完整版椭圆大题中的向量问题基础篇.docx

1、完整版椭圆大题中的向量问题基础篇椭圆中的向量问题、基础知识部分：向量的数量积运算、垂直关系 & 角度判断、椭圆内的平行四 边形问题1向量的数量积问题记点 P t,0 是 x 轴上的一点，x1,y1 、B x2, y2是直线 l ： y kx m （ l 不经过椭圆的两个交点，则22的顶点） 和椭圆 x2 y2 1 a ba b 2uuur uuurPA PB 计算过程可分为以下三步：III IIIuuur uuurPA PB联立直线联立则 x1将 x1uuur PAx1 t , y1 x2 t, y2k2 1 x1x2 km tl 和椭圆，得出x1x2x1 t,kx1 m x2 t , kx2

2、 mx1 x2f1 k ,m22 mt， x1 x2f2 k ,m ；yb2kx2xx2x2，uuurPBma2 y2 a2b 222kma ，2 2 2 ，a k bx1x2x1x2 代入式中，得 a2k222am22a2k22 2 2 2 2 2b2 x2 2kma2 x a2 m2 b2 0 ，b22，b2uuur uuur得到 PA PB g k, muuurPAuuurPB 转化为含 k,m的式子2 2 2 22 a m b 2kma2 k 1 2 2 2 km t 2 2 2 a2k 2 b2 a2k2 b2m2t2uuur uuur写出向量的坐标（末 初），并将 PA PB 表示

3、成 f x1x2 ,x1 x2 的形式2 2 2 2 2 2 2t2 a2 b2 m2 a2b2 k 2 1 2kmta2t 22 2 2 2 2ak b a k b其中 I 、II 两步可以互换顺序uuur uuur 2同理，若点 P 0,t ，则 PA PB t 22 2 2 2 2 2 2 a b m a b k 1 2mtb 22 2 2 2 2 2 uuur uuur a b m a b k 1 特殊情况：当 P 为原点 O 时， OA OB 2 2 2 a2k 2 b2基础练习：请按照以下条件作答2y 1 交于 A、 B 两点，2 x 1已知斜率为 k的直线 l 经过点 1,0 与

4、椭圆2uuur uuur1）若点 O为原点，请写出 OA OB 关于斜率 k的关系式；uuur2）已知点 P 2,0 ，请写出 PAuuurPB 关于斜率k 的关系式；220），2若斜率为 k的直线 l经过点 0,2 与椭圆 x y 1交于 A、B两点（注意 32（1）若点 O为原点，请写出 uOuAur OuuBur 关于斜率 k 的关系式；uuur uuur（2）若点 P 1,0 ，请写出 PA PB关于斜率 k 的关系式；3）若点 P 2,0 ，请写出 PA PB 关于斜率 k的关系式；1.1 求向量数量积的问题22C ：x2 y243 uuur PB关于直线给出点 P 的坐标)例 1：

5、已知椭圆1，直线 l 经过 C 的右焦点F 与椭圆交于A、 B 两点，点P 3,01)uuur 写出 PAl 的斜率 k 的关系式；uuurPAuuurPB7k2 154k 2 3若uuurPAuuurPB22 ，求直线 l 的方程；( y x7uuuruuur求uuur uuur若OAOB2，PA PB 的值；(2k2 2 ，求uuuruuuruuur uuur7PAPB 的取值范围；( PA PB7,5)4uuuruuur24uuur uuur若APPB 24 ，求 PA PB 的取值范围；7记D、E 分别为椭圆C 的左右顶点，uuuruuuruuuruuur90l 的方程；若ADEBAE

6、DB90 ，求直线7uuuruuuruuuruuuruuur uuur求ADEBAEDB的取值范围 (AD EB2)1)3)5)6)yuuurAEuuurPAuuurPB29)11k2 uuurDBuuurPA1)uuurPB5,22 ),)4721,162练习 1.12 x 1已知椭圆4y2 1的离心率 e 3 ，若直线 l2y kx 2 与椭圆恒有两个不同的交uuur uuur点 A、B 且 OA OB 2 ，求 k 的取值范围22过点 F 且斜率为 kuuur uuurADCB 8，求 k的值2已知椭圆 x3 y2 1的左焦点为 F ，设A、B分别为椭圆的左右顶点，uuur uuur 的

7、直线与椭圆交于 C、D 两点 .，若 ACDB1.2 动点分析问题（直线 l 过椭圆顶点的问题）22以l经过椭圆 x2 y2 1 a b 0 的左顶点 A a,0 为例 a2 b2设l： y k x a 且l 过点 A与椭圆交于点 B x2,y2 ，联立 y2b2k x a2 2 2 2 2x a y a b 0得2 2 2 a k b2x2 4 4 2 2k a x a k22a b 0 ，4 2 2 22322a4k 2 a2b2 ，得ab2a3k2， 2ab2k， x1x2ax2 2 2 2 ，x2 2 22， y2 2 22，a2k2 b2a2k2b2a2k2b2即点 Bab2 a3k

8、2 , 2ab2k a2k2 b2 ,a2k2 b2动点分析问题的过程如下：I分析问题中涉及的动点；II按难易程度，通过联立的方法用直线斜率 k 表示出问题中所涉及的动点坐标；III按照目标向量所涉及的点，将向量坐标运用直线斜率 k 表示出来； IV 将向量的数量积运用含 k 的式子表示出来2例 2：如图，椭圆 E： x y2 1，记 A、B 为椭圆的左右顶点，点 C为椭圆的上顶点，直4线 l 经过点 C 与椭圆交于另一点 D ，并与 x 轴交于点 P ，直线 AC 与 BD 相交于点k1,08k、D1 4k24k 2 1 4kkQ 当点 P 异于点 B 时1）记 k为直线 l 的斜率，用 k

9、表示点 P、D的坐标；（ P2）用 k 表示出 lBD 的斜率；（ kBD 2k 1 ）BD 4k 23）用 k表示出点 Q 的坐标；（ Q 4k,2k 1 ）uuur uuur uuur uuur uuur4）用 k表示出 OP、OQ 的坐标，并求 OP OQ （OPuuur uuurOP OQ 4 )练习 1.2：2x1已知椭圆 C: y2 1，若 F 为椭圆 C的右焦点，经过椭圆的上顶点 B的直线 l 与椭圆2另一个交点为 A ，且满足 uBuAur uBuFur=2（1）用直线 l 的斜率 k 表示点 A的坐标；（2）用含 k的式子表示 uBuAur 的坐标，同时表示出 uBuFur

10、的坐标；uuur uuur（3）用含 k的式子表示 BA BF ，构建方程 f k 2 ；4）解出 k的值，写出直线 l的方程 .2x22已知椭圆 x y2 1若C、D分别是椭圆长轴的左右端点， 动点 M满足 MD CD，连接 2uuuur uuurCM 交椭圆于点 P ，证明： OM OP 为定值（1）记直线 lCM 的斜率为 k，用含 k的式子表示出点 M 的坐标；（2）用含 k的式子表示出点 P 的坐标；uuur uuuur（3）用含 k的式子分别表示出 OP 、 OM 的坐标；uuuur uuur4）证明 OM OP 为定值2x23已知椭圆 y2 1，点 A 2,0 ，设直线 l过点

11、A与椭圆交于另一点 B ，点Q（0, y0）在4uuur uuur线段 AB的垂直平分线上，且 QA QB 4，求 y0 的值（1）设直线 l 的斜率为 k ，用含 k的式子表示点 B的坐标；（2）用含 k的式子表示出 AB的中点坐标，并写出 AB 的中垂线方程；（3）用含 k的式子表示出点 Q 的坐标；uuur uuur（4）用含 k的式子分别表示出 QA，QB ；5）运用 QuuAur uQuBur f k 4，求直线 l 的方程，并求出点 Q的坐标2数量积问题的延伸 垂直问题和角度判断问题2.1直线的垂直问题，可以转换为向量的数量积为零的问题22 xy记点 P t,0 是 x轴上的一点，

12、 A x1,y1 、B x2,y2 是直线 l ： y kx m和椭圆 1 a b 0 的两个交点，由之前的讨论可知，uuurPA2 2 2 2 2 2 2uPuBur t 2 a2 b2 m2 a2b2 k2 1 2kmta2 ，PB t 2 2 2 2 2 2 ， a2k2 b2 a2k 2 b2uuur uuur例 3：如图，记 A 为椭圆2x2 a2y2 1 a b 0 的上顶点， b为椭圆的两焦点，B1、B2 分别为 OF1、OF2 的中点，F1、F2QB2 ，求直线 l 的方程若 PA PB，则 PA PB 0 AB1B2是面积为 4 的直角三角形1）求椭圆的标准方程和离心率；2）

13、过点 B1作直线 l 与椭圆相交于 P、 Q两点，若 PB2练习 2.12x21已知椭圆 C： y2 1， F1、F2分别为椭圆的左、 右焦点，若过点 F2的直线 l与椭圆 C2 1 2 2uuur uuur相交于 P、Q 两点，且 F1P F1Q ，求直线 l 的方程2已知椭圆 G：x y2 1，短轴上、下顶点分别为 A、B ，若C、D是椭圆 G上关于 y轴 2对称的两个不同点， 直线 BC与x轴交于点 M ，判断以线段 MD为直径的圆是否过点 A， 并说明理由2 x 3如图，已知椭圆42y 1，设点 P、Q分别是椭圆和圆 O 上2位于 y轴两侧的动点， 若直线 PQ与x轴平行，直线 AP、BP与 y 轴的交点记为 M 、 N ，试证明 MQN 为直角 .2.2角度问题判断角度为钝角、直角还是锐角，以及点与圆的位置关系若 APB 90o ，则 cos APB0，点 P 在以 AB 为直径的圆外若 APB 90o ，则 cos APB0，点 P 在以 A