完整版椭圆大题中的向量问题基础篇.docx
《完整版椭圆大题中的向量问题基础篇.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整版椭圆大题中的向量问题基础篇.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
完整版椭圆大题中的向量问题基础篇
椭圆中的向量问题
、基础知识部分：
向量的数量积运算、垂直关系&角度判断、椭圆内的平行四边形问题．
1．向量的数量积问题
记点Pt,0是x轴上的一点，
x1,y1、Bx2,y2
是直线l：
ykxm（l不经过椭圆
的两个交点，则
22
的顶点）和椭圆x2y21ab
ab2
uuuruuur
PAPB计算过程可分为以下三步：
I．
II．
III
uuuruuur
PAPB
联立直线
联立
则x1
．将x1
uuur∴PA
x1t,y1x2t,y2
k21x1x2kmt
l和椭圆，得出
x1x2
x1t,kx1mx2t,kx2m
x1x2
f1k,m
22mt
，x1x2
f2k,m；
y
b2
kx
2
x
x2
x2，
uuur
PB
m
a2y2a2b2
2
2kma，
222，
akb
x1x2
x1x2代入①式中，
得a2k2
22
am
22
a2k2
222222
b2x22kma2xa2m2b20，
b2
2，
b2
uuuruuur
得到PAPBgk,m
uuur
PA
uuur
PB转化为含k,m的式子
2222
2amb2kma2k1222kmt222a2k2b2a2k2b2
m2
t2
uuuruuur
写出向量的坐标（末初），并将PAPB表示成fx1x2,x1x2的形式
2222222
t2a2b2m2a2b2k212kmta2
t222222
akbakb
其中I、II两步可以互换顺序
uuuruuur2
同理，若点P0,t，则PAPBt2
2222222abmabk12mtb2
222222uuuruuurabmabk1特殊情况：
当P为原点O时，OAOB222a2k2b2
基础练习：
请按照以下条件作答
2
y1交于A、B两点，
2x1．已知斜率为k的直线l经过点1,0与椭圆
2
uuuruuur
1）若点O为原点，请写出OAOB关于斜率k的关系式；
uuur
2）已知点P2,0，请写出PA
uuur
PB关于斜率
k的关系式；
22
0），
2．若斜率为k的直线l经过点0,2与椭圆xy1交于A、B两点（注意32
（1）若点O为原点，请写出uOuAurOuuBur关于斜率k的关系式；
uuuruuur
（2）若点P1,0，请写出PAPB关于斜率k的关系式；
3）若点P2,0，请写出PAPB关于斜率k的关系式；
1.1求向量数量积的问题
22
C：
x2y2
43uuurPB关于直线
给出点P的坐标）
例1：
已知椭圆
1，直线l经过C的右焦点
F与椭圆交于
A、B两点，点
P3,0
1）
uuur写出PA
l的斜率k的关系式；
uuur
PA
uuur
PB
7k215
4k23
若
uuur
PA
uuur
PB
22，
，
求直线l的方程；
（yx
7
uuur
uuur
求
uuuruuur
若
OA
OB
2，
PAPB的值；（
2
k22，
求
uuur
uuur
uuuruuur
7
PA
PB的
取值
范围
；（PAPB
7,5）
4
uuur
uuur
24
uuuruuur
若
AP
PB
≤24，
求PAPB的取
值范围；
7
记
D、
E分别为椭
圆
C的左右顶点，
uuur
uuur
uuur
uuur
90
l的方程；
若
AD
EB
AE
DB
90，求直线
7
uuur
uuur
uuur
uuur
uuuruuur
求
AD
EB
AE
DB
的取值范围．（
ADEB
2）
1）
3）
5）
6）
y
①．
uuur
AE
uuur
PA
uuur
PB
29）
11
k2≥
uuur
DB
uuur
PA
1）
uuur
PB
5,22）
）
47
21,16
2
练习1.1
2x1．已知椭圆
4
y21的离心率e3，若直线l
2
ykx2与椭圆恒有两个不同的交
uuuruuur
点A、B且OAOB2，求k的取值范围．
22
过点F且斜率为k
uuuruuur
AD·CB8，求k的值．
2．已知椭圆x3y21的左焦点为F，设A、B分别为椭圆的左右顶点，
uuuruuur的直线与椭圆交于C、D两点.，若AC·DB
1.2动点分析问题（直线l过椭圆顶点的问题）
22
以l经过椭圆x2y21ab0的左顶点Aa,0为例．a2b2
设l：
ykxa且l过点A与椭圆交于点Bx2,y2，
联立y2
b2
kxa
22222
xayab0
得
222akb
2
x
24422kaxak
22
ab0，
4222
2
32
2
a4k2a2b2，
得
ab2
a3k2
，2ab2
k，
∴x1x2
ax2222，
x222
2
，y222
2，
a2k2b2
a2k2
b2
a2k2
b2
即点B
ab2a3k2,2ab2ka2k2b2,a2k2b2
动点分析问题的过程如下：
I．分析问题中涉及的动点；
II．按难易程度，通过联立的方法用直线斜率k表示出问题中所涉及的动点坐标；
III．按照目标向量所涉及的点，将向量坐标运用直线斜率k表示出来；IV．将向量的数量积运用含k的式子表示出来．
2
例2：
如图，椭圆E：
xy21，记A、B为椭圆的左右顶点，点C为椭圆的上顶点，直
4
线l经过点C与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与BD相交于点
k1,0
8k
、D
14k2
4k214k
k
Q．当点P异于点B时．
1）记k为直线l的斜率，用k表示点P、D的坐标；（P
2）用k表示出lBD的斜率；（kBD2k1）
BD4k2
3）用k表示出点Q的坐标；（Q4k,2k1）
uuuruuuruuuruuuruuur
4）用k表示出OP、OQ的坐标，并求OPOQ．（OP
uuuruuur
OPOQ4）
练习1.2：
2
x
1．已知椭圆C:
y21，若F为椭圆C的右焦点，经过椭圆的上顶点B的直线l与椭圆
2
另一个交点为A，且满足uBuAuruBuFur=2
（1）用直线l的斜率k表示点A的坐标；
（2）用含k的式子表示uBuAur的坐标，同时表示出uBuFur的坐标；
uuuruuur
（3）用含k的式子表示BABF，构建方程fk2；
4）解出k的值，写出直线l的方程.
2
x2
2．已知椭圆xy21若C、D分别是椭圆长轴的左右端点，动点M满足MDCD，连接2
uuuuruuur
CM交椭圆于点P，证明：
OMOP为定值．
（1）记直线lCM的斜率为k，用含k的式子表示出点M的坐标；
（2）用含k的式子表示出点P的坐标；
uuuruuuur
（3）用含k的式子分别表示出OP、OM的坐标；
uuuuruuur
4）证明OMOP为定值．
2
x2
3．已知椭圆y21，点A2,0，设直线l过点A与椭圆交于另一点B，点Q（0,y0）在
4
uuuruuur
线段AB的垂直平分线上，且QAQB4，求y0的值．
（1）设直线l的斜率为k，用含k的式子表示点B的坐标；
（2）用含k的式子表示出AB的中点坐标，并写出AB的中垂线方程；
（3）用含k的式子表示出点Q的坐标；
uuuruuur
（4）用含k的式子分别表示出QA，QB；
5）运用QuuAuruQuBurfk4，求直线l的方程，并求出点Q的坐标．
2．数量积问题的延伸——垂直问题和角度判断问题
2.1直线的垂直问题，可以转换为向量的数量积为零的问题．
22xy
记点Pt,0是x轴上的一点，Ax1,y1、Bx2,y2是直线l：
ykxm和椭圆1ab0的两个交点，由之前的讨论可知，
uuur
PA
2222222
uPuBurt2a2b2m2a2b2k212kmta2，
PBt222222，a2k2b2a2k2b2
uuuruuur
例3：
如图，记A为椭圆
2
x
2a
2
y21ab0的上顶点，b
为椭圆的两焦点，
B1、
B2分别为OF1、OF2的中点，
F1、F2
QB2，求直线l的方程．
若PAPB，则PAPB0．
△AB1B2是面积为4的直角三角形．
1）求椭圆的标准方程和离心率；
2）过点B1作直线l与椭圆相交于P、Q两点，若PB2
练习2.1
2
x2
1．已知椭圆C：
y21，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，若过点F2的直线l与椭圆C
2122
uuuruuur
相交于P、Q两点，且F1PF1Q，求直线l的方程．
2．已知椭圆G：
xy21，短轴上、下顶点分别为A、B，若C、D是椭圆G上关于y轴2
对称的两个不同点，直线BC与x轴交于点M，判断以线段MD为直径的圆是否过点A，并说明理由．
2x3．如图，已知椭圆
4
2
y1，设点P、Q分别是椭圆和圆O上
2
位于y轴两侧的动点，若直线PQ与x轴平行，直线AP、BP
与y轴的交点记为M、N，试证明MQN为直角.
2.2角度问题
判断角度为钝角、
直角还是锐角，
以及点与圆的位置关系
①．若APB90o，
则cosAPB
0，
点P在以AB为直径的圆外
②．若APB90o，则cosAPB
0，
点P在以A
升级会员 