿、L.欧拉、C.F.高斯等人也在数值积分这个领域作出了各自的贡献，并奠定了它的理论基础。
构造数值积分公式最通常的方法是用积分区间上的n次插值多项式代替被积函数，由此导出的求积公式称为插值型求积公式。
特别在节点分布等距的情形称为牛顿-柯茨公式，例如梯形公式与抛物线公式就是最基本的近似公式。
设给定区间[a,b]上的函数f（x）.需要建立计算定积分I（f）=∫abf（x）dx的近似方法。
数值积分的基本思想是试图用一个简单又易于积分的函数逼近f（x）,以计算积分I（f）。
将[a,b]分为n等分[xi,xi+1],i=1,2,·
·
n,其中，a=x1＜x2＜·
＜xn+1＝b,分割步长h=（b-a）/n,因此，xi=x1+（i-1）h,i=1,2,·
n+1,对应的函数值是f（a）=f（x1）,f（x2）,·
fx（n+1）=f（b）。
显然，I（f）可以表示为所有小积分区间上各函数的积分和，即I（f）=∑Ii（f）其中Ii（f）=
通常把每个Ii（f）建立的计算公式简称为求积公式，而把对I（f）建立的求积公式称为复化的求积公式：
复化的梯形公式，复化的辛普森公式。
n=1时将公式称为梯形公式，n=2时将公式称为辛普森公式。
关键字：
积分计算函数表达式复化的梯形公式辛普森
目录
摘要...........................................................5
课程设计题目...................................................6
问题提出.......................................................6
问题分析.......................................................6
理论求解依据....................................................6
分析比较编程求解...............................................6
总结评价.......................................................13
摘要
在一元函数的积分学中,我们已经熟知,若函数f（x）在区间［a,b］上连续且其原函数为F（x）,则可用牛顿―莱布尼兹公式
dx=F（a）-F（b）来求定积分。
此公式虽然在理论上或在解决实际问题中都起了很大的作用,但它并不能完全解决定积分的计算问题。
因为定积分的计算常常会碰到以下三种情况:
（1）被积函数f（x）的原函数F（x）不易找到。
许多很简单的函数,例如
，
，e-x2等,其原函数都不能用初等函数表示成有限形式。
（2）被积函数f（x）没有具体的解析表达式。
其函数关系由表格或图形表示,无法求出原函数。
（3）尽管f（x）的原函数能表示成有限形式但其表达式相当复杂。
例如定积分
的被积函数
的原函数就比较复杂,从数值计算角度来看,算量太大。
若用梯形的面积近似地代替曲边梯形的面积,则得到计算定积分的梯形公式
；
若用抛物线代替曲线f（x）,则可得到抛物线公式（辛普森公式）
。
对于定积分将积分区间［a,b］分成n个相等的子区间［xi,xi+1］,这里步长
在每一个子区间［xi,xi+1］上使用梯形公式,则
类似复合梯形公式的做法,把区间［a,b］分成n个相等的子区间［x2i,x2i+2］（i=0,1,…,n-1）,设每个子区间上的中点为x2i+1（i=0,1,…,n-1）,且
在每一个子区间［x2i,x2i+2］上利用抛物线公式得
，相加后即可得到复化的辛普森公式：
本文将用这种思想，分别对函数求积分，并比较其结果，分析其精确程度。
用几种不同的方法求定积分
一问题提出
设计要求：
用牛顿-莱布尼茨公式，梯形公式，辛普森公式，复化梯形公式，复化辛普森公式计算定积分。
并比较计算的结果。
二问题分析
积分值
dx在几何上可以解释为x=a,x=b,y=0,y=f（x）,这四条边所围成的曲边梯形面积，其中y=f（x）是一条曲边。
根据数值积分的基本思想，即建立数值积分就是用一个简单函数p（x）逼近被积函数f（x）,进而以p（x）在区间[a,b]上的积分代替f（x）在区间[a,b]上的积分，即
三理论求解依据
数值积分实现是将整个闭区间[ab]划分为N个小段，在每个小段上对f（x）进行低阶段多项式逼近。
对每个小段上的逼近多项式积分时，就得到基本公式。
基本公式只涉及足够的（x，f（x））对来定义分段多项式的某一段，将此公式应用到N个小段并把结果相加得到符合公式，或称为扩展公式。
在一个小段中节点的位置和数目决定了基本公式的额很多重要特性。
当节点均匀分布时，所有的积分公式就叫Newton—cotes公式。
如：
梯形公式，辛普森公式等。
四分析比较编程求解
例：
1牛顿-莱布尼茨公式求解。
求定积分准确值的命令为int指令：
即牛顿-莱布尼茨公式求解，由MATLAB内部自行给定。
其调用格式为：
I=int（fun,a,b）。
int（）是Matlab中求定积分的符号指令，但是在此之前必须先定义符号变量：
symsx。
其中fun是指被积函数；
a,b分别表示积分下、上限。
输入
>
symsx,I=int（1/（1+x^2）,0,1）
I=1/4*pi
1/4*pi
ans=0.78539816339745
另外若有一被积函数f（x）=sinx/x求积分
输入命令：
symsx,I=int（sin（x）/x,0,1）
得I=sinint
（1）
此时无法算出数值
2梯形求积公式求积
梯形求积公式：
以虚线部分的梯形面积替代f（x）曲线与x轴在a,b之间所围成的面积求得积分的近似值，即构造梯形公式近似求积的思想。
梯形公式求积的源程序：
functionI=T1（x,y）
n=length（x）;
m=length（y）;
ifn~=m
error;
return
end
h=（x（n）-x
（1））;
a=[11];
I=h/2*sum（a.*y）
以T1.m文件名保存该程序函数
x=0:
1;
y=1./（1+x.^2）;
I=T1（x,y）
得I=0.75000000000000
3辛普森求积公式求积
辛普森求积公式：
以函数f（x）在a,b,
这3点的函数值f（a）,f（b）,
的加权平均值
作为f（ε）的近似值而获得一种数值积分公式，以该思想所得公式称为辛普森积分公式
辛普森公式求积的源程序：
functionI=S1（x,y）
h=（x（n）-x
（1）/2）;
a=[141];
I=h/6*sum（a.*y）;
以S1.m文件名保存该程序函数
输入：
x=0:
0.5:
I=S1（x,y）
得I=0.78333333333333
由于梯形、辛普森和科特斯求积公式余项可知，随着求积节点数的增多，对应公式的精度也会相应提高。
但当n>
=8时的牛顿-科特斯公式开始出现负值的科特斯系数。
根据误差理论分析的研究，当积分公式出现负系数时，可能导致舍入误差增大，并且往往难以估计。
因此，不能用增加求积节点数的方法来提高计算精度。
在实际应用中，通常将积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶求积公式，然后把所有小区间上计算的结果加起来得到整个区间上的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想。
常用的复化求积公式有复化梯形公式和复化的辛普森公式。
下面讨论这两个公式的求积方法。
4复化梯形公式求积
将积分区间[a,b]划分为n等分，步长h=（b-a）/n,求积节点为xk=a+hk（k=0,1,…n），在每个小区间[xk,xk+1]（k=0,1,…,n-1）上应用梯形公式
，求出积分值Ik,然后将它们累加求和，用
作为求所求积分I的近似值。
I=
=
记
为复化的梯形公式
复化的梯形公式求积的源程序：
functionI=T_quad（x,y）
return;
h=（x（n）-x
（1））/（n-1）;
a=[12*ones（1,n-2）1];
I=h/2*sum（a.*y）;
.1:
I=T_quad（x,y）
得I=0.78498149722679
另：
调用trapz函数
0.1:
I=trapz（x,y）
I=0.78498149722679
trapz（）函数是采用复化梯形求积公式求积分，其调用格式为I=trapz（x,y）。
其中x是积分区间离散化数据点构成的向量；
y是与x同维的向量，其分量表示x各分量的函数值。
返回值即为积分的近似值。
T_quad（x,y）与trapz（x,y）均为求复化梯形公式求积分的调用函数。
trapz（x,y）由MATLAB内部给定，可直接调用。
它们运算所得的结果相等。
5复化辛普森公式求积
将积分区间[a,b]划分为n等份，记子区间[x2k,x2k+2]的中点为x2k+1=x2k+
在每个小的区间上应用辛普森公式，则有：
为复化的辛普森公式。
复化的辛普森求积的源程序：
functionI=S_quad（x,y）
ifrem（n-1,2）~=0
%如果n-1不能被2整除，则条用复化的梯形公式
I=T_quad（x,y）;
N=（n-1）/2;
h=（x（n）-x
（1））/N;
a=zeros（1,n）;
fork=1:
N
a（2*k-1）=a（2*k-1）+1;
a（2*k）=a（2*k）+4;
a（2*k+1）=a（2*k+1）+1;
输入:
I=0:
I=S_quad（x,y）
得I=0.78539815348480
另1调用MATLAB内联函数f=inline（'
1./（1+x.^2）'
'
x'
）;
quad（f,0,1）
得ans=0.78539814924326
另2先定义M-函数文件fun.m
functiony=fun（x）y=1./（1+x.^2）;
quad（'
fun'
0,1）
得ans=0.78539814924326
备注：
1）输入参数fun是被积函数，可采用三种形式表达：
字符表达式，内联函数，M-函数文件名。
2）由于要进行数值积分计算，函数表达式中的乘、除和幂运算必须用数组算法符号。
即：
.*./.^
3）输入参数a,b是积分下、上限。
4）输入参数e是要求的计算结果绝对误差限，默认值为10^（-6）.
Matlab中关于单变量数值积分问题求解指令---quad（）和quadl（）。
调用格式为：
I=quad（fun,a,b）,I=quadl（fun,a,b）---定积分求解。
I=quad（fun,a,b,e）,I=quadl（fun,a,b,e）---限定精度的
定积分求解，默认精度为10^（-6）.
五总结评价
精确值：
ansI=0.78539816339745
梯形公式：
ansI=0.75000000000000
辛普森公式：
ansI=0.78333333333333
复化的梯形公式：
ansI=0.78498149722679
复化的辛普森公式：
ansI=0.78539815348480
得出结论：
分段数的增加使积分计算更精确
用复化辛普生公式计算比用复化梯形公式计算更精确
程序缺点：
对每一道积分题目都要重复写一段代码去计算，不能一般化。
即程序不能识别一般初等函数自动计算积分
数值计算方法____课程设计评阅书
班级
数学07-2
学号
总成绩
指导教师评语（评阅意见主要对设计任务的合理性、规范性和正确性以及设计报告书的完整性、规范性和通顺性等方面作出评价）
设计报告成绩：
指导教师签名：
年月日
答辩评语
答辩成绩：
答辩教师签名：
年月日
教研室意见
总成绩：
室主任签名：
年月日
升级会员 