完整版法向量详解.docx
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完整版法向量详解
例1:
已知棱长为1的正方体ABCD-AiBiCiDi中，E、F分别是BQi
专题：
法向量的详解
高中数学法向量的定义：
如果向量a_平面:
•，那么向量a叫做平面:
的法向量。
但是对于法向量在立体几何中的运用却没有详细介绍，其实灵活运用法向量去求解某些常见的立几问题如“求点到平面的距离”、
“求异面直线间的距离”、“求直线与平面所成的角”、“求二面角的大小”、“证明两平面平行或垂直”等是比较简便的，现介绍如下：
一、求点到平面的距离
设A是平面〉外一点，AB是〉的一条斜
线，交平面，于点B，而n是平面〉的法向量，
则有:
注：
此题A1在平面DBEF的射影难以确定，给求解增加难度，若利用
（※丿式求解，关键是求出平面DBEF的法向量。
法向量的求解有多种，根据线面垂直的判定定理，设n=（x,y,z）,通过建立方程组求出一组特解。
、求异面直线间的距离
假设异面直线a、b,平移直线a至a,且交b于点A,那么直线a和b确定平面:
且直线a//〉，设n是平面:
的法向量，那么n丄a,n丄b。
所以异面直线a和b的距离可以转化为求直线a上任一点到平
n,C、D分别是l1,l2上任
面〉的距离，方法同例1
结论：
hl是两条异面直线，其公垂向量为
■H
一点，d为「J间的距离，贝Ud」CDn|。
|n|
例2:
已知棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1,求直线DA1和AC间的距离。
解：
如图建立空间直角坐标系，
则AC=（-1,1,0）,DA=（1,0,1）
连接A1C1，则A1C1//AC,设平面AGD的法向量为
n=（x,y,z）,
由f竺=°，解得n=（1,1，-1）,又AA；=（0,0,1）nDA=0
距离为_2。
3
注：
这道题若用几何推理，需连结D1B，交△DA1C1和厶BQA分别为
E、F,并证明△DQEB1BE，且EF恰好等于DA1和AC的公垂线
段长而且三等分线段D1B，进而求解EF,解题过程几经转化，还需添
加大量辅助线，不如用法向量求解更直接简便。
三、求直线与平面所成的角
直线AB与平面〉所成的角6可看成是向量AB与平面〉的法向量
例4:
已知棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1，求平面A1BC1与平
面ABCD所成的二面角的大小。
arccos
3
所以平面AiBCi与平面ABCD所成的二面角大小为恵-arccos一。
3
注：
用法向量的夹角求二面角时应注意：
平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求
出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小。
五、证明两平面平行或垂直
1若a//B,贝Un.IIn-;反之也成立。
2若a丄B,贝Un.丄n;反之也成立。
例5:
已知棱长为1的正方体ABCD-AiBiCiDi中，E、F、M分别是
AiCi、AiD和BiA上任—面AiEFI平面BiMC。
证明：
如图建立空间直角坐标系，
则AiCi=（—i,i,0）,
0,—i）
AiD=（i,0,i）,BiA=（0,—
i,—i）
设AE二■AG,AF-」AD,Bi^-vBiA（•、」、R,
且均不为0）
设ni、压分别是平面AiEF与平面BiMC的法向量，
由眞十，可得『壬，即込更=。
解得:
—i,i,_
»，AF=0门2=0、n2，AD=0
i）
由企BM=O，可得實巴A=0，即理兰=0解得忙=（_1,1,jn?
B<|C=0jn2B<|C=0jn2BQ=0
-1）,
所以m=—n2,n1//n2，所以平面AiEF//平面BiMC。
注：
如果求证的是两个平面垂直，可以求出两个平面的法向量，利用
m_n2二n1n2=0来证明。
利用法向量来解决上述五种立体几何题目，最大的优点就是不用象
在进行几何推理时那样去确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决问题。
但是也有局限性，高中阶段用代数推理解立体几何题目关键就是得建立空间直角坐标系，把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这种方法解题的立体几何模型一般都是如：
正（长）方体、直棱柱、正棱锥等。
例5如图4在长方体ABCD-A1B1C1D1中，
AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动。
（I）证明：
D1E_AD；
ACD1的距离；
（ffi）AE等于何值时，二面角D1-EC-D的大小为—。
4
分析本题是立体几何试题的常见题型，考查的是传统内容。
证线线垂直，求点到平面的距离，求二面角的大小，可用传统的几何方法求
解，也可利用向量法求解。
下面给出向量法求解。
解：
建立如图所示的空间直角坐标系，设AE=a，则A0,D1（0,0,1）,
E（1,a,0），
A（1,0,0），C（0,2,0）。
（I）证明：
由债=（1,0,1）,DE=（1,a—1,—1）,
DA^DE=（1,0,1）（1,a-1,-1）=1-1=0，有DAf丄DE，于是D’E丄ad。
（□）E是AB的中点，得e（1,1,0）,DX=（1,1,—1）,兄（一1,2,0）,
■
ADS（-1,0,1）。
设平面ACD1的法向量为n=（x,y,1），单位法向量为n°,
n2=（x,y,1。
）
又EC=（一1,2一a,0）,DC=（0,2,-1）。
由n2E^=U
jn2D1C0
小2EC=0得J（x,y,1）•（—1,2—a,0）=0''l（x,y,1）.（0,2,-1）=0
设所求的二面角为二，则
=1。
解得
（0,0,1）—2，'）逅得（仁a2丄+
cosv-cosn22=2-，得（12）4
raii224
2-）41
a=2-3，
所以，当AE=2_、、3时，二面角Di—EC—D的大小为—。
4
如图5，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，
PD_底面ABCD,AD=PD,E,F分另CD、PB的
中点。
B一
（□）
设AB=JBC，求AC与平面AEF所成角昭
分析：
本题考查的是立体几何的重点内容：
直线与平面
垂直和直线与平面所成的角，考查空间想像能力和推理论证能力，本题也是一题两法。
（I）证明：
建立空间直角坐标系（如图5）,
设AD=PD=1,AB=2a（a0）,
则E（a,0,0）,C（2a,0,0）,A（0,1,0）,B（2a,1,0）,P（0,0,1）,,F（a,异）
22得EF^ogg）,PB=（2a,1,-1）,TB=（2a,0,0）。
由EF=（0,1,1）（2a,0,0）=0,得_AB,即EF_AB,
同理EF—PB,又ABp|PB=B,所以，EF—平面PAB。
（H）解：
由AB=、、.2BC,得2a=2,即a=—2。
2
得E^22,0,0）,F（¥，4；,-）,CO-2,0,0）。
2222
有毘珂J2,-1,0）,AE=（^,-1,0）,EF=（0,1,1）。
222
设平面AEF的法向量为n=（x,y,1）
（11『11
（x,y,1）（0,—,—）=0-y0
I22122
I忑二g
（x,y,1）（二,-1,0）=0牙x—y=0
i
设AC与面AEF所成的角为「AC与n的夹角为:
：
:
AC,n.
IAC
MS
于是n=（一、2-1,1）。
_（二一1,0）.（一、2，一1,1）一仝，得「’J2+1+0J2+1+16，
所以，AC与平面AEF所成角的大小为arcsin出。
6
与平
说明：
用传统的几何方法，在限定的时间内，很难找到AC
面AEF所成的角。
而利用平面的法向量解题，可顺利地避开这一切麻
烦，只要找到平面的法向量n,利用向量间的代数运算，可方便简捷地
解决此题。
形，AB//DC,•DAB=90°,PA_底面
且PA=AD=DC=1ab=1,M是PB的中
2
（I）证明：
面PAD_面PCD;
（H）求AC与PB所成的角;
（山）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。
解:
（略）
说明：
本题求二面角的大小，由于不易找到二面角的平面角，无论
是用传统的几何方法还用一般的向量方法，都很不易解决，这也是造成立体几何解答题得分不高的原因之一，如果采用平面的法向量解题，情况就大不相同了，请大家仔细体会。
以上介绍了平面的法向量及其几个引理，以此为工具，解决了立体几何中的部分难题。
利用平面法向量解题，方法简便，易于操作，可以避开传统几何中的作图、证明的麻烦，又可弥补空间想像能力的不足，发挥代数运算的长处。
深入开发它的解题功能，平面法向量将在数学解题中起到越来越大的作用。
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